ARITMETICKÁ POSLOUPNOST II Mgr. Hana Križanová Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5. Výuková sada – MATEMATIKA, DUM č. 19

d-diference (latinsky rozdíl) d = an+1 − an Posloupnost se nazývá aritmetická, právě tehdy když existuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je: an+1 = an + d d-diference (latinsky rozdíl) d = an+1 − an an – n-tý člen posloupnosti a1 – první člen posloupnosti

an = a1 + (n −1)·d ar = as + (r −s)·d a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = a1 + 4d …………………………… an = a1 + (n −1)·d a15 = a1 + (15 −1)·d ar = as + (r −s)·d a22 = a18 + (22 −18)·d

Vzorec pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti , a1 + a2 + a3 +…+ an: Př: Sečtěte prvních 12 členů aritmetické posloupnosti, je-li a1= 5, a12= 38:

Sečtěte prvních 14 členů aritmetické posloupnosti: a1 = 7; d = –1 a1 = 7 a14 = a1 + 13d a14 = 7 + 13·(–1) a14 = –6

a3 = –10; a5 = 2 d = ? a5 = a3+2d a14 = a1+13d –2 = –10+2d a14 = –20+13·5 d = 5 a14 = 45 a3 = a1+2d –10 = a1+2·5 a1 = –20 s14 = 175

a5 = 1; a14 = 19 a14 = a5+9d 19 = 1+9d d = 2 a5 = a1+4d 1 = a1+4·2 s14 = 84 a1 = –7

a4 = –3; a10 = 0 a10 = a4+6d a4 = a1 + 3d 0 = –3 + 6d –3 = a1 + 3·0,5 d = 0,5 a1 = –4,5 a14 = a10 + 4d a14 = 0 + 4·0,5 a14 = 2 s14 = –17,5

Vypočtěte a1; d v aritmetické posloupnosti: 1) a1 + a4 = 13 a3 = a1 + 2d a3 + a7 = 28 a4 = a1 + 3d a1 + a1 + 3d =13 a7 = a1 + 6d a1+ 2d + a1 + 6d = 28 2a1 + 3d =13 /·(-1) 5d = 15 2a1 + 8d = 28 d = 3 –2a1 – 3d = –13 2a1 +3·3 = 13 2a1 + 8d = 28 a1 = 2

Vypočtěte a1; d v aritmetické posloupnosti: 2) 2a2 + a6 = 5 a2 = a1+d a5 + 2a8 = 27 a5 = a1+4d 2(a1+d) + a1 + 5d = 5 a6 = a1+5d a1+ 4d + 2(a1+7d) = 27 a8 = a1+7d 3a1 + 7d = 5 /·(-1) 11d = 22 3a1 + 18d = 27 d = 2 –3a1 –7d = –5 3a1 + 7·2 = 5 3a1 + 18d = 27 a1 = –3

Domácí úkol: Vypočtěte a1; d v aritmetické posloupnosti: 3) a1 + a5 – a3 = 8 a6 – a2 + a4 = 28 Řešení: a1 = 0 d = 4

Plechovky džusu jsou naskládány do tvaru lichoběžníku tak, že v každé další řadě je o plechovku méně. Ve spodní řadě je 27 plechovek a v horní řadě jsou 3 plechovky. Kolik plechovek džusu je celkem? a1 = 3 an = 27 d = 1 an = a1 + (n –1)d 27 = 3 + (n –1)·1 n = 25

Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Délka delší odvěsny je 12 cm. Určete zbývající strany trojúhelníku. a1 = a2 – d a12+ a22= a32 a2 = 12 (a2 – d)2+ a22= (a2 +d)2 a3 = a2 + d (12 – d)2+ 122= (12 +d)2 144 – 24d + d2+ 144 = 144 + 24d + d2 d = 3 a1 = 12 – 3 = 9 cm a3 = 12 + 3 = 15 cm