Míry variability

Míry variability Pokus shrnout jedním číslem míru odlišnosti hodnot statistických znaků Míry variability pro nominální znaky existují, ale nejsou náplní kurzu Míry variability pro ordinální a kvantitativní znaky jsou založeny na: Kvantilech – vybraných hodnotách ze souboru Všech hodnotách v souboru

Variační rozpětí Variační rozpětí je rozdílem mezi maximem a minimem R = max – min

Příklad Určete variační rozpětí daného souboru: W X Y Z 5 3 10 12 6 18 6 18 4 33 60 7 53 8 14 35 50 55 43

Výsledky W: 5 – 5 = 0 X: 50 – 3 = 47 Y: 18 – 5 = 13 Z: 60 – 0 = 60

Rozpětí kvantilů Rozpětí různých kvantilů, nejčastěji: Kvartilové rozpětí x0,75 – x0,25 Decilové rozpětí x0,9 – x0,1 Percentilové rozpětí x0,99 – x0,01

Příklad U dat z předchozího příkladu určete kvartilové a decilové rozpětí.

Výsledky Kvartilové: Decilové: W: 5 – 5 = 0 X: 7 – 3,5 = 3,5 Z: 54 – 11 = 43 Decilové: X: 8 – 3 = 5 Y: 14 – 5 = 9 Z: 55 – 10 = 45

Průměrná absolutní odchylka První ukazatel míry odlišnosti počítaný ze všech čísel Jedná se o průměr z absolutních odchylek jednotlivých hodnot od průměru Musí se tedy určit průměr, následně určit (absolutní – kladný) rozdíl mezi průměrem a jednotlivými hodnotami znaku (d) a tyto rozdíly se průměrují

Příklad Určete průměrnou absolutní odchylku z dat předchozích příkladů.

Výsledky W dw X dx Y dy Z dz 5 4,4 12 2,6 31,9 3 6,4 10 0,6 21,9 6 3,4 4,4 12 2,6 31,9 3 6,4 10 0,6 21,9 6 3,4 19,9 18 13,9 4 5,4 8,6 33 1,1 8 1,4 14 4,6 35 3,1 43 11,1 7 2,4 53 21,1 50 40,6 55 23,1 60 28,1 Průměry: W = 5; X,Y = 9,4; Z = 31,9 Průměrné abs. Odchylky: W = 0; X = 8,12; Y = 3,4; Z = 17,52

Příklad V následující tabulce jsou četnosti známek pro dvě skupiny studentů – určete průměrnou absolutní odchylku v těchto skupinách a porovnejte, kde je větší variabilita známek. Známka Počet - 1. skupina Podíl - 2. skupina 1 15 0,3 2 25 0,2 3 4

Výsledky - průměr xi ni pj nixi pjxi 1 15 0,3 2 25 0,2 50 0,4 3 75 0,6 60 1,2 Součty: 80 200 2,5 Skupina: 200/80 = 2,5 Skupina: 2,5

Výsledky – pr. absolutní odchylka xi di ni pj dini pjdi 1 1,5 15 0,3 22,5 0,45 2 0,5 25 0,2 12,5 0,1 3 4 Součty: 80 70 1,1 Skupina: 70/80 = 0,875 Skupina: 1,1

Rozptyl Rozptyl je nejpočítanější mírou variability, byť sám o sobě nemá velký věcný význam. Jedná se o průměrnou čtvercovou odchylku od průměru. Pro každou hodnotu se musí udělat její rozdíl od průměru a tento rozdíl umocnit na druhou (tomu se říká čtverec). Tyto umocněné (čtvercové) odchylky se potom průměrují.

Vlastnosti rozptylu Rozptyl je nejmenší ze všech čtverců odchylek od libovolné konstanty Rozptyl konstanty je roven 0 Přičteme-li k jednotlivým hodnotám konstantu, rozptyl se nezmění Vynásobíme-li jednotlivé hodnoty konstantou, rozptyl se násobí druhou mocninou této konstanty

Výpočet roztpylu Rozptyl má dva tvary pro výpočet Definiční: Výpočtový:

Směrodatná odchylka Směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu. Jedná se de facto opět o průměrnou odchylku od průměru, ale jedná se o odlišný typ průměru (tzv. kvadratický průměr)

Variační koeficient Všechny dosavadní ukazatele byly tzv. absolutními mírami variability – byly uváděny ve stejných jednotkách jako zkoumané proměnné. Variační koeficient je poměr směrodatné odchylky a průměru. Jedná se tedy o tzv. bezrozměrný ukazatel – relativní variabilitu. Jedná se o výborný ukazatel pro srovnání variability více souborů.

Příklad Na základě dat z prvního příkladu vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient.

Výsledky W w2 X x2 Y y2 Z z2 5 25 12 144 3 9 10 100 6 36 18 324 4 16 33 1089 8 64 14 196 35 1225 43 1849 7 49 53 2809 50 2500 55 3025 60 3600 Průměry: 9,4 273,6 104,8 31,9 1416,5

Výsledky S2w = 25 – 52 = 0 S2x = 273,6 – 9,42 = 185,24 S2y = 104,8 – 9,42 = 16,44 S2z = 1416,5 – 31,92 = 398,89 Sw = 0 Vw = 0 Sx = 13,61 Vx = 1,45 Sy = 4,05 Vy = 0,43 Sz = 19,97 Vz = 0,63

Shrnutí výsledků W X Y Z R 47 13 60 Kvartilové r. 3,5 7,5 43 47 13 60 Kvartilové r. 3,5 7,5 43 Decilové r. 5 9 45 Pr. abs. odchylka 8,12 3,4 17,52 Rozptyl 185,24 16,44 398,89 Sm. odch. 13,61 4,05 19,97 Variační koef. 1,45 0,43 0,63

Příklad Na základě údajů z druhého příkladu na průměrnou absolutní odchylku vypočítejte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient.

Výsledky xi xi2 ni pj xi2ni pjxi2 1 15 0,3 2 4 25 0,2 100 0,8 3 9 225 1,8 16 240 4,8 Součty: 80 580 7,7 Rozptyly: 1. skupina: 580/80 –2,52 = 1 2. skupina: 7,7 – 2,5 2 = 1,45 Sm. odchylky: 1. skupina: 1 2. skupina: 1,2049 Var. koeficienty: 1. skupina: 0,4 2. skupina: 0,48

Příklad Máme vypočtený průměr 100 a rozptyl 400. Jak se tyto hodnoty změní, jestliže.. A.) od každé hodnoty daného znaku odečtu 15 B.) každou hodnotu daného znaku snížím o 15% Jak se změní variační koeficient v těchto případech?

Výsledky A.) nový průměr 85 a rozptyl 400. Variační koeficient se zvýší z 0,2 na 0,24 B.) nový průměr 85 a rozptyl 289. Variační koeficient se nezmění.