Teorie her a sociální sítě Radim Valenčík Vystoupení na Teoretickém semináři EPS Vysoká škola ekonomická a správní o. p. s. Praha, 8. října 2014

O čem bude řeč? Existuje velké (mnohem větší, než si běžně dovedeme představit) množství úloh, kdy řešíme problém, jak rozdělit mezi hráče to, co vznikne tím, že budou kooperovat. Jen namátko: - Jakékoli vyjednávání na trhu ve smyslu „co za co“? - Nechceme válčit, jak se dohodnout na tom, co kdo získá a co ztratí? (dnes velmi aktuální) Jednou ze standardních úloh tohoto typu je tzv. Nashův vyjednávací (S, d) problém. Ukázalo se, že existuje větší množství (dnes již víme, že v mnoha směrech neomezené množství) naprosto „logických“, „intuitivně přijatelných“ či dokonce zdánlivě „jediných možných řešení“ tohoto problému, ale nevíme, kdy je které to skutečně správně a zda takové „skutečně správné“ existuje. Ukážeme, že pomocí této úlohy jsme schopni řešit nesmírně významnou otázku v (na první pohled zcela jiné oblasti věd): Ocenit sílu afinit, které vznikají v sociálních sítích nejrůznějšího typu, na základě toho dokonce předpovědět, které afinity (tedy to, co hráče do sítí spojuje) převládnou. Jedná se o jeden z významných směrů bádání, ve kterým tým působící na VŠFS dosáhl významné výsledky a který je perspektivní. Našim cílem mj. je, aby bylo ještě více známo, že takovýto teoretický problém se u nás řeší a jaký je přínos jeho řešení.

Tento a další obrázky jsou podkladem k vystoupení na semináři. Ukazují graficky vyjádřenou podstatu problému a jednotlivých přístupů k jeho řešení.

1. Individuální racionalita: Výplata každého z hráčů musí být větší než v bodě nedohody. 2. Paretovská optimalita: Pokud je řešením dvojice výplat hráčů (x *, y * ), pak musí být tato dvojice paretooptimální (žádný z hráčů nesmí mít možnost si polepšit, aniž by si druhý pohoršil). 3. Dosažitelnost: Řešení musí patřit do množiny možných výplat, tj. musí platit S(x, y) ˂ 0. Tyto tři první axiómy jsou triviální a těžko si představit, že by nějaké "rozumné" řešení mohlo být založeno na jiných. (Některé z těchto axiómů však mohou být nahrazeny jinými.) Hned další axióm již tak triviální není. Platí to i pro další dva.

4. Nezávislost na irelevantních alternativách: Existuje-li nějaká množina S´(x, y), která je podmnožinou množiny S(x, y), vyjednávání se omezuje jen na tuto množinu S´(x, y) a současně původní řešení v S(x, y), tj. (x *, y * ) zůstává prvkem S´(x, y), pak ani v S´(x, y) není možné najít jiné řešení než v S(x, y). Jinak řečeno - všechny podmnožiny S´(x, y) množiny S(x, y) tvoří irelevantní alternativy, které nepřinášejí nic nového, jejich přítomnost či nepřítomnost v původní vyjednávací množině nemá žádný vliv na výsledek vyjednávání. 5. Nezávislost na lineárních transformacích: Pokud je množina S´(x, y) získána lineární transformací množiny S(x, y), pak stejným způsobem je lineárně transformováno i řešení. Tj. je-li x´= ax + b, y´= cx + d, pak řešení v S´(x, y) je x * = ax + b, y * = cx + d. (Jedná se o velmi důležitý axióm, který, jak se "opticky" zdá, musí platit vždy a všude; tak tomu ovšem není.) 6. Symetrie: Je-li množina S(x, y) symetrická v tom smyslu, že pokud dvojice (x, y) do této množiny patří, pak tam patří i dvojice (y, x), a současně platí x 0 = y 0, pak platí i pro řešení, že x * = y *.

Nash dokázal, že pokud je těchto šest axiómů splněno (tj. "jsme ve světě", kde platí těchto šest axiómů), pak je tím pro jakoukoli množinu S dvojic (x, y), která splňuje některé elementární požadavky (je konvexní a kompaktní) jednoznačně určeno řešení (Nashova) vyjednávacího problému. Důkaz tohoto tvrzení je proveden zajímavým způsobem. Nash konstruuje funkci g(x, y) = (x − y 0 )(x − y 0 ) a pak již jen dokazuje, že hodnoty x a y, při kterých se tato funkce dotýká množiny S(x, y) jsou hledaným řešením a to řešením jediným.

Kalai-Smorodinského řešení se liší od Nashova řešení jedním jediným axiómem. Místo nezávislost na irelevantních alternativách zde platí požadavek slabé individuální monotonie.

Požadavek individuální monotonie neříká nic jiného než to, že rozšíříme-li původní množinu na množinu, která tuto původní množinu obsahuje jako svoji podmnožinu, pak pro Kalai- Smorodinského řešení v původní množině (x *, y * ) a v rozšířené (x´ *, y´ * ) množině platí: x * < x´ *, y * < y´ * tj. hodnoty výplat v rozšířené množině nejsou menší než v původní množině (mohou se zvětšit, nikoli však zmenšit). Pojmem "slabá" vyjadřujeme to, že příslušné nerovnosti jsou neostré. Pokud by nerovnosti byly ostré (x * < x´ *, y * < y´ * ), pak by se jednalo o silnou monotonii.

Soustava axiómů, jejichž splněním je rovnostářské řešení jednoznačně určeno, se liší od soustavy vedoucí k řešení Kalai-Smorodinského tím, že při rovnostářském řešení se vyžaduje silná monotonie (na rozdíl od slabé).

x +y = 5 odsud x = 3 x +z = 4y = 2 y + z = 3z = 1

Body velké koalice 3 hráči rovnostářský výchozí KS I KS II Raiffa I Raiffa II Nash ShaShu

Zadejme nyní afinitu B →A (Interpretace B "má rád" A) Jako ochotu B za koalici s A "zaplatit" částku rovnou 1 (protože z této koalice má "potěšení") Zaveďme y* = y + s yx podvojná výplata hráče B, která se rovná původní výplata y a výnos z uzavření koalice s hráčem A, k němuž má hráč B sympatie. Nechť s = 1. Podívejme se, jak se nám modifikuje původní soustava rovnic v námi uváděném jednoduchém případě x + z = 6 odsud x = 3,5 x + y* = 4 y* = 2,5odsud y = 1,5 y* + z = 3z = 0,5 Vidíme, že se nám výplaty hráčů v bodech diskrétní NM-množiny změnily

unlike in the original generalized Raiffa solution f(S, d) = d + 2/3(NM(S, d) – d). If we keep in force any other definition of generalized Raiffa solution, we call this solution NM – modified generalized Raiffa solution d1 for n = 3.

Příloha: Hra typu manželský spor Od nekooperativních her ke kooperativním Paretovská zlepšení v kooperativní hře

ONA FotbalDivadlo ONFotbal3; 21; 1 Divadlo0; 02; 3 Matice výplat hry typu Manželský spor K této matici výplat lze dát následující legendu: - ON má rád fotbal - a pokud jde na fotbal, přinese mu to užitek (potěšení), které lze ocenit hodnotou 1, zatímco návštěva divadla mu žádný užitek nepřinese. - ONA má ráda divadlo - a pokud jde do divadla, přinese jí to užitek (potěšení), které lze ocenit hodnotou 1, zatímco pokud půjde na fotbal, tak jí to žádný užitek nepřinese. - ON ovšem svou ženu miluje, a pokud je s ní, přinese mu to užitek (potěšení) dvakrát větší než to, jaké by měl, pokud by šel sám na fotbal. - ONA rovněž svého muže miluje, a pokud je s ním, přinese jí to užitek (potěšení) dvakrát větší než návštěva divadla, pokud by tam šla sama. Odsud vyplývá, že ON má v případě, že se sejdou na fotbalu, užitek 2 (ze společně stráveného času) a 1 (z fotbalu), tj. celkem 3, ONA 2, podobně pak v dalších případech. Problém je v tom, že se manželé včas nedomluvili, kam půjdou, a nemají mobil či jiný způsob, jak se dohodnout. Kam tedy jít?

Výplata hráče ON bude: 3pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 2(1 - p)(1 - q) = = p(4q - 1) -2q + 2 Výplata hráče ONA bude: 2pq + 0(1 - p)q + 1p(1 - q) + 3(1 - p)(1 - q) = = q(4p - 3) - 2p + 3 Modře jsou dosazeny hodnoty z výplatní matice hry typu Manželský spor. Červeně v závorce výrazy, které rozhodují o tom, zda se příslušnému hráči vyplatí zvolit minimální či maximální pravděpodobnost, s níž bude hrát svou první či druhou strategii. Na základě toho již můžeme namalovat reakční křivky.