3. PRINCIP MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI Věrohodnostní funkce náhodné veličiny – úměrná pravděpodobnosti realizované hodnoty v případě diskrétní náhodné veličiny, nebo hustotě pravděpodobnosti v případě veličin spojitých. hledáme hodnoty parametrů - pro které je hodnota věrohodnostní funkce největší 3.1. Odhad parametrů rozdělení a) Binomické rozdělení - odhad parametru p: Nutnou podmínkou pro maximum je:

b) Poissonovo rozdělení - odhad parametru : Podmínkou maxima pravděpodobnosti je: c) Normální rozdělení - odhad parametru  : Podmínkou maxima pravděpodobnosti je opět:

- odhad střední hodnoty <x> a standardní odchylky : a) Binomické rozdělení: b) Poissonovo rozdělení: c) Normální rozdělení: zmenšení disperse odhadu- opakovaná nezávislá měření X měření v jaderné fyzice

3.2. Odhad parametrů rozdělení na základě výsledků opakovaných nezávislých experimentů - aritmetický průměr, disperse náhodné veličiny. a) Normální rozdělení - odhad parametru : Mějme výsledky nezávislých opakování experimentu xi, i=1,.., n. Hustota pravděpodobnosti realisace takovéto n-tice výsledků je: Pro odhad parametru opět požadujeme, aby: Aritmetický průměr je tedy odhadem střední hodnoty podle principu maximální pravděpodobnosti. Podmínka etrému na hodnotě  nezáleží

b) Normální rozdělení - odhad disperse: obdobným postupem dostaneme: Odhadem disperse je tedy střední hodnota čtverce odchylek od odhadu střední hodnoty Pro konkrétní výpočet musíme vždy nejprve odhadnout střední hodnotu Seminární úloha 3.1.: Odvoďte výše uvedený vztah pro odhad disperse normálního rozdělení.

Seminární úloha 3.2.: Dokažte, že v případě Binomického rozdělení je při n-násobném nezávislém opakování experimentu odhadem parametru p (pravděpodobnost) veličina: , kde ki je počet pozitivních výsledků při každém z n opakování. Seminární úloha 3.3.: Dokažte, že při n-násobném nezávislém opakování experimentu je podle principu maximální pravděpodobnosti v případě Poissonova rozdělení odhadem parametru  veličina:

a) aritmetický průměr (z nezávislých opakování) : 3.3. Vychýlený odhad. Definice: Je-li odhadem parametru a danného rozdělení a je-li: , potom hovoříme o nevychýleném odhadu. V opačném případě je odhad vychýlený. a) aritmetický průměr (z nezávislých opakování) : je náhodná veličina, proto má smysl počítat její střední hodnotu: protože: Aritmetický průměr je tedy nevychýleným odhadem střední hodnoty.

Ukažte, že výše uvedené odhady parametrů Seminární úloha 3.4.: Ukažte, že výše uvedené odhady parametrů a pro binomické a Poissonovo rozdělení jsou odhady nevychýlené. b) disperse: lze ukázat , že: odhad disperse je tedy odhadem vychýleným. Seminární úloha 3.5.: Odvod´te výše uvedený výsledek pro střední hodnotu odhadu disperse Nevychýlený odhad disperse: protože zřejmě platí:

3.4. Zpracování výsledku měření jediné veličiny: a) je-li k dispozici statistický soubor dat (výsledky n opakovaných nezávislých měření), vyhodnotíme veličiny z naměřených hodnot xi vyřadíme všechny, pro které je: a zopakujeme výpočet odhadů střední hodnoty a standartní odchylky b) je-li k dispozici údaj o přesnosti měřidla (např. třída přesnosti) na jehož základě je možno vyhodnotit chybu jediného měření, považujeme tuto hodnotu za odhad chyby přístroje p . Chybu měření p je možno stanovit i odhadem (např. z dělení stupnice, nebo posouzením subjektivních chyb). c) Spojíme oba výsledky:

Výsledek měření zapíšeme ve tvaru: kde chyba má význam chyby jediného měření. popř.: kde chyba má nyní význam chyby aritmetického průměru. vzpomeneme si: Pozor na rozdílný fyzikální význam obou zápisů: Disperse jediného měření odhaduje šířku rozdělení pravděpodobnosti, kterou bychom testovali opakovaným měřením veličiny x. Disperse arimetického průměru odhaduje šířku rozdělení náhodné veličiny, kterou bychom testovali opakovaným měřením aritmetických průměrů (z opakovaných nezávislých měření).

3.5. Přenos chyb. Mějme náhodnou veličinu y, která je funkcí náhodných proměnných xi (i=1,2,...,n): Náhodné veličiny xi nechť jsou popsány rozděleními pi(xi) se středními hodnotami i a rozptylem i. V malém okolí bodu   f(1, 2,......,n ) je možno rozvést funkci f(x1,x2,....,xn) v řadu: Potom je zřejmě:

a dále: vzpomeneme si: disperse konstanty je nula. potom: Odhad disperse veličiny y provedeme odhadem nevychýlených dispersí jednotlivých náhodných proměnných, najdeme tedy veličiny: potom:

3.6. Zpracování výsledků nepřímých měření Mějme veličinu y  f(x1,x2,....,xn) . Proměnné veličiny xi zkoumáme měřením. Odhadneme jejich střední hodnotu a dispersi. Jak potom odhadnout střední hodnotu a dispersi veličiny y? 1) zpracování výsledků měření veličin xi (viz kap. 3.4.) získáme: 2) střední hodnotu veličiny y odhadneme: 3) dispersi veličiny y odhadneme jako:

3.7. Příklad Hustota kovového materiálu byla stanovena vážením a změřením objemu při pokojové teplotě. Byly zjištěny následující hodnoty: m = (8.930  0.002) kg , V = (1.002  0.001) . 10-3 m3 . Stanovte chybu měření (absolutní a relativní).

Alternativní přístup

Seminární úloha 3.6.: Při měření průřezu (kruhového) kovového drátu byl měřením mikrometrem na několika místech stanoven průměr vlákna: d = (1.26  0.02) mm. Stanovte absolutní a relativní chybu průřezu. Seminární úloha 3.7.: Odvoďte vztah pro absolutní a relativní nejistotu měření modulu pružnosti ve smyku metodou torsního kyvadla s využitím formule: máme-li k disposici nejistoty měření veličin: J, l, r a T