Sčítání a odčítání úhlů Úhel α přeneseme k polopřímce VA. C d B d α d r r V r A K polopřímce VB přeneseme opět úhel α. Úhel AVB je shodný s úhlem BVC. Úhel AVC je dvojnásobkem úhlu α. | AVC| = 2 · α = α + α Graficky jsme sečetli dva úhly stejné velikosti, obdobně postupujeme při grafickém sčítání úhlů rozdílných velikostí.

Graficky sečteme úhly α a β. d α α + β d α β r r r K jednomu ramenu úhlu β přeneseme úhel α. Zvolíme libovolný poloměr r. Sestrojíme oblouk o poloměru r se středem ve vrcholu úhlu α tak, aby protnul obě jeho ramena. Sestrojíme oblouk se stejným poloměrem r se středem ve vrcholu úhlu β. V úhlu α vezmeme do kružítka vzdálenost d mezi průsečíky oblouku a ramen úhlu. Přeneseme ji na druhý oblouk od jeho průsečíku s ramenem úhlu β. Narýsujeme druhé rameno úhlu. Vnější ramena ohraničují úhel α + β.

Úhly α a β můžeme graficky i odčítat, od většího menší. α – β r r r β >α, k jednomu ramenu úhlu β přeneseme úhel α. Zvolíme libovolný poloměr r. Sestrojíme oblouk o poloměru r se středem ve vrcholu úhlu α tak, aby protnul obě jeho ramena. Sestrojíme oblouk se stejným poloměrem r se středem ve vrcholu úhlu β. V úhlu α vezmeme do kružítka vzdálenost d mezi průsečíky oblouku a ramen úhlu. Přeneseme ji na druhý oblouk od jeho průsečíku s ramenem úhlu β dovnitř úhlu β. Narýsujeme druhé rameno úhlu. Úhel α – β leží uvnitř úhlu β.

Sčítání a odčítání úhlů využíváme při rýsování úhlů větších než 180°. Narýsuj úhly 216° a 324°. 216° = 180° + 36° 236° Stejný postup využijeme i při měření úhlů větších než 180°. 324° = 360° – 36° 314° α α = 180° + 75° Procvičení: učebnice strana 18 – 20, cvičení 1 – 12, pracovní sešit strana 130, cvičení 1, strana 132, cvičení 10, 11, 13. α = 255°

Početní operace s úhly Úhly můžeme početně sčítat, odčítat, násobit i dělit. Při počítání s velikostmi úhlů platí: 1°= 60' 1' = 60" Sčítání úhlů: Sčítáme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Po sečtení, pokud hodnota minut nebo vteřin je rovna nebo větší než 60, převedeme v těchto případech vteřiny na minuty, minuty na stupně. 27° + 45° = 72° 27' + 45' = 72' = 60' + 12' = 1° 12' 27" + 45" = 72" = 60" + 12" = 1' 12" 27° 32' + 46° 25' = 73° 57' 72° 28' 36" + 34° 14' 23" = 106° 42' 59" Součet minut a vteřin je menší než 60.

Počítání ve stupních, minutách a vteřinách je podobné jako počítání s jednotkami času (vychází ze šedesátkové soustavy). 47° 32' + 26° 57' = 73° 89' = 73° + 60' + 29' = 74° 29‘ 72° 48' 36" + 34° 54' 43" = 73° 107' 79" = = 73° + 60' + 47' + 60" + 19" = 74° 48' 19" Pro lepší přehlednost můžeme sčítat písemně pod sebou: 47° 32' 26° 57' 89' = 60' + 29' = 1° 29' 73° 89' = 73° + 1° + 29' = 74° 29' 72° 48' 36" 34° 54' 43" 107' = 60' + 47' = 1° 48' 79" = 60" + 19" = 1' 19" 73° 107' 79" 73° 107' 79" = 73° + 1° + 47' + 1' + 19" = 74° 48' 19" 47° 32' + 26° 57' = 74° 29' 72° 48' 36" + 34° 54' 43" = 74° 48' 19"

Odčítání úhlů: Odčítáme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Pokud odčítaná hodnota minut nebo vteřin je menší, převedeme v těchto případech jeden stupeň 60 minut, jednu minutu na 60 vteřin a potom odčítáme.. 127° – 45° = 82° 1° 27' – 45' = (60' + 27') – 45' = 87' – 45' = 42' 1' 27" – 45" = (60" + 27") – 45" = 87" – 45" = 42" 47° 52' – 26° 25' = 21° 27' 72° 28' 36" – 34° 14' 23" = 38° 14' 13" 47° 32' – 26° 57' 32' < 57' 46° 92' – 26° 57' 1° 32' = 92' 20° 35' 72° 48' 36" – 34° 54' 43" 36" > 43" 72° 47' 96" – 34° 54' 43" 47' < 54' 1' 36" = 96" 1° 47' = 107' 48' ‒ 1' = 47' 72° ‒ 1° = 71° 71° 107' 96" – 34° 54' 43" 37° 53' 53"

Násobení úhlů: Násobíme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Po vynásobení, pokud hodnota minut nebo vteřin je rovna nebo větší než 60, převedeme v těchto případech vteřiny na minuty, minuty na stupně. 127° · 4 = 508° 1° 27' · 4 = 1° · 4 + 27' · 4 = 4° + 108' = 5° + 48' = 5° 48' 1' 27" · 4 = 1' · 4 + 27" · 4 = 4' + 108" = 5' + 48" = 5° 48' 47° 52' · 4 = 191° 28' 47° · 4 = 188° 52' · 4 = 208' = 180' + 28' = 3° 28' 188° + 3° = 191° 72° 28' 36" · 4 = 289° 54' 24" 72° · 4 = 288° 28' · 4 = 112' = 60' + 52' = 1° + 52' 288° + 1° = 289° 36" · 4 = 144" = 120" + 24"= 2' + 24" 52' + 2' = 54'

Dělení úhlů: Dělíme zvlášť stupně, minuty, vteřiny. Po vydělení stupňů zbytek převedeme na minuty a přičteme k minutám ze zadání. Pak dělíme minuty. Zbytek převedeme zase na vteřiny, přičteme ke vteřinám ze zadání. Vydělíme vteřiny. Pokud dělení nevychází beze zbytku, zaokrouhlíme na celé vteřiny. 72° 28' 36" : 4 = 18° 7' 9" 127° : 4 = 31° 3° 3° = 180' 180' : 4 = 45' 20' 0' 45' 47° 52' : 4 = 11° 58' 3° 3° = 180' , 180' + 52' = 232' 232' : 4 = 58' 32' 0' 34° 54' 48" : 4 = 8° 43' 47" 120" + 48" = 168" 168' : 4 = 47' 28' 0' 120' + 54' = 174' 174' : 4 = 43' 14' 2' , 2' = 120" 34° : 4 = 8° 2° 2° = 120' Procvičení: učebnice strana 20 – 21, cvičení 13 – 16, pracovní sešit strana 131 – 134, cvičení 2 – 9, 14, 16 – 22.

Rýsování úhlů bez úhloměru Narýsujte pravý úhel (90°) pomocí kružítka a pravítka (nepoužívejte úhloměr ani trojúhelník s ryskou). Využijeme znalostí při rýsování osy úhlu. Přímý úhel má velikost 180°. Osa úhlu rozdělí přímý úhel na dva pravé úhly o velikosti 90°. r

Úhel 45° získáme rozdělením pravého úhlu na polovinu, součtem úhlu 45° s pravým úhlem dostaneme úhel 135°. r 135° 45° 90°: 2 = 45° 90° + 45° =180° – 45° = 135°

Vedlejší úhel k úhlu 60° je 120°. Úhel 60° narýsujeme tak, že na oblouk o poloměru r naneseme od jeho průsečíku s přímkou stejnou vzdálenost r. r r 120° 60° r Vedlejší úhel k úhlu 60° je 120°.

Osa úhlu rozdělí úhel 60° na úhly o velikosti 30°. Rozdělením úhlu o velikosti 30° na polovinu získáme úhel 15°. Grafickým sčítáním a odčítáním těchto úhlů získáme úhly dalších velikostí: 45°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165°. r r 30° 15° r 45° = 30° + 15° 75° = 60° + 15° = 90° ‒ 15° 90° = 60° + 30° 105° = 90° + 15° 120° = 60° + 60° = 90° + 30° =180° ‒ 60° 135° = 90° + 45° = 180° ‒ 45° 150° = 90° + 60° = 180° ‒ 30° 165° = 180° ‒ 15°

Úhly na hodinách Pohyb minutové ručičky: Za 15 minut (čtvrt hodiny) ručička opíše úhel 90°. Za 30 minut (půl hodiny) ručička opíše úhel 180°. Za 45 minut (tři čtvrtě hodiny) ručička opíše úhel 270°. Za 60 minut (za jednu hodinu) ručička opíše úhel 360°. Za 1 minutu ručička opíše úhel 360° : 60 = 6°. Úhel, který opíše minutová ručička za daný počet minut vypočítáme, když počet minut vynásobíme úhlem 6°, např. za 12 minut 12 · 6° = 72°.

Pohyb hodinové ručičky: Za 3 hodiny opíše hodinová ručička úhel 90°, minutová ručička úhel 1080° (3 · 360°). Za 6 hodin opíše hodinová ručička úhel 180°, minutová ručička úhel 2160° (6 · 360°). Za 9 hodin opíše hodinová ručička úhel 270°, minutová ručička úhel 3240° (9 · 360°). Za 12 hodin opíše hodinová ručička úhel 360°, minutová ručička úhel 4320° (12 · 360°). Za 1 hodinu hodinová ručička opíše úhel 360° : 12 = 30°, minutová ručička úhel 360°. Za 1 minutu hodinová ručička opíše úhel 360° : 12 : 60 = 0,5°, minutová ručička úhel 6°. Procvičení: učebnice strana 21, cvičení 17 – 19, pracovní sešit strana 132, cvičení 12, strana 133, cvičení 15.