Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 11 Řešení soustav lineárních rovnic jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Pojmy související se soustavami lineárních rovnic Existenční Frobeniova věta Řešení homogenní soustavy rovnic Řešení nehomogenní soustavy rovnic Řešení regulární soustavy rovnic

Pojmy související se soustavami lineárních rovnic

Příklad Soustavu lineárních rovnic 2x + 3u – v = 2 x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = – 2 můžeme vyjádřit pomocí násobení matic:

Pokračování příkladu Když k matici soustavy připojíme zprava matici (sloupec) pravých stran, vznikne tzv. rozšířená matice soustavy. (Formálně v ní oddělujeme sloupec pravých stran svislou čarou):

Definice soustavy lineárních rovnic Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých budeme nazývat tuto soustavu:

Maticové vyjádření soustavy Označme: Matici A typu (m,n) nazýváme maticí soustavy, matici X typu (n,1) nazýváme maticí neznámých, matici B typu (m,1) nazýváme maticí pravých stran. Soustavu lze vyjádřit v maticovém tvaru: A . X = B

Rozšířená matice soustavy Rozšířenou maticí soustavy je matice: Má-li matice soustavy typ (m,n), má rozšířená matice soustavy typ (m,n+1).

Řešení soustavy rovnic Řešením soustavy budeme nazývat uspořádanou n-tici reálných čísel ( r1, r2, … , rn ), která když dosadíme za neznámé, tak splňují všechny rovnice soustavy. Platí tedy :

Maticová podmínka pro řešení soustavy Označíme-li řešení soustavy takto: můžeme podmínku vyjádřit v maticovém tvaru: A . R = B

Homogenní soustava rovnic Je-li matice pravých stran nulová, nazývá se soustava homogenní. Její rozšířená matice je: Homogenní soustava rovnic má vždy alespoň jedno řešení. Proč?

Frobeniova věta (o existenci řešení soustavy)

Co znamená, že soustava má řešení? Čísla r1, r2, … , rn splňují podmínky: To lze pomocí sloupcových vektorů w1, w2, … , wn matice A zapsat v maticovém tvaru takto: r1.w1 + r2.w2 + r3.w3 + … + rn.wn = B

Co z toho dále plyne? Podmínka r1.w1 + r2.w2 + r3.w3 + … + rn.wn = B vyjadřuje, že vektor B je lineární kombinací sloupcových vektorů w1, w2, … , wn matice A. To však znamená, že B leží ve vektorovém prostoru, který je generován vektory w1, w2, … , wn . To ale znamená, že generátory w1, w2, … , wn , B generují tentýž vektorový prostor a oba prostory mají pochopitelně tutéž dimenzi. Tyto dimenze jsou hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice soustavy .

Frobeniova věta Soustava m lineárních rovnic o n neznámých tvaru A . X = B má alespoň jedno řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy A je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (A  B) . Úloha: Zjistěte, zda je tato soustava řešitelná: x – 4y + 2u = 1 2x – 3y – u + 5v = – 7 3x – 7y + u – 5v = – 6 y – u – v = – 1

Řešení homogenní soustavy

Jaký tvar má homogenní soustava? Při označení: má soustava maticový tvar A . X = O . To ale znamená, že každý vektor R, který je řešením soustavy, je ortogonální s každým řádkovým vektorem matice A.

Množina všech řešení homogenní soustavy Jsou-li tedy u1, u2, … , um řádkové vektory matice A, platí ui . R = 0 pro všechna i . Vektor R je tedy ortogonální s podprostorem generovaným řádkovými vektory u1, u2, … , um matice A. To ale znamená, že množina všech řešení homogenní soustavy je ortogonálním doplňkem vektorového prostoru, generovaného řádkovými vektory matice A. Je-li hodnost matice A rovna h, pak všechna řešení tvoří prostor dimenze n – h .

Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic 2x + 3u – v = 0 x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = 0 Řešením soustavy jsou všechny uspořádané čtveřice: ( –2; –3; 2; 2 ).t . Všechna řešení soustavy tedy tvoří vektorový prostor dimenze jedna s generátorem ( -2; -3; 2; 2 ) .

Řešení nehomogenní soustavy

Množina všech řešení nehomogenní soustavy Nehomogenní soustava nechť má tvar A . X = B . Předpokládejme, že R je jedno ze všech možných řešení nehomogenní soustavy, tedy že platí A . R = B . Ortogonální doplněk, který obsahuje všechna řešení příslušné homogenní soustavy A . X = O označme W. Každý vektor w  W je tedy řešením příslušné homogenní soustavy, a tedy platí A . w = 0 . Pak se snadno dokáže, že každé řešení nehomogenní soustavy má tvar R + w , kde w je vektor z W. POZOR !! Množina řešení nehomogenní soustavy není vektorový prostor!

Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic x – 4y + 6u + v = – 3 Řešením soustavy jsou všechny uspořádané čtveřice, které mají tvar: ( 1; 1; 0; 0 ) + ( –14; 13; 11; 0 ).s + ( –7; 1; 0; 11 ).t

Řešení regulární soustavy

Řešení pomocí inverzní matice Regulární soustava nechť má tvar A . X = B . Matice A je regulární, má inverzní matici A-1 . Pak postupně: A . X = B A-1. (A . X) = A-1. B (A-1. A) . X = A-1. B E . X = A-1. B X = A-1. B

Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic 2x + 3y = 1 3x + 5y = 1 Po výpočtu inverzní matice získáme: Jediným řešením soustavy je dvojice ( 2;  1) .

Řešení pomocí determinantů Regulární soustava nechť má tvar A . X = B . Vytvořme pomocí matice A matice A(i) tak, že v matici A nahradíme i-tý sloupec sloupcem B. Pak můžeme vypočítat všechny neznámé xi podle tzv. Cramerova pravidla takto:

Příklad Řešme soustavu lineárních rovnic: 2x1 + 3x2 = 1 3x1 + 5x2 = 1

Co je třeba znát a umět? Základní pojmy související se soustavami lineárních rovnic, maticové vyjádření soustavy rovnic, Frobeniovu větu o existenci řešení soustavy, řešení homogenní soustavy (souvislost s ortogonálním doplňkem), řešení nehomogenní soustavy, řešení regulární soustavy pomocí inverzní matice a Cramerova pravidla.

Děkuji za pozornost