FIFEI-05 Gravitační a elektrostatické působení I http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_05.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 01. 04. 2014

Hlavní body Gravitační působení Elektrostatické působení Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon a cesta k němu Gravitační pole a jeho popis pomocí intenzity a siločar Elektrostatické působení Vlastnosti nábojů Coulombův zákon Elektrické pole a jeho popis pomocí intenzity a siločar Srovnání gravitačního a elektrického pole 01. 04. 2014

Úvod do gravitace Setkáváme se s první dalekodosahovou silou, se silou gravitační. Jejím prostřednictvím na sebe hmotné body působí, aniž by byly v přímém vzájemném kontaktu. Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika. Gravitační zákon je zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. 01. 04. 2014

Keplerovy zákony Tisíciletá astronomická pozorování a hlavně velmi přesná měření Tychona Braheho (1546-1601) byla shrnuta Johannesem Keplerem (1571-1630) do tří zákonů: Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, blízkých kružnicím. Slunce je v jejich společném ohnisku. Při pohybu určité planety je její plošná rychlost konstantní. Při srovnání drah dvou různých planet platí pro jejich doby oběhu a dlouhé periody: 01. 04. 2014

Newtonův gravitační zákon I Keplerovy zákony byly později geniálně shrnuty do všeobecného gravitačního zákona Issacem Newtonem : Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, která působí ve směru jejich spojnice. Je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. 01. 04. 2014

Newtonův gravitační zákon II Gravitační působení každých dvou hmotných bodů je vzájemné. Na každý působí síla směřující k bodu druhému ve směru spojnice. Obě síly jsou stejně velké, ale mají opačnou orientaci a každá působí jen na jeden z bodů. Jedná se tedy o akci a reakci jedné interakce. V důsledku toho se např. Měsíc a Země pohybují kolem společného těžiště a na Zemi dochází k slapovým jevům, nejpatrněji přílivu a odlivu. 01. 04. 2014

Newtonův gravitační zákon III Pro jednoduchost umístíme m1 do počátku, poloha m2 bude určena polohovým vektorem a směr k němu jednotkovým vektorem : Potom síla působící na bod m2 v důsledku existence bodu m1 směřuje z počátku a je : 01. 04. 2014

Newtonův gravitační zákon IV Síla působící na bod m1 směřuje z počátku a je : Velikosti obou sil jsou stejně velké : a jedná se tedy o akci a reakci jednoho působení. 01. 04. 2014

Newtonův gravitační zákon V Má-li mít hmotný bod mi polohu , bude a Potom lze např. sílu F21 velmi obecně psát : 01. 04. 2014

Newtonův gravitační zákon VI Gravitačně na sebe působí libovolné hmotnosti.  = 6.67 10-11 Nm2kg-2 … je univerzální gravitační konstanta “-” znamená, že se vždy jedná o sílu přitažlivou Při vzájemném působení více hmotných bodů platí princip superpozice  silové působení mezi dvěma hmotnými body nezávisí na rozložení jiných hmotností v jejich okolí, dokonce ani na hmotnosti ležící mezi nimi. 01. 04. 2014

Od Keplera k Newtonovi I 2. K. z.  gravitační síla je centrální Plošná rychlost je definována: Zjevně úzce souvisí s momentem hybnosti, protože Zachování plošné rychlosti je tedy ekvivalentní zachování momentu hybnosti. To podle druhé impulsové věty znamená, že moment gravitační síly je nulový. Tato nenulová síla tedy musí být buď paralelní nebo antiparalelní vzhledem k průvodiči. Protože je přitažlivá je antiparalelní. 01. 04. 2014

Od Keplera k Newtonovi II 2. K. z.  gravitační síla je centrální Pro zjednodušený případ, kružnici, znamená konstantní plošná rychlost i konstantní úhlovou rychlost a tedy nulové úhlové zrychlení, což opět svědčí o nulové výslednici momentu sil a tedy i o tom, že gravitační síla je centrální. Pohyb po eliptické dráze je podobný jako pohyb na ‘horské dráze’ – těleso může zrychlovat i zpomalovat, ale zachovává se celková mechanická energie, tedy součet kinetické a potenciální energie a moment hybnosti. 01. 04. 2014

Od Keplera k Newtonovi III 3. K. z.  gravitační síla ubývá se čtvercem vzdálenosti. Důkaz s použitím současného matematického aparátu je relativně snadný, ale z Newtonových zápisků není dodnes jasné, jak na něj přišel s prostředky, které byly známé v jeho době. 01. 04. 2014

Od Keplera k Newtonovi IV Pro kružnici, jednoduše předpokládejme dostředivou sílu ve tvaru : po úpravě: Podle 3. K.z. Musí být pravá strana konstantní a nesmí tedy záviset na r. To je splněno jen když je  = 0, a tedy síla klesá s druhou mocninou r. 01. 04. 2014

Gravitační pole I Gravitační pole si představujeme jako informaci, kterou o sobě šíří hmotné body do svého okolí nese údaje o jejich hmotnosti a poloze šíří se rychlostí světla na tuto informaci reagují jiné zdroje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla platí princip superpozice 01. 04. 2014

Gravitační pole II Gravitační pole je pole vektorové. Mohli bychom ho plně charakterizovat, v každém bodě třemi složkami síly , která působí na nějakou testovací hmotnost m. Výhodnější je tuto sílu vydělit testovací hmotností. Tím získáme intenzitu , která na hmotnosti již nezávisí a je tedy jednoznačnou vlastností pole. 01. 04. 2014

Gravitační pole III Intenzitu lze také chápat jako sílu, která by v daném bodě působila na jednotkovou hmotnost. Intenzita ale nemá přesně rozměr síly, nýbrž síly dělené hmotností a tedy i jinou jednotku [N/kg]. 01. 04. 2014

Elektrická síla a pole Mnoho základních vlastností přírody existuje jako důsledek interakcí nabitých částic od chemické vazby po elektromagnetické záření. Pro jednoduchost se nejprve budeme zabývat náboji a poli, které jsou statická, tedy v klidu. Taková pole existují po dosažení rovnováhy. Detaily, jak k této rovnováze dojde, se elektrostatika nezabývá. 01. 04. 2014

Příklady elektrostatických jevů I Hřeben, kterým jsme si právě prohrábli vlasy přitahuje malé kousky papíru. Způsobuje to dalekodosahová síla, která může být i odpudivá. Pozorované síly přiřazujeme vlastnosti částic, kterou nazýváme elektrický náboj. Většinou se tělesa projevují elektricky neutrálně. Aby na sebe tělesa silově působila docílíme: jejich nabitím – přidáním nebo odebráním náboje přerozdělením náboje na nich 01. 04. 2014

Příklady elektrostatických jevů II Přerozdělení náboje lze docílit i působením na dálku, nazývaným indukce. To se někdy mylně považuje také za nabití. Nabití se provádí vedením náboje neboli kondukcí nebo bombardováním náboji neboli konvekcí. Kondukce vyžaduje vodivý kontakt. Jím se na těleso přivede nebo se z něj odvede dodatečný náboj. Pomocí materiálů, zvaných vodiče, lze náboje přenášet snadno. Pomocí jiných, zvaných izolátory, je to obtížné nebo nemožné. Potřeba jsou kvalitní vodiče i kvalitní izolátory! Kovy jsou dobrými vodiči proudu i tepla. Existují ale moderní materiály, které vedou dobře proud, ale špatně teplo nebo naopak. 01. 04. 2014

Hlavní vlastnosti náboje Protože existují přitažlivé i odpudivé elektrické síly, musí být náboje dvojího druhu, pozitivní a negativní. Shodné náboje se odpuzují a rozdílné přitahují. Náboje jsou kvantovány – existují jen v násobcích elementárního náboje e = 1.602 10-19 C. Ve všech známých procesech náboje vznikají nebo zanikají pouze v párech (+q a -q), takže se celkový náboj zachovává. Náboj je invariantní vůči Lorentzově transformaci. 01. 04. 2014

Hlavní vlastnosti elektrostatických interakcí Nabité částice na sebe působí silami. Síly : jsou dalekodosahové – zprostředkované elektrickým polem splňují princip superpozice Vzájemnou interakci dvou bodových nábojů v klidu popisuje Coulombův zákon. 01. 04. 2014

Coulombův zákon I Mějme dva bodové náboje Q1 a Q2 ve vzdálenosti r od sebe. Potom je velikost síly, kterou na sebe navzájem působí rovna : jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C] k = 1/40 = 9.109 Nm2/C2 0 = 8.85 10-12 C2/ Nm2 je permitivita vakua 01. 04. 2014

Coulombův zákon II Protože síly jsou vektory, je důležitá i informace o jejich směru. Úplnou informaci dostaneme, umístíme-li bodový náboj Q1 do počátku a poloha druhého Q2 bude určena polohovým vektorem . Pro sílu, působící na Q2 platí : síly působí ve směru spojnice síly působící na oba náboje jsou akce a reakce positivní síla je odpudivá 01. 04. 2014

Koncepce elektrického pole Je-li náboj umístěn v určitém bodě prostoru, “vysílá” kolem sebe informaci o své pozici, polaritě a velikosti. Tato informace se šíří rychlostí světla. Může být “zachycena” jiným nábojem. Výsledkem interakce náboje a elektrostatického pole je silové působení. 01. 04. 2014

Elektrická intenzita I Elektrické pole by bylo možné popsat pomocí vektoru síly , která by působila na jistý testovací náboj Q v každém bodě, který by nás zajímal. Tento popis by ale závisel na velikosti a polaritě testovacího náboje, který by se musel uvádět jako doplňující informace. Jinak by byl popis nejednoznačný. 01. 04. 2014

Elektrická intenzita II Vydělením testovacím nábojem je definována elektrická intenzita, která již je jednoznačnou funkcí popisovaného pole : Číselně je rovna síle, která by v daném bodě působila na jednotkový kladný náboj. Intenzita ale nemá rozměr pouhé síly. 01. 04. 2014

Elektrická intenzita III Vydělením testovacím nábojem se informace, jak pole tento náboj “cítí” stává objektivní informací o vlastnosti pole. Je nutné si uvědomit, že vzhledem k dvojí polaritě nábojů, působí síly vyvolané stejným polem na náboje různých polarit silami dokonce opačně orientovanými. 01. 04. 2014

Srovnání elektrostatického a gravitačního působení I Formálně je Coulombův zákon podobný Newtonovu gravitačnímu zákonu : Až v současnosti bylo dokázáno, že i hmotnost je kvantovaná -> Higgsův boson. 01. 04. 2014

Srovnání elektrostatického a gravitačního působení II Formálně jsou Coulombův a Newtonův gravitační zákon analogické, ALE jedná se o zcela jiný typ interakce ale elektrostatická síla je ~ 1042 (!) krát silnější tak slabá síla přesto dominuje ve vesmíru, protože hmota je obvykle neutrální nabít nějaké těleso znamená nepatrně porušit obrovskou rovnováhu 01. 04. 2014

Siločáry Elektrické nebo gravitační pole jsou trojrozměrná vektorová pole, která se v obecném případě na 2D nákresnu obtížně znázorňují. V jednoduchých symetrických příkladech, lze užít siločáry. Jsou to křivky, které jsou v každém bodě tečné k vektorům příslušné intenzity, čili se nemohou protnout! Velikost intensity se znázorňuje délkou nebo hustotou těchto siločar. Kladný náboj nebo hmotnost by se pohybovaly po určité siločáře, náboj záporný také, ale v opačném smyslu. 01. 04. 2014

Konzervativní pole Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule. 01. 04. 2014

Existence potenciálu Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech. Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g. 01. 04. 2014

Práce vykonaná na částici I Přesune-li například nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli nebo částici hmotnosti m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci : W(A->B)  q[e(B)-e(A)] nebo W(A->B)  m[g(B)-g(A)] 01. 04. 2014

Práce vykonaná na částici II Pro potenciální energii částice obecně platí : Ep(B)=Ep(A)+W(A->B) Tuto definici srovnáme s předchozími vztahy : W(A->B)=q[e(B)-e(A)] =Ep(B)-Ep(A) W(A->B)=m[g(B)-g(A)] =Ep(B)-Ep(A) Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep definovanou : 01. 04. 2014

Práce vykonaná na částici III Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U : UBA  (B)-(A) Pomocí napětí je vykonaná práce : W(A->B)=q UBA 01. 04. 2014

Práce vykonaná na částici IV Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí : W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUBA Je důležité si uvědomit principiální rozdíly : Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím. Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem 01. 04. 2014

Důsledky existence potenciálu Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu příslušného pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů Stačí nám jen třetina informací Superpozice vede na prostý aritmetický součet Některé výrazy lépe konvergují 01. 04. 2014

Jednotky Jednotkou potenciálu  i napětí U je 1 Volt. [ ] = [Ep/q] => V = J/C [E] = [/d] = V/m [] = [k q/r] = V => [k] = Vm/C => [0] = CV-1m-1 01. 04. 2014

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Příklad dvě závaží na kladce I Mějme na válcové kladce m3, r dvě závaží, např. vlevo je m1 > m2. Pro tahy t1, t2, které vyvolávají jednotlivá závaží můžeme psát: t1 = m1g - m1a t2 = m2g + m2a (t1 - t2)r = J Můžeme-li zanedbat kladku J ≈ 0  t1 = t2 

Příklad dvě závaží na kladce II Kladku zanedbat nemůžeme, potom dosadíme a po jednoduché úpravě dostáváme :

Příklad dvě závaží na kladce III Stejný výsledek dostaneme ze zachování energie, když závaží m1 poklesne za Δt o Δh : derivujeme podle času, zkrátíme v a upravíme : ^

Příklad - potenciál I Spočítejme práci, kterou musíme (jako vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M. Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci musíme dodávat jen při zvětšování r, protože působíme proti přitažlivé síle.

Dva elektrony 1 m od sebe Jsou elektrostaticky odpuzovány, zato naopak gravitačně přitahovány. Která síla bude větší? ^

Jeden elektron a proton 0.53 10-10 m od sebe To odpovídá jejich průměrné vzdálenosti v atomu vodíku. Takovou sílu je principiálně možné změřit makroskopicky! Značná velikost sil je tajemství, proč hmota drží pohromadě. ^

Oddělme elektrony a protony z 1 g vodíku a dejme je na póly Země. 1 g je 1 gram-molekula H, takže máme NA=6.02 1023 obou typů částic. To je tíha naloženého nákladního vagónu. ^

Dvě železné kuličky o hmotnosti 1 g, vzdáleny od sebe 1 m se přitahují silou 10 N. Jaký mají přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Podělme ho celkovým nábojem : ^

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^

Dvě 1é g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N Dvě 1é g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^