Houška M.,Švasta J.: Simulační modely I

Modelování neurčitosti Témata 1. přednášky Podstata simulace Metoda TOP20 Deterministický optimalizační model Modelování neurčitosti Matematické funkce pro generování pseudonáhodných čísel Generování náhodných veličin Metoda Monte Carlo Simulační výpočet určitého integrálu

Podstata simulace Napodobení chování reálných systémů Umožňuje vyhodnotit důsledek rozhodnutí bez jeho realizace Experimentování s modelem v případech, kdy reálné experimenty nejsou možné Experiment nelze uskutečnit (zemětřesení) Experiment je příliš nákladný Experiment je nebezpečný (požár, řízení auta) Taylorova definice: Simulace je numerická metoda, která spočívá v experimentování se speciálním matematickým modelem reálných systémů na počítači

Zahrnutí náhodných vlivů v podobě pravděpodobnostních charakteristik Simulační modely Soubor matematických a logických vztahů, které vyjadřují chování prvků modelovaného systému (vzhledem k cíli modelování) Zahrnutí náhodných vlivů v podobě pravděpodobnostních charakteristik Zahrnutí času Opakované výpočty, změny vstupních údajů

Podle zahrnutí náhodných vlivů: Stochastická simulace Deterministická simulace Podle zobrazení času: Statické modely Dynamické modely S pevným časovým krokem S proměnlivým časovým krokem S kombinovaným časovým krokem

Výhody: Nevýhody: Náhrada experimentování s reálným systémem Pro případy, které neumíme řešit analyticky Pro modely, které jsou analyticky velmi složité Použitelné při velkém počtu náhodných vlivů Schopné modelovat čas Nevýhody: Neexistuje univerzální model – každá simulace je individuální Speciální simulační jazyky nejsou příliš rozšířené a drahé Správnost konstrukce je třeba ověřovat

Simulace se mnohokrát opakuje s různými vstupními údaji Dosažené výsledky se ihned po výpočtu porovnávají s předešlými a v paměti se uchovává 20 nejlepších Je nutné určit kritérium porovnávání – účelovou funkci

Příklad Na ploše 10 ha se mají pěstovat 2 plodiny: řepka a kukuřice. Zisk z 1 ha řepky je 7 tisíc Kč, zisk z 1 ha kukuřice je 4 tisíce Kč. Potřeba traktorových hodin na 1 ha řepky je 150, na 1 ha kukuřice 45.K dispozici je 600 traktorových hodin celkem. Na jakých plochách se budou plodiny pěstovat, aby celkový zisk byl maximální?

start ano konec ne

Numerické řešení úloh pomocí mnohokrát opakovaných náhodných pokusů Metoda Monte Carlo Numerické řešení úloh pomocí mnohokrát opakovaných náhodných pokusů Pro dostatečný počet pokusů se relativní četnost blíží pravděpodobnosti Použití: Velký počet náhodných proměnných Funkce závislé na čase Rušivé náhodné vlivy Propojené modely

Příklad Vypočítejte, pro které(á) x se funkce rovná 0: Nakreslit graf průběhu funkce Zkoumat zvolený interval v jemnějším a jemnějším členění

x y -10 -916 -9 -664 -8 -464 -7 -310 -6 -196 -5 -116 -4 -64 -3 -34 -2 -20 -1 -16 1 -14 2 3 20 4 64 x y 1,1 -13 1,2 1,3 -12 1,4 -11 1,5 -10 1,6 -9,3 1,7 -8,2 1,8 -6,9 1,9 -5,5 2 -4 2,1 -2,3 2,2 -0,5 2,3 2,2 -0,5 2,21 -0,3 2,22 -0,1 2,23 0,1 2,24 0,3 2,25 0,5 2,26 0,7 2,27 0,8 2,28 1,1 2,29 1,3 2,3 1,5 2,221 -0,1113 2,222 -0,0921 2,223 -0,0728 2,224 -0,0535 2,225 -0,0342 2,226 -0,0149 2,227 0,0044 2,228 0,02374

2,2261 -0,012993 2,2262 -0,011061 2,2263 -0,009129 2,2264 -0,007197 2,2265 -0,005264 2,2266 -0,003332 2,2267 -0,001399 2,2268 0,0005339 2,2269 0,0024669 Chyba menší než 0,001

start ano konec ne

Tabulky náhodných čísel Fyzikální generátory Matematické generátory Náhodná čísla Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Statisticky nezávislé Distribuční funkce Střední hodnota Rozptyl V Excelu: NAHCISLO() Tabulky náhodných čísel Fyzikální generátory Matematické generátory Ve vývojovém diagramu:

Pseudonáhodná čísla Lineární kongruentní funkce c…přirozené číslo r…reálné číslo mod …modulo – vrací zbytek po celočíselném dělení Po p krocích se posloupnost opakuje p=264…někdy nestačí

2. Multiplikativní funkce 3. Aditivní lineární funkce nutno zadat j počátečních hodnot (aspoň cn-1,cn) Perioda je delší, ale některá čísla se opakují

Generování náhodných veličin náhodná veličina se v daném intervalu vyskytuje se stejnou pravděpodobností Typ rozdělení rovnoměrné Vzorec pro generování Hustota pravděpodobnosti Střední hodnota Rozptyl

Generování náhodných veličin pravděpodobnost výskytu v daném intervalu je úměrná délce intervalu, procesy bez minulosti intervaly mezi událostmi Typ rozdělení exponenciální Vzorec pro generování Hustota pravděpodobnosti Střední hodnota Rozptyl

Generování náhodných veličin nespojité pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je p X počet úspěšných pokusů při n opakováních Typ rozdělení binomické Vygeneruj n náhodných čísel, X je počet případů, kdy: Pravděpodobnostní funkce Střední hodnota Rozptyl

Generování náhodných veličin X počet výskytů za jednotku času Typ rozdělení Poissonovo Pravděpodobnostní funkce Střední hodnota Rozptyl Generování: Stanovíme x=0, pokles=1,mez= Vygenerujeme r; pokles=pokles.r Pokles>=mez; x=x+1; celé opakovat

Příklad: výpočet určitého integrálu 1. Znázornit průběh funkce v daném intervalu 2. Vypočítat plochu obdélníka ABCD 3. Vygenerovat náhodné veličiny x v intervalu AB 4. Ke každému x vypočítat y, tj. f(x) 5. Vygenerovat náhodné y (z intervalu AD ) 6. Pokud náhodné y je menší než f(x), bod leží pod křivkou, za každý takový pokus započteme 1 7. Vypočítáme procento pokusů s jedničkou=procento plochy obdélníka ležící pod křivkou

D C Vygenerované y V ploše neleží Vypočtené f(x) Vygenerované y V ploše leží B A Vygenerované x

Strana AB:10-6=6 Strana BC: souřadnice C: (10;1084) Plocha obdélníka ABCD Strana AB:10-6=6 Strana BC: souřadnice C: (10;1084) Délka stany BC: 1084 Plocha obdélníka: 6.1084=6504