Notace napětí 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Symetrie tenzoru, vektorový zápis Systém x, y, z Systém 1, 2, 3 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 2 List 1

Notace posuvů a deformace 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Notace posuvů a deformace M M’ u u1 v u2 w u3 x x1 1 y x2 2 z x3 3 Systém x, y, z Systém 1, 2, 3 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 2 List 2

Pootočení souřadného systému 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Pootočení souřadného systému Transformace napětí a deformace 1 x x1 2 y x2 1=1’ z=z’ x3 = x3’ 1’ x’ x’1 2’ y’ x’2 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 2 List 3

Transformace napětí a deformace ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 4 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Transformace napětí a deformace 1 x x1 2 y x2 1=1’ z=z’ x3 = x3’ 1’ x’ x’1 2’ y’ x’2

C …. matice tuhosti S…. matice poddajnosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 5 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Vztah mezi napětím a deformací Hookeův zákon C …. matice tuhosti S…. matice poddajnosti symetrie tenzoru napětí a deformace Matice C a S pro anizotropní materiál mají 21 nezávislých prvků

Vztah mezi napětím a deformací ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 6 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Vztah mezi napětím a deformací Hookeův zákon v pootočeném souřadném systému Matice tuhosti a poddajnosti v transformovaném systému Inverzní výrazy mají tvar . Přitom platí

Typy anizotropie 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 7 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Typy anizotropie Anizotropní materiál – 21 nezávislých prvků matice tuhosti neexistuje rovina symetrie materiálových vlastností Monoklinický materiál – 1 rovina symetrie materiálových vlastností, 13 nezávislých prvků matice tuhosti Ortotropní materiál – 3 roviny symetrie materiálových vlastností, 9 nezávislých prvků matice tuhosti Příčně (transverzálně) – 3 roviny symetrie materiálových vlastností izotropní materiál v jedné z rovin se chová jako izotropní 5 nezávislých prvků matice tuhosti Pseudo izotropní materiál – 3 roviny symetrie materiálových vlastností v těchto osách stejné elastické vlastnosti 3 nezávislé prvky matice tuhosti Izotropní materiál – 2 nezávislé prvky matice tuhosti stejné elastické vlastnosti ve všech směrech

Ortotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY matice tuhosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 8 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Ortotropní materiály hlavní směr anizotropie hlavní směr anizotropie rovina symetrie elastických vlastností x2 x3 vlastností x1 x2 vlastností x1 x3 matice tuhosti matice poddajnosti (2.50)

Ortotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 9 Kap 2 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Ortotropní materiály Inženýrské materiálové parametry matice poddajnosti – ortotropní materiál jsou moduly pružnosti v tahu v hlavních směrech anizotropie jsou moduly pružnosti ve smyku v rovinách rovnoběžných s příslušnou rovinou symetrie elastických vlastností jsou Poissonova čísla (též Poissonovy konstanty), u kterých první index odpovídá směru působícího normálového napětí a druhý směru, při němž vzniká příslušná deformace v příčném směru. 9 nezávislých prvků matice tuhosti Protože je matice poddajnosti ve výrazu (2.50) symetrická, platí

Příčně izotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Příčně izotropní materiály Příčně (transverzálně) izotropní materiál 5 nezávislých prvků matice tuhosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 2 List 10

Izotropní materiály 2. ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY Izotropní materiál 2 nezávislé prvky matice tuhosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 2 List 11

3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Pojmy: laminát x lamina mikro-mechanická x makromechanická analýza napětí jednosměrový kompozit ortotropní resp. příčně izotropní materiál souřadnicový systém ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 3 List 12

Příklad 1 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: Vyšetřete: ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 13 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 1 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy Vyšetřete: materiálové charakteristiky (elastické konstanty) v podélném a příčném směru

Vztahy mezi napětím a deformací 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Vztahy mezi napětím a deformací Namáhání v podélné ose Namáhání v příčné ose Superpozice namáhání (rovinná napjatost) Namáhání smykem ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 3 List 14

Rovinná napjatost v lamině 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Rovinná napjatost v lamině Příčně izotropní materiál nebo ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 3 List 15

Rovinná napjatost v lamině ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 16 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Rovinná napjatost v lamině

Příklad 2 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: 6,992 103 3,422 103 ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 17 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 2 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy viz př. 1 zatížení Vyšetřete: deformace v souřadnicovém systému (L,T ) (deformace v podélném a příčném směru, a zkos) 3,422 103 6,992 103

Transformace napětí a deformace v lamině 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Transformace napětí a deformace v lamině ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM Kap 3 List 18

Příklad 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: Vyšetřete: ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 19 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 3 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy a zatížení Vyšetřete: napětí v souřadnicovém systému (L,T )

Transformace napětí a deformace v lamině ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 20 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Transformace napětí a deformace v lamině

Mimoosová tuhost laminy ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 21 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Mimoosová tuhost laminy Při rovinné napjatosti

Mimoosová poddajnost laminy ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 22 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Mimoosová poddajnost laminy má obecně všechny prvky nenulové – důsledek:

Prvky mimoosové poddajnosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 23 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Prvky mimoosové poddajnosti

Prvky mimoosové tuhosti a poddajnosti ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 24 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Prvky mimoosové tuhosti a poddajnosti

Závislost mimoosové tuhosti na úhlu vláken ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 25 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Závislost mimoosové tuhosti na úhlu vláken

Příklad 4 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Dáno: Vyšetřete: ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 26 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 4 Dáno: jednovrstvý kompozit carbon/epoxy a zatížení Vyšetřete: deformace v souřadnicovém systému (x,y) a (L,T)

Příklad 1 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 27 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY Příklad 1

3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 MKM List 28 Kap 3 3. JEDNOSMĚROVÉ KOMPOZITY