BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ (Bernoulliovo schéma)
Nezávislé pokusy Jestliže výsledek každého z dílčích náhodných pokusů nezávisí na výsledcích ostatních pokusů, pak říkáme, že to jsou nezávislé pokusy.
Opakované nezávislé pokusy Jestliže posloupnost n dílčích pokusů vzniká n-násobným opakováním jistého náhodného pokusu, pak mluvíme o n opakovaných pokusech. Jsou-li tyto pokusy nezávislé, mluvíme o n opakovaných nezávislých pokusech.
Mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý končí buď zdarem s pravděpodobností p, nebo nezdarem s pravděpodobností q. Potom pravděpodobnost jevu Ak, že právě k pokusů bude zdařilých, je 𝑷 𝑨 𝒌 = 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 , 𝒌=𝟎, 𝟏, 𝟐,…,𝒏
1. Výrazy 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 se objeví v binomickém rozvoji 𝒒+𝒑 𝒏 : Všimněte si: 1. Výrazy 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 se objeví v binomickém rozvoji 𝒒+𝒑 𝒏 : 𝒒+𝒑 𝒏 = 𝒏 𝟎 𝒒 𝒏 + 𝒏 𝟏 𝒑 𝒒 𝒏−𝟏 + + 𝒏 𝟐 𝒑 𝟐 𝒒 𝒏−𝟐 +…+ 𝒏 𝒏−𝟏 𝒑 𝒏−𝟏 𝐪+ 𝒏 𝒏 𝒑 𝒏
Což plyne z binomické věty, protože q + p = 1 Všimněte si: 2. Jevy „právě k pokusů bude zdařilých“ se pro k = 0, 1, 2, … , n navzájem vylučují a jejich sjednocení je jistý jev. Platí tedy: 𝒒+𝒑 𝒏 = 𝒏 𝟎 𝒒 𝒏 + 𝒏 𝟏 𝒑 𝒒 𝒏−𝟏 +…+ 𝒏 𝒏 𝒑 𝒏 =𝟏 Což plyne z binomické věty, protože q + p = 1
Pravděpodobnosti 𝑷 𝑨 𝒌 = 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 , 𝒌=𝟎, 𝟏, 𝟐,…,𝒏 Tvoří takzvané binomické rozdělení neboli Bernoulliovo schéma.