Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 07 Průběh funkce Matematika II. KIG / 1MAT2

O čem budeme hovořit: Derivace vyšších řádů Souvislost první derivace a monotonie funkce Souvislost druhé derivace a konvexnosti či konkávnosti funkce Extrémy a inflexní body funkce Asymptoty grafu funkce Vyšetřování průběhu funkce

Derivace vyšších řádů

Derivace derivací Již víme, že derivace funkce f(x) je opět funkce: Můžeme tedy postupně derivovat dále: Vyšší derivace se označují exponenty v závorkách.

Příklady

Souvislost první derivace a monotonie funkce

Nenulová první derivace v bodě Věta Je-li derivace funkce f(x) v bodě c kladná, tedy f´(c) > 0, pak je funkce f(x) v bodě c rostoucí. Je-li derivace funkce f(x) v bodě c záporná, tedy f´(c) < 0, pak je funkce f(x) v bodě c klesající. Bod c, pro nějž platí, že f´(c) = 0, budeme nazývat stacionárním bodem. O monotonii funkce ve stacionárním bodě nelze říci nic !!

Monotonie funkce v intervalu Věta Je-li f´(x) > 0 v každém bodě x intervalu (a;b), pak je funkce f(x) v tomto intervalu rostoucí. Je-li f´(x) < 0 v každém bodě x intervalu (a;b), pak je funkce f(x) v tomto intervalu klesající. Příklad: Derivace funkce f(x) = x 2 je f´(x) = 2x. Funkce f(x) je tedy klesající v intervalu (-  ;0) a rostoucí v intervalu (0;+  ).

Souvislost druhé derivace a konvexnosti či konkávnosti funkce

Vymezení konvexity a konkávity Podívejme se na názorné příklady: Konvexita a konkávita.ggb Leží-li graf funkce f(x) v jistém okolí bodu c nad tečnou ke grafu, pak budeme říkat, že funkce f(x) je v bodě c konvexní. Leží-li graf funkce f(x) v jistém okolí bodu c pod tečnou ke grafu, pak budeme říkat, že funkce f(x) je v bodě c konkávní.

Nenulová druhá derivace v bodě Věta Je-li druhá derivace funkce f(x) v bodě c kladná, tedy f´´(c) > 0, pak je funkce f(x) v bodě c konvexní. Je-li druhá derivace funkce f(x) v bodě c záporná, tedy f´´(c) < 0, pak je funkce f(x) v bodě c konkávní. Bod c, pro nějž platí, že f´´(c) = 0, budeme nazývat kritickým bodem. O konvexitě či konkávitě funkce v kritickém bodě nelze říci nic !!

Konvexita a konkávita v intervalu Je-li f´´(x) > 0 v každém bodě x intervalu (a;b), pak je funkce f(x) ve všech bodech intervalu konvexní a budeme říkat, že je konvexní v (a;b). Je-li f´´(x) < 0 v každém bodě x intervalu (a;b), pak je funkce f(x) ve všech bodech intervalu konkávní a budeme říkat, že je konkávní v (a;b). Příklad: Pro funkci f(x) = x 2 je f´(x) = 2x a f´´(x) = 2 > 0. Funkce f(x) je tedy konvexní v intervalu (-  ; +  ).

Extrémy a inflexní body funkce

Absolutní extrémy funkce Definice Funkci f(x) s definičním oborem D f má v bodě c absolutní maximum právě tehdy, když platí: (  x  D f ) f(x)  f(c). Funkci f(x) s definičním oborem D f má v bodě c absolutní minimum právě tehdy, když platí: (  x  D f ) f(x)  f(c). Absolutní extrémy hledáme mezi krajními body definičního oboru (pokud existují), nebo body kde první derivace neexistuje nebo je rovna nule.

Lokální extrémy funkce Definice Funkce f(x) má v bodě c lokální maximum právě tehdy, když platí: (  0)(  x) 0 < | x  c | <   f(x) < f(c). Funkce f(x) má v bodě c lokální minimum právě tehdy, když platí: (  0)(  x) 0 f(c). Lokální extrémy hledáme mezi body kde první derivace neexistuje nebo je rovna nule.

Věta o lokálních extrémech funkce Věta Nechť pro derivace funkce f(x) v bodě c platí: f´(c) = 0  f´´(c) < 0. Pak má funkce f(x) v bodě c lokální maximum. Nechť pro derivace funkce f(x) v bodě c platí: f´(c) = 0  f´´(c) > 0. Pak má funkce f(x) v bodě c lokální minimum.

Inflexní body funkce Definice Funkce f(x) má v bodě c inflexní bod právě tehdy, když platí: f´´(c) = 0 a existuje  > 0 takové, že f(x) je konvexní v (c-  ;c) a konkávní v (c;c+  ) anebo f(x) je konkávní v (c-  ;c) a konvexní v (c;c+  ). Promyslete si významy první a druhé derivace na funkcích f(x) = sin x a f(x) = cos x. Derivace funkce sinus.ggb

Asymptoty grafu funkce

Asymptota Asymptotou grafu funkce je přímka, ke které se graf „neomezeně přibližuje“. Má-li funkce ve vlastním bodě c nevlastní limitu, je asymptotou přímka o rovnici x = c. Věta Existují-li reálná čísla k, q taková, že platí k = lim f(x) / x  q = lim ( f(x) – kx ), pak je přímka o rovnici y = k.x + q asymptotou grafu funkce f(x).

Vyšetřování průběhu funkce

Doporučený postup Stanovíme definiční obor Vyšetříme sudost, lichost, periodicitu Vypočítáme limity v krajních bodech Vypočítáme průsečíky s osami a intervaly, kde je funkce kladná či záporná Pomocí první derivace určíme monotonii Pomocí druhé derivace určíme konvexitu a konkávitu Zjistíme extrémy funkce Zjistíme, zda má funkce asymptoty Nakreslíme co nejpřesněji graf funkce

Příklady Průběh_příklady.ggb

Co je třeba znát a umět? Umět počítat pro funkce derivace vyšších řádů, znát věty o souvislosti derivace a monotonie, znát věty o souvislosti druhé derivace a konvexity a konkávity funkce, umět vyhledat extrémy funkce, umět vyšetřit průběh funkce.

Děkuji za pozornost