Limita funkce. Koncentrace 137Cs v odpadním kanálu jaderné elektrárny se v časovém intervalu (t1, t2) řídí rovnicí c (t) = c0e -(t-t0). V čase t1 dojde k úniku tohoto prvku z elektrárny. Koncentrace v kanálu se zvýší na c1 > c0. Rozpad pak pokračuje podle vztahu c (t) = c1e -(t-t1) c0 = 10 c1 = 20 t0 = 0 t1 = 2 zleva zprava

Na tomto příkladu je vidět Kdyby pokračoval trend rozpadu z bodu t = 0 i v bodě t = 2, pak c (2) = 10e -2. “Prodloužení“ trendu je limita funkce v bodě t = 2 (v našem případě zleva). Kdybychom se blížili k bodu t = 2 zprava, (proti času), pak c(2) = 20 e -2. Na tomto příkladu je vidět limita funkce v bodě je pokračování trendu funkce podle jejího chování v okolí tohoto bodu. limita funkce v bodě nemusí být rovna funkční hodnotě v bodě. Funkce nemusí být v bodě vůbec definovaná!! Pokud existují limity funkce v bodě zleva a zprava a obě se rovnají, pak limita znamená “přemostění“ kritického bodu podle chování funkce v okolí tohoto bodu. Pokud existují limity funkce zleva a zprava v bodě a nerovnají se, pak nelze kritický bod “přemostit“, takže limita funkce v bodě neexistuje. Příklad y = 0.5x, x  R – {0}, y = 10 pro x = 0. Limita zleva se rovná limitě zprava. Podezřelou funkční hodnotu lze překlenout limitou v tomto bodě. Graf funkce “se spojí“. [0, 0]

Přesněji: ( ) Viz předchozí příklad. Body, které mohou být limitami jsou A = 0, A = 10. Vezmeme malý interval (-0.1, 0.1) v okolí bodu A = 0. Vzorem tohoto intervalu je interval na ose x tvaru (-0.2, 0.2) s “vykousnutým“ Bodem x = 0. Tyto intervaly si odpovídají ve smyslu, když x  (-0.2, 0.2) - {0}, pak y  (-0.1, 0.1). Tento postup popisuje průběh funkce v okolí bodu 0. Proto limita v bodě 0 je rovna 0. Zkusíme vzít malý interval (9.9, 10.1) v okolí bodu A = 10. Vzorem tohoto intervalu je interval (19.8,20.2), tedy interval, který neobsahuje bod x = 0. Proto A = 10 není limitou funkce v bodě 0. Ještě přesněji: ( ) Ať vezmu libovolný interval (A – e, A + e), pak existuje prstencové okolí bodu a, P = (a – d, a + d)-{a} tak, že pro každé x  P je f ( x )  (A – e, A + e)

Nejpřesněji = Definice limity funkce: právě, když pro každé e > 0 existuje d > 0 tak, že když x  (a – d, a + d)-{a} , pak f ( x )  (A – e, A + e). “okolí“ nekonečna jsou intervaly (k, + ∞ ), resp. (- ∞, k). právě, když pro každé e > 0 existuje k > 0 tak, že když x > k , pak f ( x )  (A – e, A + e). právě, když pro každé m > 0 existuje n > 0 tak, že když x > n , pak f ( x ) > m. (limita v bodě a zprava – analogicky zleva) právě, když pro každé e > 0 existuje d > 0 tak, že když x  (a, a + d) , pak f ( x )  (A – e, A + e).

Vlastnosti limit a operace s limitami. Limita funkce nemusí existovat (viz 1. příklad přednášky). Pokud limita existuje, pak existuje právě 1. Pokud jednostranné limity existují a nerovnají se, pak limita funkce v tomto bodě neexistuje. Pokud některá z jednostranných limit neexistuje, pak limita funkce v tomto bodě Limita funkce v bodě existuje právě, když existují obě jednostranné limity v tomto bodě a rovnají se. Nechť existují vlastní (tj. ne nekonečné) limity Pak pokud

Výpočet limit Výpočty jsou založeny na asymptotických vlastnostech funkcí. = 0, n < m = an / bn, n = m = ∞, n > m = 0, k > l = ak / bl, k = l = ∞, k < l, k - l sudé neexistuje, k < l, k-l liché

Příklady Proto neexistuje. neexistuje

Spojitost funkce. Funkce f je spojitá v bodě a  D(f) právě, když Funkce f je spojitá zleva v bodě a  D(f) právě, když Funkce f je spojitá zprava v bodě a  D(f) právě, když Omezenost funkce na množině. Funkce f je omezená zdola na množině A  D( f )  existuje K tak, že pro každé x  A je f ( x )  K. omezená shora na množině A  D( f )  existuje K tak, že pro každé x  A je f ( x )  K. omezená na množině A  D( f )  je omezená shora a současně je omezená zdola na A. Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), je-li spojitá v každém vnitřním bodě intervalu a v krajních bodech je spojitá zleva (resp. zprava). Je-li funkce f spojitá na intervalu (a, b), pak je na tomto intervalu omezená, tedy existují čísla m a M tak, že m  f (x)  M pro každé x  (a, b).

Věta o střední hodnotě. Nechť f je funkce spojitá na intervalu <a, b>  D( f ). Nechť f (a) < f( b ) (nebo f(a) > f(b)). Pro každé L takové, že f (a) < L < f( b ) (resp. f(a) > L > f(b)), existuje alespoň jedno c (a, b) tak, že f ( c ) = L. Příklad f ( 1 ) = -5, f ( 2 ) = 35. Existuje tedy x  (1, 2) tak, že f( x ) = 0. Víme tedy, že v tomto intervalu leží kořen polynomu. Věta o dvou policajtech. Nechť f ( x )  g ( x )  h ( x ) pro všechna x  (a, b) vyjma eventuálně x = c. Pak Příklad. 

Postup při výpočtu limit. Počítejme . a  R, f je spojitá v bodě a. Pak = f ( a ). f není spojitá v bodě a, , f (a)  A, jedná se o odstranitelnou nespojitost. f se předefinuje v bodě a hodnotou A a upravená funkce je spojitá. , A  B, jedná se o neodstranitelnou nespojitost neexistuje. některá z jednostranných limit neexistuje, jedná se o neodstranitelnou nespojitost , neexistuje. Poznámka. Pokud výraz f (a) je typu , je nutno použít k výpočtu limit asymptotických vlastností funkcí.

Příklad. Dokažte, že funkce f ( x ) = -7, x = -2 je spojitá v bodě x = -2. 1. funkce je v tomto bodě definovaná. 2. Funkce je tedy v bodě -2 spojitá. Funkce f = 1/x je spojitá na svém definičním oboru. V bodě x = 0 funkce spojitá není (protože tam není definovaná). Funkce f = 1/x, x  0, f (0) = 10 není spojitá na svém definičním oboru. (Bodem nespojitosti je bod x = 0.) Na množině R – {0} je f spojitá.

Příklady. 1. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem Jestliže N (0) = 10, vypočtěte limitní populační velikost, tj. limitu v + Pro který čas t je hodnota N ( t ) rovna polovině limitní velikosti populace. 2. Vypočítejte 3. Vypočítejte