CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ 12. PŘEDNÁŠKA © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2009

CW05 POKRAČOVÁNÍ ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního (i jiného) programování. ☺ Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Formulace úloh Obecným tvarem úlohy lineárního celočísel-ného programování (CLP) je úloha maxima-lizace nebo minimalizace lineární funkce s podmínkou, že nezávisle proměnné této funkce musí splňovat soustavu omezení da-ných soustavou lineárních rovnic nebo nerov-ností, z nichž některé musí splňovat i pod-mínku celočíselnosti. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Nejjednodušší metodou je tzv. „zakrouhlo-vací metoda“, podle které se zadaná úloha vyřeší bez ohledu na podmínky celočíselnosti a výsledek, tj. složky získaného optimálního neceločíselného řešení se na celá čísla „zaokrouhlí“. Má to nevýhodu v tom, že tento postup neza-ručuje získání optimálního řešení, ale dokonce ani nemusí být přípustným řešením. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Že z toho plyne určitě malá oblast úloh, které takto mohou být řešeny, je více než jasné. V praxi lze tento postup doporučit pouze v případech, jsou-li všechny složky opti-málního neceločíselného řešení velmi vel-ká čísla (zaokrouhlení je pak „neovlivní“) a pokud nebude vadit možné nedodržení ome-zujících podmínek. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Obecná formulace úlohy CLP Ve vektorovém nebo maticovém tvaru, pří-padně složkovém tvaru: max L(x) = cT * x na množině přípustných řešení S daných omezujícími podmínkami: x1 * a1 + x2 * a2 + … + xn * an ≤ b xj ≥ 0 kde xj jsou celá čísla a j = 1 , 2 , … , n. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Pokud je podmínkou vztah: xj = 0 nebo xj = 1 nazývá se řešení procesem bivalentního (binární) programování. Formálně se tak CLP liší od běžné necelo-číselné úlohy pouze právě těmi podmínkami celočíselnosti. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Enumerativní metoda Je-li množina přípustných řešení úlohy CLP omezená, pak je konečná, tj. obsahuje ko-nečný počet izolovaných bodů – mnohdy se používá nesprávného názvu „diskrétní“. Český ekvivalent názvu enumerativní je výčtový nebo vyjmenovávací a používá se málo. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Enumerativní metody jsou charakterizovány tím, že probírají postupně jeden bod mno-žiny přípustných řešení po druhém a hledají (vypočítávají) v něm hodnotu kriteriální účelové funkce. Takové metody se pak nazývají explicitní. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Algoritmus enumerických metod je systema-tický a jednoduchý – z výpočtu hodnot úče-lové funkce si pamatuje nejlepší aktuální bod a funkční hodnotu. Po probrání všech možných bodů je výsled-kem (řešením celé úlohy CLP) právě ten nejlepší bod. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování Tato metoda je přes svoji jednoduchost velice náročná na výpočetní výkon a to už přibližně pro n ≥ 25. Přibližný výpočet náročnosti si lze před-stavit z následujících čísel: * pro n = 25 + počet podmínek m, kde m = 25 – bude nutno provést o = 2 * m * n operací to by bylo rovno o =1250 ….. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování * pro 2n výsledných bodů bude potřeba o = 2 *m * n * 2n operací pro n = 25 to bude 33554432 bodů a celkem 41 943 040 000 operací *** u rychlosti, kterou může PC dát k dispo-zici, např. 1 milion operací za vteřinu, to bude trvat 41 943 vteřiny cca 700 minut = 11,7 hod. Březen 2009

CW05 Celočíselné programování V reálu bude výpočet „o něco“ kratší, proto-že lze předpokládat, že některé výpočty skončí dřív než vyčerpáním kontroly všech m podmínek !!! Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Úlohy diskrétního programování Jednou z oblastí celočíselného programování jsou úlohy řešené pomocí diskrétních mate-matických modelů. Jsou užívány v případech, kdy se jedná o rozhodování mezi mnoha variantami (kterých je konečný počet) s konečným počtem mož-ných řešení. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování V aplikační praxi dosahuje počet řešení ta-kových čísel, že ani nasazení výpočetní tech-niky nevede k cíli – vyhodnocení výsledného řešení by trvalo neúměrně dlouho. Tyto úlohy mají blízko k lineárnímu progra-mování a principům jeho řešení i když pou-žívají trochu jiný matematický aparát. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Diskrétní optimalizace spočívá v hledání prvku z diskrétní množiny, pro nějž funkce definovaná na této množině, nabývá maxi-mum nebo minimum. Nejobvyklejší tvar řešených úloh je tvar smí-šený, kde existují jak celočíselné proměnné tak i proměnné, které nejsou vázány pod-mínkou celočíselnosti. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Tato úloha je známa pod anglickou zkratkou MIP (Mixed Integer Programming) = Smíšená úloha lineárního celočíselného programování. Pokud se neceločíselné spojitě proměnné nevyskytují, mluví se o čistě celočíselné úloze = IP (Integer Programming. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Úloha MIP se zapisuje ve tvaru: (MIP) max cx + dy : Ax + Dy  b , x Є Zn+ , y Є Rp+  kde Z+ … je množina celých nezáporných čísel R+ … je množina nezáporných reálných čísel. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Účelovou maximalizovanou funkcí, je zde lineární funkce (cx + dy). Koef. obsažené ve vektorech c a d se ozna-čují jako ceny odpovídajících proměnných. Soustava nerovností znázorněná vztahem (Ax + Dy  b) jsou omezující podmínky úlohy, která je zadána parametry ….. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Omezující podmínky úlohy - parametry: c … je n-členný vektor cen celočíselných proměnných d … je p-členný vektor cen neceločíselných proměnných A … je matice m * n koeficientů m omezení a n celočísel. proměnných ……. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování D … je matice m * p koeficientů m omezení a p neceločíselných proměnných b … je m-členný vektor pravých stran. Dále se předpokládá, že parametry ( c , d , A , D , b ) jsou racionální – což není pro praxi žádným omezením a vyhovuje to systému práce s čísly pomocí výpočetní techniky. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Množina S = x Є Zn+ , y Є Rp+ : Ax + Dy  b  je nazývána množinou přípustných řešení obsahujících body (x , y) splňující soustavu omezení ve tvaru Ax + Dy  b a složky vektoru x jsou nezáporné celočíselné, kdežto složky vektoru y jsou pouze nezáporné. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování V úloze MIP lze zcela obecně definovat ome-zení jako rovnice, protože nerovnosti lze na soustavu (obvykle dvojici) rovnic převést. Vztah mezi minimalizací a maximalizací je jednoduchý – převedení spočívá ve vyná-sobení účelové funkce koeficientem „-1“. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Pokud žádné proměnné nejsou celočíselné, jde o úlohu lineárního programování ve tvaru: (LP) max  dy : Dy  b , y Є Rp+  Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Pokud v úloze MIP mohou celočíselné pro-měnné nabývat pouze dvou hodnot (binár-ních) 0 nebo 1, jde o smíšenou bivalentní úlohu danou vztahem ve tvaru: (0 - 1 MIP) max  cx + dy : Ax + Dy  b x Є Bn+ , y Є Rp+  kde B = 0 , 1. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Čistě celočíselná úloha má pak tvar: (IP) max  cx : Ax  b , x Є Zn+  respektive tvar: (0 – 1 IP) max  cx : Ax  b , x Є Bn+  Březen 2009

CW05 Diskrétní programování S bivalentní úlohou (0 – 1 IP) souvisí úloha označovaná jako CP (Combinatorial Optimization Problem) = kombinatorický optimalizační problém. Její tvar: (CP) max  f(P) : P Є N  kde N =  1 , 2 , 3 , … , n  P … jsou její podmnožiny f(P) = ∑j Є P cj … sumace podle j pro zadaný vektor cen cj. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování Pozn.: Při řešení konkrétních praktických úloh je nutné nejprve úlohu převést ze slovní formulace na typově odpovídající matematický model vedoucí pak na některý z typů diskrétních úloh ( MIP, IP, 0-1 MIP , 0-1 IP atd.). V těchto příkladech dále uváděný symbol → max bude označovat funkci pro maximalizaci nebo minimalizaci. Březen 2009

CW05 Diuskrétní programování - Vlastnosti úlohy IP Vlastnosti úlohy IP Popis množiny přípustných řešení Je dána úloha celočíselného programování ve tvaru: (IP) max  cx : Ax  b , x Є Zn+  Množina přípustných řešení, je dána vztahem: S = x Є Zn+ : Ax  b  Březen 2009

CW05 Diskrétní programování - Vlastnosti úlohy IP Pokud nebude vyžadována podmínka celo-číselnosti, půjde o úlohu lineárního progra-mování ve tvaru: (LP) max  cy : Ay  b , x Є Rn+  která má množinu přípustných řešení: P = x Є Rn+ : Ax  b  Březen 2009

CW05 Diskrétní programování - Vlastnosti úlohy IP Řešení úloh spadajících do této oblasti je pomocí řady metod: * metoda nerovností a jejich zesilování * metoda Chvátal - Gomoryho * metoda zesilování nerovností s využitím děli-telnosti * metoda Gomoryho nerovnosti * metoda duality a relaxace * metoda Binderovy dekompozice smíšené celočí-selné úlohy. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování - Metody řešení Metoda řešení úlohy IP a MIP Obě úlohy IP i MIP jsou NP-obtížné a proto neexistuje polynomiální algoritmus pro řešení těchto úloh. Tyto metody nejsou polynomiální a pro roz-sáhlejší úlohy s větším počtem celočíselných proměnných může být výpočet neúnosně zdlouhavý a v reálném čase nemusí dát optimální řešení. Březen 2009

CW05 Dsikrétní programování - Metody řešení Dvě základní skupiny řešitelských metod: * metody řezných nadrovin – metody seč-ných nadrovin(cutting plane algorithm) - pos-tupné přidávání platných omezení – význam-ná je řada Gomoryho metod * metody větvení a hranic – (branch and bound) - postupné dělení množiny přípust-ných řešení na podmnožiny a hledání opti-málního řešení na podmnožinách. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování - Metody řešení Konvexní kvadratický optimalizační model Tento model patří mezi nelineární optimali-zační úlohy a týká se oblasti nelineárního programování. Problém je definován pomocí kvadratické účelové funkce a lineárních omezujících podmínek. Zároveň většinou lépe popisují modelovanou realitu. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování - Metody řešení Nevýhodou je, že lineární formulace omezu-jících podmínek je nutným zjednodušením řešeného problému. Řešení je těžké a velmi obtížné. Určitou výjimkou jsou konvexní optimalizační modely s lineárními omezují-cími podmínkami a s kvadratickou kriteriální funkcí. Březen 2009

CW05 Diskrétní programování - Metody řešení K řešení se používá Wolfeho algoritmus, který převádí řešení nelineární úlohy na řešení pomocné lineární úlohy simplexovým algoritmem s rozšířenými pravidly pro vstup proměnných do báze. Wolfeho algoritmus vychází z analytického popisu postupu řešení obecného optimalizačního modelu pomocí Kuhn – Tuckerových podmínek. Ty popisují sedlový bod Lagrangeovy funkce. Březen 2009

CW05 Konvexní optimalizační model Konvexní optimalizační model Je definován jako optimalizační úloha nale-zení minimální hodnoty konvexní kvadratické účelové funkce (konkávní optimalizační mo-del pak v případě hledání maximální hodnoty konkávní kvadratické účelové funkce) na množině přípustných řešení vyjádřené lineárními nerovnostmi. Březen 2009

CW05 Konvexní optimalizační model Lze jej zapsat ve tvaru matice: min { ½ * xT * Cx + pT * x │ A * x ≤ b , xj ≥ 0 j = 1 , 2 , ... , n , x Є Rn } kde: ½ * C ... symetrická matice koef. kvadratických členů účelové funkce (pro její prvky platí cij = cji a oba indexy „i“ i „j“ = 1 , 2 , ... n ) p ... je vektor koeficientů soustavy omezujících podmínek b ... je vektor pravých stran těchto podmínek. Březen 2009

CW05 Konvexní optimalizační model Optimalizační model má tyto prvky, jejichž matematický popis je: * vektor proměnných sloužící k popisu jed-notlivých složek hledaného rozhodnutí má tvar x = ( x1 , x2 , x3 , ...... , xn) Є Rn Březen 2009

CW05 Konvexní optimalizační model * účelová (kriteriální) kvadratická funkce popisující cíl (kritérium) hledaného rozhod-nutí má tvar ½ * xT * Cx + pT * x * lineární omezující podmínky popisující cíl (kriterium) hledaných reálných omezení mají tvar A*x ≤ nebo = nebo ≥ b a to pro všechna omezení. Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody Vícekriteriální optimalizační metody Čím více je kriterií, která mohou ovlivnit roz-hodovací proces a výsledné rozhodnutí, tím je řešení tohoto procesu komplikovanější. Začíná to tím, že problém je obtížněji mode-lovatelný i řešitelný. Přitom v reálu je to pod-statně běžnější a obvyklejší než jednoduchá situace s jediným kritériem. Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody Lze říci, že řada praktických situací není jedno-kriteriálního řešení schopna. Modelování vícekriteriálních situací tedy znamená nalezení řešení, které bude vy-hovovat (ideálně) všem kriteriím, nebo ales-poň těm nejdůležitějším. Je vhodné na za-čátku eliminovat nedůležitá kritéria a neefek-tivní varianty – nebo se pokusit o jejich sdru-žené uspořádání. Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody Přístupů k vícekriteriálnímu rozhodování a tedy k hodnocení získaných variant se liší podle charakteru množiny variant nebo mno-žiny přípustných řešení. Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody Hlavními jsou dvě skupiny modelů: * modely zadané pomocí konečného seznamu variant a jejich ohodnocení podle jednotlivých kriterií * modely mající množinu variant s neko-nečně mnoha prvky vyjádřenu soustavou omezujících podmínek a ohodnocení jedno-tlivých variant je dáno jednotlivými kriteriál-ními funkcemi. Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody Metody používané v této oblasti rozhodova-cích modelů, lze rozřadit do těchto skupin: * metody vycházející z dílčí optimalizace, na kterou navazují vhodně zvolené postupy s pokračujícími výpočty vyhovujícího kom-promisního řešení Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody * metody agregující do jediné globální fun-kce daná kritéria vícekriteriálního modelu, čili složitá úloha se převede na klasickou jedno-kriteriální řešitelnou úlohu Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody * úprava kriteriálních funkcí na omezující podmínky s využitím úzkého vztahu mezi definicí kriteria a vlastním omezením v mo-delu, tj. využitím možnosti zajistit požadova-nou úroveň kriteria formou jeho převodu na omezující podmínku Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody * cílové programování = metody vedoucí k řešení specifických úloh - pro každou uva-žovanou kriteriální funkci se předem zadává požadovaná cílová úroveň, která by se měla dosáhnout a dále musí zadat i preference dosažení jednotlivých cílových hodnot Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody * interaktivní iterační metody – jde o úlohy vektorové optimalizace – jsou založené na dialogu vyhodnocovatele a řešitele, kdy si interaktivně vyměňují řadu informací v iterač-ních krocích, při kterých rozhodovatel zpřes-ňuje vstupní informace a řešitel po výpočtu sdělí „nové“ výsledky – jedná se o velice in-dividualizovaný přístup k řešení Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody *** ALOP (Aspiration Levels Oriented Procedure) je založena na principu prohle-dávání (s heuristikou. kterou je vzdálenost od nedominované hranice množiny přípustných řešení) hodnot kriteriálních funkcí – výsled-kem je trajektorie aspiračních úrovní a získá-ní kompromisního řešení Březen 2009

CW05 Vícekriteriální optimalizační metody *** STEM – metoda ze 70. let minulého sto-letí – je určena pro řešení úloh lineární vek-torové optimalizace, které umožňují kom-penzaci hodnot kriterií Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení Metody řešení modelů vícekriteriální analýzy Existuje celá řada metod, z nichž nejčastěji se uvádí: * bodovací metoda – model je zadán pouze pomocí preferencí variant podle jednotlivých kriterií a nejsou známy preference kriterií Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení * metoda převedení kriteriální funkce do omezujících podmínek = metoda pořadí – předpokladem použití je fakt, že rozhodovatel je schopen určit, které kriterium je „nejdůleži-tější“ – tím se úloha stává monokriteriální optimalizací – ostatní kritéria pak rozhodova-tel převede do formy omezujících podmínek = pro každou určí „minimální hodnotu nebo aspirační úroveň její funkcionality“ … Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení ….– model je zadán pouze pomocí prefe-rencí variant podle jednotlivých kriterií a nejsou známy preference kriterií Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení * metoda aspiračních úrovní – použitelná, pokud je známa nominální informace o krite-riích, tj. nejhorší přípustné hodnoty kriterií a kardinální ohodnocení variant podle jednotli-vých kriterií – určí se množina akceptovatel-ných variant = připustí se pouze varianty spl-ňující všechny aspirační úrovně (musí mít alespoň minimální požadované hodnocení – u disjunktivní metody se připouští varianty, které splňují alespoň jeden požadavek Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení * metoda váženého součtu – vyžaduje kar-dinální informace, kriteriální matici Y a vektor vah kriterií – tato metoda je speciálním přípa-dem metody funkce užitku – vychází z maxi-malizace užitku daného maximem funkce užitku uj(yij) – varianta musí osáhnout určité (definované) hodnoty, pak již začne přinášet uživateli užitek Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení * metoda TOPSIS – vyžaduje kardinální in-formace, kriteriální matici Y a vektor vah kri-terií – tato metoda posuzuje varianty z hle-diska jejich vzdálenosti od ideální a bazální varianty Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení * metoda funkce užitku = agregace kritérií, agregace charakteristik – vychází z předpo-kladu, že rozhodovatel je schopen přiřadit každému z čísel f = (f1(x), f2(x), f3(x) , … , fp(x)) kde x je libovolný prvek množiny přípustných řešení a užitečnost (jako reálné číslo) Březen 2009

CW05 Vícekriteriální modely - Metody řešení * metoda cílového programování – spočívá v nalezení kompromisního řešení, jehož ohodnocení leží nejblíže ideálnímu pseudo-hodnocení – jedná se o minimalizační opti-malizaci – takže opět se jedná o převod na úlohu monokriteriální optimalizace. Březen 2009

…..… Informace pokračují …… cw05 – 12. CW05 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. březen 2009

CW05 ……… Březen 2009