Základy infinitezimálního počtu Derivace elementárních funkcí Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Derivace elementárních funkcí Znalost derivací elementárních funkcí je velmi důležitá při řešení úloh infinitezimálního počtu. Derivace některých elementárních funkcí odvodíme pomocí definice derivace funkce. 𝑓 ′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 Derivace konstantní funkce f(x) = c 𝑓 ′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑐−𝑐 𝑥− 𝑥 0 =0  f‘(x) = 0 Derivace funkce f(x) = xn, x R, n N 𝑓 ′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥 𝑛 − 𝑥 0 𝑛 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 (𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑥 0 + 𝑥 𝑛−3 𝑥 0 2 +…+ 𝑥 0 𝑛−1 ) 𝑥− 𝑥 0 = = lim 𝑥→ 𝑥 0 (𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑥 0 + 𝑥 𝑛−3 𝑥 0 2 +…+ 𝑥 0 𝑛−1 )= 𝑥 0 𝑛−1 + 𝑥 0 𝑛−1 + 𝑥 0 𝑛−1 +… + 𝑥 0 𝑛−1 =𝑛 𝑥 0 𝑛−1  f‘(x)=𝒏 𝒙 𝒏−𝟏 n krát Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Derivace elementárních funkcí cvičení 1 Podle pravidel pro derivaci konstantní funkce a funkce xn vypočtěte derivace funkcí – vzor 4x^3 𝑓 𝑥 =3𝑥 𝑓 𝑥 =−3𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 𝑥 =− 7𝑥 8 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Derivace elementárních funkcí 𝑠𝑖𝑛 𝛼 −𝑠𝑖𝑛𝛽=2𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼−𝛽 2 Derivace funkce f(x) = sin x 𝑓 ′ 𝑥 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝑠𝑖𝑛 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 2 cos 𝑥+ 𝑥 0 2 sin 𝑥− 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥+ 𝑥 0 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 2 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑥+ 𝑥 0 2 =1∙ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥+ 𝑥 0 2 =𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 0 2 =𝑐𝑜𝑠 𝑥 0  f‘(x)= 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Odvození derivace funkce f(x) = cos x proveďte sami Derivaci operací mezi funkcemi budeme provádět podle následující věty: 2= 1 1 2 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 zobrazit postup řešení Jestliže funkce f(x) a g(x) mají v bodě x0 derivaci, má v bodě x0 derivaci i součet, rozdíl, součin a pro g(x) 0 i podíl funkcí f(x), g(x) a platí: (f + g)´= f´+ g´ (f - g)´= f´- g´ (f . g)´= f´. g + f . g´ 𝑓 𝑔 ´ = 𝑓´𝑔−𝑓𝑔´ ´𝑔 2 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Odvození derivace funkce kosinus K odvození derivace funkce kosinus použijeme vztah pro cos - cos 𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑐𝑜𝑠𝛽=−2𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝛽 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼−𝛽 2 a nám již dobře známou limitu 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 pak platí: 𝑓 ′ 𝑥 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 −2 sin 𝑥+ 𝑥 0 2 sin 𝑥− 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 −𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝑥 0 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥− 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 2 ∙𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝑥 0 2 = =−1∙ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝑥 0 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝑥 0 2 =−𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 0 2 =−𝑠𝑖𝑛 𝑥 0  f‘(x)= −𝐬𝐢𝐧 𝒙 Zpět Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Derivace dalších elementárních funkcí Teď s pomocí vzorců pro výpočet derivací početních operací již můžeme odvodit derivace dalších elementárních funkcí. Derivace funkce f(x) = tg x, 𝒙≠ 𝟏 𝟐 𝝅+𝒌𝝅, 𝒌 𝒁 𝑡𝑔𝑥 ´= 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ´ = 𝑠𝑖𝑛𝑥ć𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥´ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥∙ −𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 Odvození derivace funkce f(x) = cotg x a funkce f(x) = xn, x R – {0}, n 𝑍 − proveďte sami 𝑓 𝑔 ´ = 𝑓´𝑔−𝑓𝑔´ 𝑔 2 ;𝑔≠0 zobrazit postup řešení Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Odvození derivace funkce K odvození derivace funkce kotangens použijeme vztah pro derivaci podílu funkce a také definici funkce kotangens Pro derivaci funkce f(x) = xn, x R – {0}, n 𝑍 − platí: položíme-li –n = m (n < 0), je m > 0. Pak 𝑥 𝑛 ´= 𝑥 −𝑚 ´= 1 𝑥 𝑚 ´ = 1´∙ 𝑥 𝑚 −1∙ 𝑥 𝑚 ´ 𝑥 2𝑚 = −𝑚𝑥 𝑚−1 𝑥 2𝑚 = −𝑚𝑥 −𝑚−1 = 𝒏𝒙 𝒏−𝟏 𝑓 𝑔 ´ = 𝑓´𝑔−𝑓𝑔´ ´𝑔 2 ;𝑔≠0, 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 ;𝑠𝑖𝑛𝑥≠0, 𝑡𝑒𝑑𝑦 𝑥≠𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ´= 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 ´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥´𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥´ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥∙𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = = −1 (𝑠𝑖𝑛 2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = −𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 Další Zpět Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Derivace elementárních funkcí cvičení 2 Podle pravidel pro derivace aritmetických operací vypočtěte derivace funkcí – vzor 4x^3+tg^2(x) 𝑓 𝑥 =𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+cosx 𝑓 𝑥 =𝑡𝑔𝑥−𝑥 𝑓 𝑥 =1+ 1 𝑥 2 −2𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 1 𝑥 3 𝑓 𝑥 =𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥+5 𝑥 2 −1 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Derivace funkce shrnutí Připomeneme si nové pojmy: V příští kapitole se naučíme derivovat složenou funkci. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF