Qualimetrics: PLS, NN a regresní modely v řízení kvality REQUEST 2006 Karel Kupka, TriloByte, Pardubice, Czech Republic Centrum pro jakost a spolehlivost CQR Grant 1M MŠMT: 1M06047

Příklad datových bází a možnosti modelování vztahů s vyznačenými toky informací

Metody kvalimetrie, možnosti PLS Data vystupující v technologiích jakosti mají téměř vždy vícerozměrný charakter, protože představují několik hodnot měřených současně nebo na jednom produktu. Metody analyzující taková data jako celek se proto nazývají vícerozměrné. Vycházejí z datových tabulek, které jsou obvykle k dispozici v excelu, nebo databázi. Tyto tabulky obsahují například vlastnosti vstupních surovin a okolností, naměřené, nebo nastavené hodnoty sledovaných veličin v různých fázích výrobního nebo obchodního procesu. Některé veličiny představují parametry jakosti. Nejjednodušší představa zahrnuje tabulky (a) Vstupních dat (suroviny, zdroje, dodavatelé, vstupní přejímky), (b) Procesních dat (výrobní podmínky, procesní parametry, mezioperační kontroly), (c) Výstupních dat (specifikace, parametry kvality produktu, hodnocení odběratele).

X = TP + E Y = UQ + F Metody PLS jsou založené na syntéze principu příbuzném metodě hlavních komponent (PCA) a vícenásobné lineární regrese. Tato matematická metoda je využívána v ekonometrii, chemometrii, biometrii a v poslední době se objevují aplikace v kvalimetrii. Cílem metody je odhalit vztahy mezi vícerozměrnými daty v databázích a využít této znalosti k přibližnému výpočtu hodnot jedné skupiny veličin z druhé. Metodika a metody PLS Podstata Metody PLS Tabulku naměřených hodnot p veličin (sloupců) s n řádky označme jako matici X(n x p), a odpovídající tabulku se stejným počtem řádků n ale s q veličinami označme Y(n x q), Abychom extrahovali maximum informace z p- a q- rozměrných matic do prostoru s nižší dimenzí k, rozložíme X a Y na ortogonální matice T (n x k) a U (n x k), s koeficienty P a Q

T (n x k), U (n x k), k  min(p, q). Zajištění maximální relevance X-komponent pro Y, tyto transformace maximalizují kovariance mezi T a U. Dimenzionalita T a U je typicky menší než X a Y a sloupce T a U jsou ortogonální. To zlepší stabilitu modelu. Šum a irelevantní informace se koncentruje v „popelnicích“ E a F. Je-li k = p, pak E = 0. Dekompozice U = TB (B je čtvercová diagonální matice) poskytuje nástroj pro predikci Y z X: Y = TBQ T se konstruuje z nových dat X. Protože T = XP –, Y = XP – BQ, a tedy P – BQ reprezentuje originální (obecně vychýlené a zkrácené – tedy stabilnější) regresní parametry modelu Y = XA. X = TP + E Y = TR + F U = TB BQ = R Kombinací tohoto a předchozích vztahů je zřejmý vztah (vnitřní lineární vazba mezi X a Y. T = XP -

=+ XT P E =+ YU Q F XY PREDIKCE

Na rozdíl od klasické lineární regrese jsou v PLS X a Y rovnocenné, tedy zaměnitelné – je jedno, kterou matici označíme X a kterou Y. Proto lze predikovat Y z X stejně jako X z Y. Je tedy PLS rovněž často používaným nástrojem pro lineární vícerozměrnou kalibraci. X Y

Vícerozměrná kalibrace Látka 1Látka 2Látka 3Látka 4 Koncen trace 1 Koncen trace 2 Koncen trace 3 Koncen trace 4 …………     ………… Chemické složení (koncentrace, pH)Spektrum (absorbance)

E = X; F = Y Krok 1. w ~ E T u (odhad X vah) Krok 2. t ~ Ew (odhad X skórů) Krok 3. q ~ F T t (odhad Y vah) Krok 4. u = Fq (odhad Y skórů) E = E – t T p; F = F – t T b q (oprava E,F) Zkrácený postup iterativního výpočtu PLS

Některé aplikace billineárních modelů Technologie: Procesní parametry  Fyzikální vlastnosti Proces/chemické složení  Sensoric/Quality parametry Vstupní faktory  Výstupní kval/kvant -itativní vlastnosti Procesní podmínky  Výstupní kval/kvant -itativní vlastnosti Toxicology: Composition/Structure  Toxicity Health: Chemical Structure  Bioeffects Pollution: Composition  Origin/Source Pollution: Composition  Human health effects Environment: Environmental factors  Species diversity

Aplikace: Vlastnosti hliníkové slitiny Chemické složeníFyzikální vlastnosti

X Y Aplikace: Vlastnosti piva

Bi-Plot v PLS Dekompozice TP a UQ se dají využít pro konstrukci společného grafu skórů a zátěží Bi-Plot, který umožní omezené posouzení dat a proměnných pro X i Y.

„Predikce prediktorů“ Požadované vlastnosti, X Predikované složení, Y Y = TBQT = XP -

Neuronové sítě Aplikace NN jako statistického predikčního modelu

Inspirace neuronové sítě • Jádro • Dendrity- dostředivé výběžky •Axon-neurit • Synaptické přípojky pro předání vzruchu

EM fotografie neuronu

Model neuronu a aktivační funkce Nejjednodušší aktivační funkce Rosemblatt 1962 – učící algoritmus PERCEPTRON složený z modelů neuronu ve dvou vrstvách (vstupní a výstupní). Vstupní vrstva dostává data z okolí a výstupní vrstva posílá informace ze sítě ven.Každý vstupní neuron je přímo spojen se všemi výstupními (vstupy a výstupy jsou binární –1,1). Perceptron dokáže řešit úlohu lineárně oddělitelné klasifikace. Pro lineárně neoddělitelné klasifikace pomocí perceptronů nefunguje

Některé další typy aktivační funkce

Logistická aktivační funkce

Jednovrstvá neuronová síť Vstupní veličina x i je po normalizaci vážena vahou w ji a v neuronu transformována aktivační funkcí σ j+1, i (z) = 1/(1 + e – z), kde z je lineární kombinace vstupních veličin, z i = a 0 + Σa ij z i-1,j. Váhy w ji představují vazbu mezi vstupní hodnotou a neuronem. z = x i.w ij σ j+1, i (z) = 1/(1 + e – z ) z i = a 0 + Σa ij z i-1,j

Vícevrstvé neuronové sítě Mc Clelland a Rumelhart 1986 trénování vícevrstvých ANN pomocí Backpropagation-BP (zpětné šíření). Možno řešit problémy lineárně neoddělitelné klasifikace.

Postup použití NN  Volba vhodné struktury sítě (architektura)  Trénování sítě na změřených datech (učení)  Predikce pomocí NN

Návrh a trénování NN  Počet skrytých vrstev - pro většinu problémů stačí jedna - zvětšování počtu vede k výraznému nárůstu počítačové náročnosti  Počet neuronů ve skryté vrstvě - rámcové pravidlo, že postačuje přirozený logaritmus počtu vstupů  Architektura - nejběžnější je plně propojená dopředná síť, logistická AF  Velikost trénovací množiny - postačující pro zobecnění a zaplnění prostoru dat - při menším počtu dojde ke kopírování všech informací (interpolace) - Možnost použití crossvalidace  Počet vstupů - odstranění parasitních proměnných je nezbytné  Standardizace vstupů - standardizace zlepšuji rychlost učení

Optimalizace NN Minimalizace součtu čtverců odchylek Vstup do výstupní vrstvy (uvažuje se pouze jeden výstup) je vážený součet všech aktivačních funkcí ve tvaru Predikce Cílem je nalézt váhy w ji j = 1,…M, i = 1,…m, a W j j = 1…M. Jde tedy o celkem M*(m+1) parametrů. To je vzhledem ke tvaru kritéria K řešitelné pomocí derivačních algoritmů nelineární regrese.Pokud označíme aktivační funkci symbolem F(.), lze kriteriální podmínku K pro určení vah vyjádřit ve tvaru

Pro řešení optimalizační úlohy pro W ij lze použít jednoduchou iterativní metodu založenou na výpočtu gradientu, kdy pro přírůstek platí

Postup při optimalizaci metodou BP

Aplikace NN pro predikci optických vlastností pigmentu Ln 2 Zr (2-x) M x O 7 Ln = lanthanoids M = Cr or V x = 0.05 to 0.2 T = 1400 or 1500˚C L* a* b* dE* } barevné koordináty

Aplikace NN pro modelování kvality piva (1) Plzeňský pivovar X... Chemie + technologie Y... Subjektivní vlastnosti

Predikční schopnost modelu X -> Y X... Chemie + technologie Y... Subjektivní vlastnosti Aplikace NN pro modelování kvality piva (2)

Predikční schopnost modelu Y -> X X... Chemie + technologie Y... Subjektivní vlastnosti Aplikace NN pro modelování kvality piva (3)

NN pro modelování a předpovědi časových řad JE Du, JE Te Chemické a fyzikální parametry v primárním a sekundárním okruhu jaderné elektrárny Dukovany. Model NN-TS zde predikoval podstatně lépe než klasické modely časové řady AR, resp. ARIMA. Včasná předpověd budoucích výchylek a nestabilit. Model NN-TS jako inteligentní regulační diagram.