Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 06 Vektorové prostory II jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Báze vektorového prostoru Dimenze vektorového prostoru Souřadnice vektoru při dané bázi Změna báze Homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů

Báze vektorového prostoru

Definice báze vektorového prostoru Nechť je dán vektorový prostor [ W; + ]. Budeme říkat, že množina vektorů  u1, u2, u3, …, un  tvoří bázi tohoto vektorového prostoru, když tyto vektory splňují následující dvě podmínky: jsou to generátory tohoto prostoru , a jsou lineárně nezávislé .

Příklady bází vektorových prostorů Vektorový prostor uspořádaných čtveřic reálných čísel má prvky tvaru ( u1, u2, u3, u4 ) . Jeho bází je například množina vektorů  (1; 0; 0; 0) , (0; 1; 0; 0) , (0; 0; 1; 0) , (0; 0; 0; 1) . Vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně má prvky tvaru a2 . x2 + a1 . x + a0 .  x2 , x , 1  .

Dimenze vektorového prostoru

Počet prvků v bázích vektorového prostoru Budeme dále uvažovat jen takové vektorové prostory, které mají konečnou množinu generátorů – říká se jim konečně generované vektorové prostory. O takových prostorech lze dokázat následující větu: Má-li vektorový prostor konečnou množinu generátorů, pak všechny jeho báze mají stejný počet prvků.

Definice dimenze vektorového prostoru V konečně generovaném vektorovém prostoru podle předchozího platí, že všechny jeho báze jsou stejně početné, a můžeme tedy vyslovit tuto definici: Počet vektorů v bázi netriviálního konečně generovaného vektorového prostoru budeme nazývat dimenzí vektorového prostoru. Dimenze triviálního vektorového prostoru je nula.

Příklady dimenzí vektorových prostorů Triviální vektorový prostor je generován nulovým vektorem. Nemá bázi (proč ?) a jeho dimenze je 0. Vektorový prostor uspořádaných čtveřic reálných čísel má dimenzi 4 . Bází je například množina vektorů  (1; 0; 0; 0) , (0; 1; 0; 0) , (0; 0; 1; 0) , (0; 0; 0; 1) . Vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně má dimenzi 3. Bází je například množina vektorů  x2 , x , 1 .

Souřadnice vektoru při dané bázi

Jednoznačnost souřadnic vektoru Z definice báze vyplývá, že každý vektor prostoru lze vyjádřit jednoznačně jako lineární kombinaci vektorů báze. Proč? Když bude platit a1.u1+ a2.u2+ … + an.un = b1.u1+ b2.u2+ … + bn.un , získáme, že (a1 – b1).u1 + (a2 – b2).u2 + … + (an – bn).un = 0 , a pak a1 = b1  a2 = b2  an = bn .

Definice souřadnic vektoru Nechť je dán vektorový prostor [ W; + ]. Nechť množina vektorů B =  u1, u2, u3, …, un  tvoří bázi tohoto vektorového prostoru. Nechť je libovolný vektor u  W vyjádřen ve tvaru u = a1.u1+ a2.u2+ … + an.un . Koeficienty v této lineární kombinaci se nazývají souřadnicemi vektoru vzhledem k dané bázi B.

Příklad na určení souřadnic vektoru Vektory u1= (1; 1; 0) , u2= (1; 0; 1) a u3= (0; 1; 1) jsou bází aritmetického prostoru uspořádaných trojic. Máme vypočítat souřadnice vektoru w = (3; 4; 5) . Hledejme tedy tři reálné koeficienty x, y a z takové, aby platilo x.u1+ y.u2+ z.u3 = w. x.u1+ y.u2+ z.u3 = x.(1; 1; 0) + y.(1; 0; 1) + z.(0; 1; 1) = = (x; x; 0) + (y; 0; y) + (0; z; z) = = (x + y; x + z ; y + z) = (3; 4; 5) Soustavě vyhovují čísla x = 1 , y = 2 , z = 3 . Čísla 1 , 2 , 3 jsou souřadnicemi vektoru w při dané bázi.

Změna báze

Výpočet souřadnic vektoru při nové bázi Vektory u1= (1; 1; 0) , u2= (1; 0; 1) a u3= (0; 1; 1) jsou bází aritmetického prostoru uspořádaných trojic, souřadnice vektoru w při této bázi jsou (a1; a2; a3) . Vektory v1= (1; 1; 1) , v2= (1; 1; 0) a v3= (1; 0; 0) jsou jinou bází téhož aritmetického prostoru, vektor w má při této bázi jiné souřadnice (b1; b2; b3) . Vypočtěme je! Výsledek: b1 = a2 + a3 b2 = a1 – a2 b3 = a2 - a3

Homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů

Definice Nechť jsou dány vektorové prostory W1 a W2 . Zobrazení F vektorového prostoru W1 do prostoru W2 nazýváme homomorfismem, právě když splňuje tyto dvě podmínky: (u,vW1) F(u+v) = F(u) + F(v) (aR) (uW1) F(a.u) = a.F(u) Je-li zobrazení F prosté zobrazení vektorového prostoru W1 na prostor W2, nazýváme jej izomomorfismem.

Určení homomorfismu Homomorfismus vektorového prostoru W1 do vektorového prostoru W2 nejsnadněji určíme tak, že určíme obrazy vektorů báze prostoru W1. Příklad: F (u1) = v1 , F (u2) = v2 , F (u3) = v3 . Pak pro libovolné w = x.u1+ y.u2+ z.u3  W1 platí: F(w) = F( x.u1+ y.u2+ z.u3 ) = = x.F(u1) + y.F(u2) + z.F(u3) = = x.v1 + y.v2 + z.v3 Jak poznáme, že jde o izomorfismus?

Co je třeba znát a umět? Znát pojem báze vektorového prostoru, umět nalézt bázi vektorového prostoru, rozumět pojmu dimenze vektorového prostoru, umět pracovat se souřadnicemi vektorů, umět nalézt nové souřadnice vektoru při změně báze, rozumět pojmům homomorfizmus a izomorfozmus vektorových prostorů.

Děkuji za pozornost