registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809. 10. září 2012 VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM ŘEŠENÍ ROVNIC S FAKTORIÁLY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík. Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Řešení rovnic s faktoriály Jaké druhy rovnic obsahující faktoriály se dají v kombinatorice počítat ? Odpověď nám dává následující prezentace! obr.1

Faktoriál čísla Ke stručnému označení součinu všech přirozených čísel od 1 do n (n N) jsme zavedli symbol n!, který se čte n faktoriál. Definuje se tedy: Je účelné dodefinovat taky: obr.2

Řešení rovnic s faktoriály V kombinatorických úlohách (při řešení příkladů na variace, permutace, kombinace) se dostáváme k pojmu faktoriálu čísla. Tyto úlohy zpravidla vedou k řešení různých typů rovnic. Při řešení některých rovnic stanovujeme podmínky, pro které jsou výrazy v rovnicích definovány. Dodržujeme zásady pro počítání s rovnicemi. O tom, zda kořeny rovnice vyhovují rovnici, se v příkladech, u nichž na začátku nestanovujeme podmínky, přesvědčíme zkouškou.

Řešení rovnic s faktoriály V následujících šesti početních příkladech si ukážeme základní typy rovnic s faktoriálem čísla a způsoby jejich řešení. Faktoriál čísla se objevuje i v logaritmických rovnicích. V této prezentaci je uvedeno řešení rovnice, která v sobě spojuje logaritmus i faktoriál čísla.

Příklad 1 Řešte rovnici: obr.1

Řešení příkladu 1 Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: Následně řešíme rovnici, upravujeme výraz s faktoriály: obr.2 Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijme Viétovy vzorce. Oba kořeny vyhovují podmínce.

Příklad 2 Řešte rovnici: obr.1

Řešení příkladu 2 Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: Poté řešíme rovnici a upravujeme výraz s faktoriály: obr.2 Po úpravách vzniká úplná kvadratická rovnice, dořešíme ji přes diskriminant D.

Řešení příkladu 2 - pokračování obr.2 Odtud dostaneme 2 řešení: Naší podmínce vyhovuje kořen x1 = 3, kořen x2 = 0,5 nevyhovuje.

Příklad 3 Řešte rovnici: obr.1

Řešení příkladu 3 Stanovíme nejdříve podmínky platnosti výrazů v rovnici: Následně řešíme rovnici a upravujeme výrazy s faktoriály: obr.2

Řešení příkladu 3 - pokračování Následně vznikne kvadratická rovnice, kterou dořešíme: Užitím Viétových vzorců platí: Ze vzorců vychází jediný dvojnásobný reálný kořen: Kořen x = 5 vyhovuje podmínce platnosti a je řešením rovnice.

Příklad 4 Řešte rovnici: obr.1

Řešení příkladu 4 Levou stranu rovnice upravíme pomocí vzorce na výpočet počtu variací bez opakování: Užitím Viétových vzorců kvadratickou rovnici dořešíme: O tom, zda kořeny vyhovují rovnici, se přesvědčíme zkouškou. obr.2

Řešení příkladu 4 - pokračování Zkouška: Pro n = - 2 nejsou variace definovány. Kořen x2 = 2 nevyhovuje. Řešení rovnice je: x = 7 obr.2

Příklad 5 Řešte rovnici: obr.1

Řešení příkladu 5 Při řešení rovnice použijeme vlastnosti kombinačních čísel a dále upravujeme známými způsoby: Na dořešení kvadratické rovnice opět použijeme Viétovy vzorce: O tom, zda oba kořeny vyhovují rovnici se opět přesvědčíme zkouškou. obr.2

Řešení příkladu 5 - pokračování Zkouška: Pro n = - 3 nejsou kombinace definovány. Kořen x2 = 3 nevyhovuje. Řešení rovnice je: x = 10. obr.2

Příklad 6 Řešte rovnici: obr.1

Řešení příkladu 6 Na začátku stanovíme podmínky platnosti výrazů v rovnici: Z definice logaritmu si nahradíme číslo 1: 1 = log66 Při řešení rovnice využijeme větu o logaritmu podílu: obr.2

Řešení příkladu 6 - pokračování Po odstranění logaritmů úloha vede k vyřešení kvadratické rovnice: Přes Viétovy vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice zjistíme oba její kořeny x1,x2: Kořen x1 = - 6 nevyhovuje podmínce platnosti výrazů v rovnici. Řešením rovnice je: x = - 1.

CITACE ZDROJŮ Použitá literatura: HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 200-201, 205. ISBN 80-7196-165-5. POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus spol. s. r. o., 1998, s. 291. ISBN 80-85849-78-X

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1) People - Stick Figures - Stick blueman 202 01 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-10]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=11 People - Stick Figures - Stick blueman 103 02 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-10].Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=2 Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík