Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940 Autor: Lenka Šálková Tematická oblast: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Název DUMu: Binomická věta Kód: VY_32_INOVACE_MA.2.02 Datum: 27. 11. 2012 Cílová skupina: Žáci středních škol Klíčová slova: kombinatorika, faktoriál, binomická věta, binomický rozvoj Anotace: Zavedení pojmu binomická věta, porovnání binomické věty s Pascalovým trojúhelníkem, příklady na užití binomického rozvoje.

Binomická věta

Pascalův trojúhelník Dopiš do trojúhelníku s hodnotami kombinačních čísel další řádku. Svůj výsledek zkontroluj dopsáním další řádky do trojúhelníku s čísly.

Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník Napište řádek Pascalova trojúhelníku odpovídající n=6, kombinační čísla vyčíslete.

Pascalův trojúhelník Demonstrujte na Pascalově trojúhelníku platnost vztahů pro kombinační čísla. a) b)

Pascalův trojúhelník V tabulce jsou vypsány vzorce pro umocňování dvojčlenu. Najděte podobnost s Pascalovým trojúhelníkem. Napište další řádek předchozí tabulky pro (a + b)6 . Odhadněte vzorec pro výraz (a + b)n .

Binomická věta Pro všechna čísla a, b a každé přirozené číslo n platí: Pomocí sumy je zápis binomické věty značně úspornější:

Binomická věta binom – dvojčlen (odtud jméno věty) binomický koeficient – jiné pojmenování kombinačních čísel na pravé straně vzorce binomický rozvoj – pravá strana vzorce v binomické větě

Binomická věta Vypočti pomocí binomické věty: a) b) (2 + 6x)4 2,13

Užitečné webové stránky: Kombinatorika http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/ http://www.realisticky.cz/ http://www.mg-akademie.cz/stranky_profesori/horsky/stat/st_3_PVC.pdf Pravděpodobnost http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/pravdepodobnost/ Statistika http://www.gymkl.cz/web/cs-s1006--1_10-statistika http://matikabrdickova.sweb.cz/soubory_PDF/7/8_Zaklady_statistiky.pdf http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/statistika/

Literatura: CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 163 s. ISBN 80-701-5444-6. FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1998, 147 s. ISBN 80-719-6095-0. KUBÁT, Eduard, Josef HRUBÝ. .: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy – Maturitní minimum. Praha: Prometeus, 147 s. ISBN 80-719-6030-6. JIRÁSEK, František, BRANIŠ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU. 3., upr. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6012-8. PETÁKOVÁ, Jindra, BRANIŠ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1989, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. Zápisy vzorců jsou mým vlastním dílem