Přednáška 10 Určitý integrál jiri.cihlar@ujep.cz Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 10 Určitý integrál jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Obsah plochy pod grafem funkce Definice Newtonova určitého integrálu Vlastnosti určitého integrálu Nevlastní integrály

Obsah plochy pod grafem funkce

Jak vypočítat plochu pod grafem funkce? Základní idea je jednoduchá: zjistíme, jakou vlastnost má obsah pod grafem funkce, považujeme-li ho za funkci horní meze. Tuto funkci označme symbolem F(x).

Jaký je význam této formule? To ale znamená, že funkce F(x) je primitivní funkcí k funkci f(x), tedy platí: Obsah P plochy pod grafem funkce f(x) je pak rozdíl funkčních hodnot funkce F(x), tedy platí:

Definice Newtonova určitého integrálu

Definice Nechť funkce f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu < a, b > a má v otevřeném intervalu (a, b) primitivní funkci (neurčitý integrál) F(x). Pak budeme „určitým integrálem funkce f(x) od a do b“ nazývat číslo

Příklady Proč při výpočtu určitého integrálu nezáleží na výběru primitivní funkce funkce F(x)?

Pozor na takovéto situace! Proč je následující výpočet nesprávný? Jak interpretovat velikosti ploch v tomto příkladu?

Vlastnosti určitého integrálu

Linearita určitého integrálu Má-li funkce v intervalu určitý integrál, budeme říkat, že je integrovatelná. Ve všech následujících větách se předpokládá, že funkce jsou v příslušných intervalech integrovatelné.

Záměna mezí Zaměníme-li v určitém integrálu horní a dolní mez, integrál „změní znaménko“. Důsledek:

Aditivita integrálu vzhledem k mezím Je-li číslo c z otevřeného intervalu (a, b), pak platí: Příklad:

Nerovnosti mezi integrály Platí-li pro funkce f(x)  g(x) v intervalu < a, b > , pak pro integrály platí: Důsledkem je pak tvrzení: Integrál z nezáporné funkce je nezáporný.

Střední hodnota funkce na intervalu Střední hodnotou spojité funkce f(x) na uzavřeném intervalu < a, b > nazýváme takové číslo c , pro které platí:

Příklad Rychlost volného pádu je dána vztahem v = g.t . Střední hodnotu rychlosti (průměrnou rychlost) na časovém intervalu < 2, 4 > vypočteme takto:

Nevlastní integrály

Základní představy Jak se bude chovat integrál, když budeme měnit jeho horní mez?

Nevlastní integrály 1. druhu Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu < a, +  ) a má v intervalu (a, +  ) primitivní funkci. Pak nevlastním integrálem prvního druhu budeme nazývat limitu: Jestliže je limita vlastní (je to reálné číslo), říkáme, že integrál konverguje, jestliže je limita nevlastní či neexistuje, říkáme, že integrál diverguje.

Poznámka Analogicky můžeme definovat: Nevlastní integrál „od - do +“ pak můžeme chápat jako součet dvou již definovaných integrálů:

Nevlastní integrály 2. druhu Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu < a, b ), má v intervalu (a, b ) primitivní funkci a platí Pak nevlastním integrálem druhého druhu budeme nazývat limitu: Podobně definujeme analogické integrály.

Příklady integrál konverguje integrál diverguje

Co je třeba znát a umět? Formuli pro výpočet určitého integrálu, význam určitého integrálu, nevlastní integrály.

Děkuji za pozornost