Domenico Fetti : Zamyšlený Archimedes Co je integrální počet? x2 Archimedes (287 – 212 přnl.) Domenico Fetti : Zamyšlený Archimedes Archimedův problém : jaká je velikost plochy ohraničené přímkami x = 1, y = 0 a para-bolou y = x2 ? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

Co je integrální počet? Rozdělme osu x mezi nulou a nějakým bo-dem b na ekvidistan-tní intervaly. Je-li in-tervalů n, šířka jedno-ho bude b/n. Aproximujme funkci schodovitým útvarem – plocha pod funkcí je pak nahrazena plo-chou sloupců. Zvolme dvě možnosti, jak sloupce utvořit: Dolní součet Horní součet Velikost hledané plo-chy je někde mezi hor-ním a dolním součtem.

Co je integrální počet? Dolní součet Počet intervalů : n Šířka intervalu : b/n Výška k-tého sloupce : Plocha k-tého sloupce : Celková plocha obrazce :

Co je integrální počet? Horní součet Počet intervalů : n Šířka intervalu : b/n Výška k-tého sloupce : Plocha k-tého sloupce : Celková plocha obrazce :

??? Co je integrální počet? Pro libovolné n platí nerovnost neboli Tady Archimedes skončil. Tyto řady mu sice dovolovaly určit plochu přibližně, ale pro absolutně přesný výsledek by musel poslat n do nekonečna a počítat limity – což neuměl. Ale my to už umíme !

Co je integrální počet? Abychom mohli počítat limitu, musíme nejprve sečíst konečnou řadu . Pro tento výpočet použijeme fintu – přepíšeme si k2 pomocí součtu další řady – aritmetické. Jelikož pro aritmetickou řadu platí, že Z toho plyne

Co je integrální počet? Řadu si přepíšeme jako Tento dvojitý součet si pro přehlednost přepíšeme do čtvercového schematu: i k

Co je integrální počet? Tedy Poslední výraz roznásobíme a sumu roztrháme na jednotlivé části. Přitom je třeba si uvědomit, že a proto

Co je integrální počet? Z rovnosti pak již snadno vyjádříme a zcela elementární úpravou pak získáme konečný vzorec Pozn.: obdobnou metodou lze spočítat součet z řady k3 a vyšších.

Co je integrální počet? Spočítejme nyní obě limity (horní i dolní součet pro n jdoucí k nekonečnu): Obě limity vyšly stejně a z věty o dvou policajtech je zřejmé, že obsah plochy pod parabolou mezi bodem nula a b je tedy b3/3 .

Co je integrální počet? Heureka! Plocha pod funkcí b2 je rovna b3/3. Není na tom něco nápadného? Jaký mají tyto dva výrazy vztah? Heureka! 4 Plocha pod parabolou od bodu nula k bodu x je tzv. primitivní funkce – jejím zderivováním zí-skáme původní parabolu. Toto zjištění se poz-ději ukáže jako obecné pro libovolnou „mravně se chovající“ funkci.

integrování je sčítání nekonečně mnoha nekonečně malých kousků Co je integrální počet? Archimedův problém jsme rozlouskli pomocí rozdělení intervalu v definičním oboru na malé kousky, zavedením příslušných obdélníčků a jejich posčítáním. Pomocí limitního vztahu jsme šířku obdélníčků (a tím jejich obsah) poslali k nule, zároveň jsme ale poslali do nekonečna jejich počet. To je základním principem integrace – jednoduše řečeno, integrování je sčítání nekonečně mnoha nekonečně malých kousků

Co je integrální počet? Spočítejte objem nádoby, jejíž vnitřní stěna má tvar rotačního paraboloidu (tedy útvaru, který vznikne rotací paraboly x2 kolem osy y) o výšce 0.5 m. Příklad

Co je integrální počet? Spočítejte objem nádoby, jejíž vnitřní stěna má tvar rotačního paraboloidu (tedy útvaru, který vznikne rotací paraboly x2 kolem osy y) o výšce 0.5 m. Příklad Dolní součet válečků Počet válců : n Šířka válce : b/n Poloměr k-tého válce : Objem k-tého válce : Celkový objem válců : b

Co je integrální počet? Spočítejte objem nádoby, jejíž vnitřní stěna má tvar rotačního paraboloidu (tedy útvaru, který vznikne rotací paraboly x2 kolem osy y) o výšce 0.5 m. Příklad Nyní stačí poslat počet válečků aproximujících nádobu do nekonečna (a jejich objem do nuly), tedy provést výpočet b Pro nádobu s výškou 0.5 metrů je tedy objem

Definice určitého integrálu Předchozí úvahy nám daly dobrý návod, jak definovat tzv. určitý integrál pro reálnou funkci. Nelze ovšem jen tak použít limitní vztahy z předchozích příkladů – je nutné ukázat, že výsledek integrace zkoumané funkce bude stejný, i když zvolíme libovolný systém rozdělení definičního oboru – nejen na stejně široké sloupečky, ale i jakkoliv jinak. Definice 71. Buď f reálná funkce reálné proměnné, buď < a, b > uzavřený interval z definičního oboru. Definujme množinu a nazvěme ji rozdělení intervalu < a, b >. Libovolná posloupnost rozdělění se nazývá normální, právě když tj. pokud se vzdálenosti mezi všemi body rozdělení s rostoucím n zkracují.

Definice určitého integrálu Buď f reálná funkce reálné proměnné, buď < a, b > uzavřený interval z definičního oboru a σn rozdělení tohoto intervalu. Číslo nazveme integrálním součtem funkce f při rozdělení σn. Definice 73. Buď f reálná funkce reálné proměnné, buď < a, b > uzavřený interval z definičního oboru. Pokud pro všechna normální rozdělení intervalu <a, b> při libovolné volbě koeficientů αi platí pak říkáme, že funkce má na intervalu určitý integrál (je integrovatelná) a značíme

Definice určitého integrálu Příklad funkce, která má integrál, jsme si již uvedli – je to například x2 : Uveďme ještě nějakou funkci, která integrál nemá. Je jí např. Dirichletova funkce: Pokud při konstrukci integrálu zvolíme koeficienty αi racionální, vyjde limita c = 1. Zvolíme-li je iracionální, vyjde limita c = 0. Podotkněme, že tato volba je možná – mezi libovolně blízkými reálnými čísly xi-1 a xi je vždy nekonečný počet jak racionálních, tak iracionálních čísel.

Vlastnosti určitého integrálu Definice 74. Buď f reálná funkce reálné proměnné integrovatelná na intervalu < a, b >. Definujme Věta 32. Buďte f a g reálná funkce integrovatelné na intervalu < a, b >, buď z číslo z tohoto intervalu. Buď k libovolné reálné číslo. Platí

Vlastnosti určitého integrálu Věta 33. Buď f funkce integrovatelná na intervalu < a, b >, nechť číslo m je minimum a číslo M maximum funkce f na intervalu <a, b>. Pak platí a b M . ( b - a ) m . ( b - a )

Vlastnosti určitého integrálu Věta 33. Buďte f a g funkce integrovatelné na intervalu < a, b >, nechť na celém tomto intervalu platí f ≤ g. Potom a b

Vlastnosti určitého integrálu Věta 34. Buď f funkce integrovatelná na intervalu < a, b >. Pak | f | je rovněž v tomto intervalu integrovatelná a platí + + + + + -

Vlastnosti určitého integrálu Věta 35. Buďte f a g funkce integrovatelné na intervalu < a, b >. Nechť na tomto intervalu platí, že f = g až na konečný počet bodů. Potom

Vlastnosti určitého integrálu Věta 36. Integrál jako funkce meze : nechť funkce f je integrovatelná v intervalu <a, b>. Pak pro funkci F(x) definovanou vztahem platí : F je spojitá na intervalu <a, b> Je-li f spojitá v bodě x0 z <a, b>, pak má funkce F v bodě x0 derivaci, pro kterou platí F’(x0) = f(x0) . Pozn. : Zde je první náznak faktu, že integrace a derivování jsou v jistém slova smyslu opačné procesy.

Výpočet určitého integrálu Věta 37. Newtonova formule : nechť funkce f je integrovatelná v intervalu <a, b>, nechť existuje F(x), pro kterou platí F je spojitá na intervalu <a, b> potom : Pozn. : Tato věta nám dává návod, jak počítat určitý integrál jednodušeji, než přes limity a důkazy existence. Najdeme-li k funkci f tzv. primitivní funkci F, která je spojitá, lze do ní dosadit koncové body intervalu a odečíst je. Problém hledání hodnoty integrálu se tak přesouvá na problém hledání primitivní funkce.

Neurčitý integrál Definice 75. Buď f reálná funkce definovaná na intervalu ( c, d ). Nechť existuje funkce F taková, že Funkci F nazýváme primitivní k funkci f . Množinu všech primitiv-ních funkcí k f nazýváme neurčitým integrálem a značíme Pozn.: jednotlivé primitivní funkce se od sebe liší o konstantu : F(x) = G(x) + C . Neurčitý integrál je tedy množina funkcí ve tvaru F(x) + C, pro zjednodušení obvykle v zápisu konstantu C vypouštíme (ale nelze ji vypustit tam, kde ovlivní výsledek). Jednotlivé členy zápisu nazýváme: f ………. integrand C ……… integrační konstanta x ……… integrační proměnná (c,d) ….. integrační oblast Pozn.: spolu s Newtonovou formulí jde použít jen tam, kde <a,b> je podmnožinou (c,d), tj c < a < b <d. Např. integrovat funkce, které v krajních bodech a, b ubíhají do nekonečna, není takto jednoduché a záleží pouze na konkrétních případech, zda integrál vůbec existuje.

Neurčitý integrál

Vlastnosti neurčitého integrálu Věta 38. Buďte f a g reálná funkce definované na ( a, b ), buďte F a G k nim příslušné primitivní funkce, k reálná konstanta. Pak platí, že kF je primitivní funkce k kf a funkce F + G je primitivní k f + g , neboli: Pozn. : vlastnosti určitého a neurčitého integrálu jsou spolu do jisté míry svázány Newtonovou formulí. Metody a vlastnosti neurčitých integrálů lze přenést na určité. To je užitečné zejména pro integraci metodou per partes a substituční metodou.

Neurčitý integrál Příklad Spočítejte integrály Pozn. : povšimněte si, že integrační konstanty se díky Newtonově formuli odečtou a ve výsledku vůbec nefigurují.

Vlastnosti neurčitého integrálu Věta 39. Integrace per partes : metoda integrování založená na větě o derivaci součinu. Nechť pro f, g na (a,b) platí f a g mají konečné derivace f ’ a g’ funkce f . g’ má primitivní funkci H Potom f.g – H je primitivní funkce k f ’.g na (a, b). Zapisujeme Tento fakt vychází z derivace součinu – když formuli pro derivaci součinu zintegrujeme a upravíme, získáme předchozí tvrzení. Za předpokladů z Newtonovy formule pak můžeme pro určitý integrál psát rovnou

Neurčitý integrál Příklad Metodou per partes počítejte neurčitý integrál Vyjdeme z výrazu . Napišme si, co je zde f a co g : Dosaďme do vzorce : Proveďme zkoušku opětovným zderivováním :

Neurčitý integrál Příklad Metodou per partes počítejte neurčitý integrál Vyjdeme z výrazu . Napišme si, co je zde f a co g : Dosaďme do vzorce : Nyní celý postup zopakujme znovu – tentokrát ovšem bude g(x) = x a g’(x) = 1:

Neurčitý integrál Pokračujme dosazením : Příklad Metodou per partes počítejte neurčitý integrál Použijeme fígl spolu se vzorcem pro metodu per partes:

Vlastnosti neurčitého integrálu Věta 40. Substituční metoda : metoda integrování založená na větě o derivaci složené funkce. Nechť pro f, φ platí f má na (a, b) primitivní funkci F φ má v intervalu (α, β) konečnou derivaci φ’ (=> je spojitá) φ( (α, β) ) je podmnožinou (a, b) Potom F o φ je primitivní funkce k (f o φ) . φ’ na (a, b). Zapisujeme Za předpokladů z Newtonovy formule pak můžeme pro určitý integrál psát rovnou

Neurčitý integrál Příklad Substituční metodou spočítejte integrál Zvolme substituci y = φ(x) = x2, tj. zavádíme novou integrační proměnnou y. S tou pracujeme takto : Výraz x dx nahradíme výrazem ½dy, výraz x2 nahradíme výrazem y : Zpětně dosadíme za y

Neurčitý integrál Příklad Substituční metodou spočítejte integrál Zvolme substituci y = φ(x) = cos x, tj. zavádíme novou integrační proměnnou y. S tou pracujeme takto : Výraz - sin(x) dx nahradíme výrazem dy, výraz cos x nahradíme výrazem y : Zpětně dosadíme za y

Neurčitý integrál Příklad Substituční metodou spočítejte integrál Zvolme substituci x = φ(t) = sin t, tj. nahrazujeme integrační proměnnou x nějakou funkcí. S tou pak pracujeme následovně : Výraz x nahradíme výrazem sin t, výraz dx nahradíme výrazem cos t dt : Zpětně dosadíme za t

Neurčitý integrál Příklad Substituční metodou spočítejte integrál Zvolme substituci x = φ(t) = sin t, tj. nahrazujeme integrační proměnnou x nějakou funkcí. S tou pracujeme takto : Výraz dx nahradíme výrazem cos t dt, výraz t nahradíme výrazem sin t a upravíme integrační meze : Zdánlivě jsme si nepomohli, neboť integrál z cos2 t také neznáme. Nicméně jej lze vypočítat poměrně snadno, a to dvěmi způsoby.

Neurčitý integrál Příklad Substituční metodou spočítejte integrál Za použití součtového vzorce pro cos 2t :

Neurčitý integrál Příklad Substituční metodou spočítejte integrál Za použití metody per partes : a součtového vzorce sin2 t + cos2 t = 1 :

Nevlastní integrál Určitý integrál lze zobecnit z uzavřeného intervalu a omezené funkce na interval otevřený a funkci neomezenou. Má se například smysl ptát, zda funkce načrtnutá na grafu vlevo má integrál od nuly do jedné – tj. jakou plochu na tomto intervalu uzavírá. Je tato plocha konečná či nekonečná? 1 Určitý integrál máme definován pro omezenou funkci na uzavřeném intervalu <a,b>. K intervalu otevřenému přejdeme za pomocí věty o integrálu jako funkci meze. Definujme si funkci S bodem b není problém – v jeho okolí je funkce spojitá a omezená. Pro libovolné y z intervalu (0,1> je integrál také v pořádku – na celém <y,1> je funkce spojitá a omezená. Jak nyní určíme velikost plochy je zřejmé – stačí vypočítat limitu

Nevlastní integrál 1 Pro integrál od y do 1 není problém a umíme jej řešit : Nyní jen spočítáme limitu: Vidíme, že plocha má nekonečnou velikost. Integrál označujeme jako divergující:

Nevlastní integrál Ukažme, že existuje podobná funkce, která ale má integrál konvergující (konečný): 1 Pro libovolné y > 0 zde opět nemáme žádný problém a snadno vyjádříme, že Nyní stačí spočítat limitu, která je ovšem extrémně jednoduchá: Tedy

Nevlastní integrál Stejným způsobem lze řešit nekonečné integrační meze. Vezměme například funkci 1/x2 od jedné do plus nekonečna a zkoumejme velikost plochy, kterou pod sebou uzavírá. 1 Tedy integrál konverguje :

Nevlastní integrál Buďte a, b reálná čísla nebo nekonečna, buď f funkce, pro kterou platí Definice 76. respektive Potom existuje-li limita nazýváme tuto limitu zobecněným integrálem (integrálem v nevlastním bodě) a značíme ji stejně, jako integrál určitý, tedy

Aplikace určitého integrálu Objem rotačního tělesa b a Příklad s parabolickou nádobou lze zobecnit na rotační těleso, jehož tvar určuje libovolná v kvadrátu inte-grovatelná funkce. Integrální součet zkonstruujeme následovně:

Aplikace určitého integrálu Délka křivky v Rn Křivku v Rn je možné popsat vektorovou funkcí φ : <a,b> -> Rn , respektive n reálnými funkcemi φi : <a,b> -> R, z nichž každá popisuje chování křivky v jedné souřadnici. Tyto funkce musí být všechny spojité (v bodech nespojitosti by křivka byla přerušena) a aby bylo možné určit její délku, tak také diferencovatelné a jejich derivace spojité. Křivky mohou být otevřené a uzavřené, případně jednoduché (neprotínají samy sebe).

Aplikace určitého integrálu Délku křivky můžeme aproximovat pomocí lomené čáry. Jestliže vytvoříme nějaké rozdělení intervalu <a,b> : Potom délka je

Aplikace určitého integrálu Abychom mohli pokračovat dále, je třeba pochopit základní myšlenku tzv. Langrangeovy věty o přírůstku funkce. Ta říká, že je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu <a,b>, pak existuje číslo c tak, že platí Přírůstek mezi body f(a) a f(b) lze vyjádřit pomocí derivace funkce v nějakém vnitřním bodě intervalu <a,b>. Jinými slovy, existuje alespoň jedna tečna k funkci rovnoběžná s přímkou spojující krajní body funkce. a b c c

Aplikace určitého integrálu Za použití věty o přírůstku pak dostaneme body uvnitř podinterválků rozdělení <a,b>, pro každou souřadnici obecně jiné

Aplikace určitého integrálu Výraz ale již výrazně připomíná in- tegrální součet funkce

Aplikace určitého integrálu Příklad Pomocí integrálního počtu určete obvod kružnice o poloměru R. Křivku „kružnice v R2“ si nejprve parametrizujme dvěmi funkcemi : Nyní dosaďme do vzorce:

Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete délku n otáček šroubovice parametrizované Příklad

Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete délku cykloidy parametrizované jako Příklad Nyní využijeme součtový vzorec

Aplikace určitého integrálu Pomocí integrálního počtu určete délku cykloidy parametrizované jako Příklad

Shrnutí Co je integrální počet Definice určitého integrálu Vlastnosti určitého integrálu Newtonova formule Definice neurčitého integrálu Vlastnosti neurčitého integrálu Výpočet neurčitého integrálu Metoda per partes Substituční metoda Nevlastní integrál Objem rotačního tělesa Délka křivky v Rn