Základní typy rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

Alternativní rozdělení A(p) Některé náhodné pokusy mohou mít pouze dva různé výsledky: pokus je úspěšný pokus je neúspěšný Příslušná náhodná veličina X se pak nazývá alternativní (nula-jedničková, indikátor). Tato náhodná veličina nabývá tedy pouze dvou hodnot: 1 – v případě příznivého výsledku pokusu (jev A), 0 – v případě nepříznivého výsledku pokusu (jev A'). Obor hodnot tedy obsahuje dva prvky M = {0, 1}. Používáme označení: P(A) = P(X = 1) = p, P(A') = P(X = 0) = 1 – p

Alternativní rozdělení A(p) Definice: Náhodná veličina X s pravděpodobnostní funkcí P(X = 0) = 1 – p, P(X = 1) = p, kde 0 < p < 1, má alternativní rozdělení pravděpodobnosti A(p) s parametrem p. Příklad: Hod mincí: Ω = {líc,rub} Jedná se o alternativní rozdělení (můžeme označit např. líc = 1, rub = 0) P(X = 0) = 1/2, P(X = 1) = 1/2.

Vlastnosti alternativního rozdělení E(X) = p var(X) = p(1 – p) Příklad: Hod kostkou – můžeme označit 1 – padne šestka (jev A), 0 – nepadne šestka (jev A'). Při tomto označení se jedná o alternativní rozdělení: P(X = 0) = 5/6, P(X = 1) = 1/6 Snadno vypočteme: E(X) = 1/6 var(X) = 5/36

Binomické rozdělení Bi(n, p) Popisuje četnost náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost – Bernoulliovo schema. Definice: Náhodná veličina X má binomické rozdělení Bi(n, p) právě tehdy, když je pravděpodobnostní funkce určena vztahem kde k = 0, 1, ..., n; n je počet pokusů a p je pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu.

Vlastnosti binomického rozdělení E(X) = np var(X) = np(1 – p) Příklad: Student má potíže s ranním vstáváním. Proto někdy zaspí a nestihne přednášku, která začíná ráno v 9 hodin. Pravděpodobnost, že zaspí, je 0,3. V semestru je 12 přednášek, student má tedy 12 (předpokládejme, že nezávislých) pokusů dorazit na přednášku včas. Náhodná veličina X vyjadřuje počet přednášek v semestru, které student nestihne v důsledku zaspání. E(X) = 3,6 var(X) = 25,2

Graf pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení z předchozího snímku

Poissonovo rozdělení Po(λ) Toto rozdělení pravděpodobnosti, pojmenované podle francouzského matematika S. D. Poissona, mají náhodné proměnné, které popisují četnosti jevů s těmito vlastnostmi: to, že jev v daném intervalu (časovém, prostorovém) nastane (nenastane), nezávisí na tom co se stalo v jiném intervalu, pro každý časový okamžik je pravděpodobnost jevu v malém časovém intervalu stejná (totéž platí v prostoru), neexistuje případ, že by nastaly dva jevy přesně v jednom časovém okamžiku nebo místě v prostoru. Průměrný počet výskytů zkoumaného jevu v daném úseku jednotkové délky označujeme λ.

Poissonovo rozdělení Po(λ) Definice: Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení Po(λ) právě tehdy, když má pravděpodobnostní funkce tvar v daném jednotkovém úseku, kde x = 0, 1, 2, ...; λ  > 0 je parametr.

Vlastnosti Poissonova rozdělení E(X) = λ var(X) = λ Příklad: Na zákaznickou linku jedné firmy volá v průměru pět zákazníků za minutu. Náhodná veličina X nechť vyjadřuje počet zákazníků, kteří zavolají na zákaznickou linku v nejbližší minutě. E(X) = 5 var(X) = 5

Graf pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení z předchozího snímku Jaká je pravděpodobnost, že počet zákazníků, kteří během nejbližší minuty zavolají na zákaznickou linku je větší než 4?

Hypergeometrické rozdělení H(N, M, n) Příklad: Mezi stovkou výrobků je 20 zmetků. Vybereme deset výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybranými. Například pravděpodobnost, že mezi deseti vybranými výrobky budou 3 zmetky, se vypočte: Podobně vypočteme pravděpodobnosti i pro jiné počty zmetků. Rozdělení pravděpodobnosti počtu zmetků je tzv. hypergeometrické s parametry 100, 20, 10.

Hypergeometrické rozdělení H(N, M, n) Definice: Náhodná veličina Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení H(N, M, n) právě tehdy, když má pravděpodobnostní funkce tvar: kde N je počet prvků základního souboru; M je počet prvků v základním souboru, které mají požadovanou vlastnost; n je počet pokusů a k = 0, 1, 2, …, n je počet vybraných výrobků, které mají zkoumanou vlastnost.

Vlastnosti hypergeometrického rozdělení Příklad: Mezi stovkou výrobků je 20 zmetků. Označme X náhodnou veličinu vyjadřující počet zmetků mezi deseti náhodně vybranými výrobky. H(100, 20, 10) E(X) = 2 var(X) = 1,45

Graf pravděpodobnostní funkce hypergeometrického rozdělení z předchozího snímku

Geometrické rozdělení Ge(p) Definice: Náhodná veličina X má Geometrické rozdělení Ge(p) právě tehdy, když má pravděpodobnostní funkce tvar kde k = 1, 2, 3,… Použití: Nezávisle opakujeme pokus, u kterého nastává „úspěch“ s pravděpodobností p. Náhodná veličina X udává počet pokusů do chvíle, kdy nastane poprvé „úspěch“.

Vlastnosti geometrického rozdělení Příklad: Označme X náhodnou veličinu vyjadřující počet hodů kostkou, které provedeme do chvíle, než padne poprvé šestka. E(X) = 6 var(X) = 30