Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 FFZS-10 Magnetismus http://stein.upce.cz/msfzs11.html http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_10.ppt 25.2.2007 Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 19. 12. 2011

Hlavní body Magnetismus Magnetické vlastnosti látek Magnetické pole solenoidu, toroidu a reálného vodiče Náboj, pohybující se v magnetickém poli Specifický náboje, hmotová spektroskopie, urychlovače Magnetické vlastnosti látek Úvod a magnetismus mikroskopicky Diamagnetismus Paramegnetismus Feromagntismus 19. 12. 2011

Magnetické pole solenoidu I Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity. V případě konečného solenoidu je nutné magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity. Ukážeme výpočet pro solenoid téměř nekonečný, kdy lze zanedbat okrajové jevy a elegantně použít ampérova zákona. 19. 12. 2011

Magnetické pole solenoidu II Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu. Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu. Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny. 19. 12. 2011

Magnetické pole solenoidu III Je zřejmé, že nenulový příspěvek křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu. Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom: Bl = 0NI A zavedeme-li hustotu závitů, potom: n = N/l  B = 0nI 19. 12. 2011

Magnetické pole solenoidu IV Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Uvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole. Pole co nejbližší homogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie či nukleární magnetické rozonance. Relativně kvalitní pole v omezeném prostoru lze získat pomocí Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkém průměru, rozdělený na půlky. 19. 12. 2011

Magnetické pole toroidu I Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti. Má-li toroid střední poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru. 19. 12. 2011

Magnetické pole toroidu II Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r : B 2r = 0NI  B(r) = 0NI/2r Toto platí pro každé r uvnitř toroidu. Je patrné, že magnetické pole toroidu je: uvnitř nehomogenní, protože závisí na r. vně nulové 19. 12. 2011

Magnetické pole vodiče konečného průřezu I Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantní proudovou hustotu. Použijeme Ampérova zákona“: Uvažujme dvě kruhové dráhy v jisté rovině kolmé na vodič, jednu v jeho vnitřku a druhou vně. Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký. Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineární závislosti indukce na r. 19. 12. 2011

Magnetické pole vodiče konečného průřezu II Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče: B 2r = 0Ienc Obemknutý proud Ienc zde závisí na poměru plochy vodiče obemknuté uvažovanou smyčkou k jeho celkové ploše Ienc = I r2/R2  B = 0Ir/2R2 19. 12. 2011

Znovu Lorentzova síla Vraťme se k Lorentzově síle : a zabývejme se vyžitím tohoto vztahu. Začněme pouze s magnetickým polem. Ukažme, že platí : 19. 12. 2011

Proudy jsou pohybující se náboje I Mějme přímý kousek vodiče délky L kolmo na magnetickou indukci a v něm náboj q, pohybující se rychlostí v. Na překonání vzdálenosti L bude náboj potřebovat čas : t = L/v To odpovídá proudu : I = q/t = qv/L  q = I L/v Dosadíme za q do výrazu pro Lorentzovu sílu : F = qvB = ILvB/v = ILB 19. 12. 2011

Proudy jsou pohybující se náboje II Chceme-li znát, jak se v magnetickém poli chová určitý vodič, protékaný proudem, můžeme si pro jednoduchost představit, že nosiče náboje jsou kladné a pohybují se ve směru tekoucího proudu. U většiny jevů nezáleží jakou polaritu nosiče náboje ve skutečnosti mají, ani se jimi tedy nedá zjistit. Výjimkou je např. Hallův jev. Ilustrujme to na vodivé tyčce pohybujicí se na vodivých kolejnicích v magnetickém poli. 19. 12. 2011

Pohybující se náboj v magnetickém poli I Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí v kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B. Velikost síly působící na částici je F = qvB a její směr můžeme najít z vlastností vektorového součinu  FvB musí tvořit pravotočivý systém. Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikoli velikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový. 19. 12. 2011

Pohybující se náboj v magnetickém poli II Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu : mv2/r = qvB Obvykle se měří r , aby se identifikovaly částice nebo našly jejich parametry : r je úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickému náboji a magnetické indukci. 19. 12. 2011

Pohybující se náboj v magnetickém poli III Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžné komoře, používané v částicové fyzice. Můžeme okamžitě určit polaritu částice. Jsou-li dvě částice stejné, má ta s větším r větší rychlost a energii. Jsou-li stejné rychlosti, má částice s větším specifickým nábojem menší r. 19. 12. 2011

*Měření specifického náboje I Tento princip lze použít k měření specifického náboje elektronu. Volné elektrony získáme ze žhavené elektrody (katody). Potom je urychlíme napětím U, necháme vletět kolmo do magnetického pole o indukci B a změříme poloměr r jejich kruhové dráhy. 19. 12. 2011

*Měření specifického náboje II Vyjádříme rychlost: mv2/r = qvB  v = rqB/m Tu dosadíme do rovnice, vyjadřující zachování energie během urychlování : mv2/2 = qU  q/m = 2U/(rB)2 Veličiny na pravé straně jsou měřitelné. B lze vypočítat z proudu a geometrie elektromagnetů, obvykle Helmholtzových cívek. 19. 12. 2011

*Specifický náboj elektronu I Původní přístup objevitele elektronu J. J. Thompsona v roce 1897 byl odlišný. Používal zařízení známé nyní jako “rychlostní filtr”. Použije-li se magnetické pole B a kolmé elektrické pole E správné polarity, projdou filtrem pouze částice, mající určitou rychlost v. 19. 12. 2011

*Specifický náboj elektronu II Má-li částice filtrem projít, musí se navzájem kompenzovat elektrická a magnetická síla, které na ní působí : qE = qvB  v = E/B Tato podmínka nezávisí ani na hmotnosti ani na náboji částic! 19. 12. 2011

*Specifický náboj elektronu III Thopson tedy : Použil elektronové “dělo”, nyní známe jako CRT. Označil si, kam nevychýlené elektrony dopadají při nulových polích. Zapnul elektrické pole E a označil si výchylku. Zapnul také magnetické pole a nastavil jeho indukci B, aby paprsek elektronů dopadal na stejné místo, jako při nulových polích. 19. 12. 2011

*Specifický náboj elektronu IV Vletí-li nabitá částice q/m rychlostí v do elektrického pole o intenzitě E, koná pohyb po parabolické dráze (obdobně jako při vodorovném vrhu) a po průletu úsekem pole o délce L, který trvá L/v, je odchýlena o y : y = EqL2/2mv2 Dosadíme za rychlost v = E/B a dostaneme : m/q = L2B2/2yE 19. 12. 2011

Hmotová spektroskopie I Výše popsané principy jsou také základem významné analytické metody – hmotnostní spektroskopie, která funguje následovně : Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a ionizován. Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostním filtrem Nakonec vletí kolmo do magnetického pole a měří se množství částic v závislosti na poloměru dráhy. 19. 12. 2011

Hmotová spektroskopie II Výsledkem je množství částic v závislosti na specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemické složení analyzované látky. Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru. Základní princip ale zůstává stejný. 19. 12. 2011

Urychlovače částic Urychlovače se staví, aby se získaly nabité částice a velké energii. Obvykle používá elektrické pole k urychlování a magnetické k udržení svazku částic v určitém tvaru a k fokusaci. Lineární urychlovače Cyklotrony Synchrotrony 19. 12. 2011

*Cyklotrony I Cyklotron je plochý, dutý, evakuovaný buben, rozdělený na dvě, v půdorysu, polokruhové části. Materiál musí být vodivý, ale proniknutelný pro magnetické pole, které je kolmé k plochám. Obě části jsou připojeny k vysokonapěťovému a vysokofrekvenčnímu generátoru, který přepíná polarity. Částice jsou urychlovány při průchodu mezerou a přepínání způsobuje, že projdou jen ty, které mají správnou frekvenci kruhového pohybu. 19. 12. 2011

*Cyklotrony II Poloměr je určen : r = mv/qB   = v/r = qB/m  f = /2 = qB/2m frekvence f je naladělna na částice s určitým specifickým nábojem. Jejich konečná energie závisí na počtu průchodů mezerou. 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek I Magnetické vlastnosti látek jsou složitější než vlastnosti elektrické i v mikroskopickém měřítku. Tam existovaly vodiče, ve kterých bylo pole nulové a dielektrika, v nichž se vždy zeslabilo. Jemnější efekty musely být studovány s využitím dalších efektů, např. závislosti na teplotě nebo frekvenci. 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek II Je-li látka vložena do vnějšího magnetického pole, jistým způsobem se zmagnetizuje a objeví se v ní vnitřní magnetické pole , které lze chápat jako hustotu magnetických dipólových momentů : Objem V je malý makroskopicky, ale velký mikroskopicky. 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek III Celkové magnetické pole v látce lze potom napsat jako superpozici pole vnitřního a pole původního : Můžeme-li předpokládat lineární chování, platí : Materiálový parametr m je magnetická susceptibilita, která může tentokrát být větší i menší než nula. 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek IV Dosadíme do první rovnice : a definujeme relativní permeabilitu r. Celková (absolutní) permeabilita je definována jako :  = 0 r Pole dlouhého solenoidu s jádrem lze například napsat jako : . 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek V Existují tři možné typy magnetického chování. Vnější magnetické pole může být : zeslabeno (m< 0 nebo r < 1), tato vlastnost se nazývá diamagnetismus. mírně zesíleno (m> 0 nebo r >1), tato vlastnost se nazývá paramagnetismus výrazně zesíleno, (m>> 0 nebo r >> 1) , tato vlastnost se nazývá ferromagnetismus. 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek VI Může-li být materiál ferromagnetický, bude tato vlastnost dominantní a překryje jiné magnetické chování, které je mnohem slabší. Dominantní chování se ale může změnit při určité vyšší teplotě. Například ferromagnetické chování se nad Courieovou teplotou mění na paramagnetické. 19. 12. 2011

Úvod do magnetických vlastností látek VII Látka m [.10-6] Cu -9.8 C (diamant) -22 Au -36 Si -4.2 Al 23 Ca 19 W 68 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku I Magnetické vlastnosti látek jsou otevřenou a obtížnou oblastí výzkumu. Základní typy magnetického chování ale lze ilustrovat pomocí jednoduchých modelů. Musí se začít od mikroskopických představ. Víme, že libovolný odštěpek permanentního magnetu je opět permanentním magnetem s oběma póly. 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku II Budeme-li dělit permanentní magnet, dostaneme se jednou na atomární úroveň a je otázkou, které elementární částice jsou zodpovědné za magnetické chování látek? Ukážeme, že magnetický dipólový moment částice závisí na jejím specifickém náboji, takže dominantní magnetické chování je určeno elektrony. Existují ale experimenty citlivé na magnetické momenty atomových jader. (NMR, Neutron. D.) 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku III Elektrony mohou vytvářet magnetické pole třemi způsoby: Volné: jako pohybující se náboje, tedy proud. Vázané: díky svému spinu. a svému orbitálnímu pohybu (“rotaci”) kolem jádra. Poslední dva mechanismy, které se v látkách určitým způsobem skládají, jsou zodpovědné za magnetické chování materiálů. 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku IV Elektrony mohou být chápány jako nepatrné, záporně nabité částice, rotující kolem své osy. Kvantová teorie jim přisuzuje spinový moment hybnosti s : s = h/4 = 5.27 10-35 Js Zde h = 6.63 10-34 Js je Planckova konstanta Protože elektron nese náboj, má díky spinu také magnetický dipólový moment : 1 ms = eh/4me = 9.27 10-24 J/T 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku V ms = mb se nazývá Bohrův magneton a je to nejmenší magnetický dipólový moment, který může existovat v přírodě. Proto se často používá jako jednotka mikroskopických magnetických dipólových momentů (obdoba elementárního e). Magnetický dipólový moment je tedy kvantovaný. Spin je ve skutečnosti kvantovým jevem. Kdyby se elektron skutečně mechanicky otáčel, vyzařoval by totiž energii a jeho rotace by se zpomalovala. 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku VI Když jsou elektrony vázány v atomu, mají také orbitální moment hybnosti. To je také kvantový jev. Přestože klasický planetární model elektronu nemůže být realistický, umožňuje získat důležitou představu, proč závisí magnetické chování částice na specifickém náboji. 19. 12. 2011

Magnetismus v mikroskopickém měřítku VII I ve velmi malém makroskopickém kousku látky je obrovské množství elektronů a každý má jistý spinový a orbitální magnetický moment. Celkové magnetické pole je superpozicí všech dipólových magnetických momentů všech elektronů. Magnetické chování závisí na tom, zde se tyto momenty kompenzují nebo zůstane nějaký moment zbytkový. 19. 12. 2011

Diamagnetismus I Látky, v nichž se všechny magnetické momenty přesně kompenzují (2n elektronů), jsou diamagnetické a ve vnějším poli se zmagnetují tak, že zeslabí vnější pole. Toto chování lze ilustrovat na (nerealistickém, ale občas užitečném) planetárním modelu jednoho elektronu obíhajícího kolem atomového jádra. 19. 12. 2011

Diamagnetismus II Ve vnějším poli působí na elektron radiální síla dostředivá nebo odstředivá, podle orientace pole a směru rotace. Síla nemůže změnit poloměr otáčení, ale je-li dostředivá, elektron urychlí, je-li odstředivá, zpomalí jej. Vzhledem k tomu, že je elektron záporný, vede to vždy na změnu magnetického pole, která směřuje proti vnějšímu poli, které je tedy vždy zeslabeno. 19. 12. 2011

Paramagnetismus I Elektrony jsou primárně diamagnetické, ale mají-li atomy zbytkový magnetický moment, je diamagnetismus zamaskován mnohem silnějšími efekty. Nejsou-li spinový a orbitální momenty úplně vykompenzovány, mají atomy magnetický moment a chovají se tedy jako magnetické dipóly a snaží se srovnat ve směru vnějšího magnetického pole, čímž ho zesílí. 19. 12. 2011

Paramagnetismus II Míra, s jakou se magnetické dipóly uspořádají ve vnějším magnetickm poli závisí na jeho síle a je rušena teplotními pohyby. Pro pole a teploty běžných hodnot platí Courieův zákon : Bm = CB/T, kde C je materiálový parametr. 19. 12. 2011

Ferromagnetismus I Představu o magnetismu máme většinou spojenou s nejsilnějším jevem, ferromagnetismem. V některých látkách (Fe, Ni, Co, Ga a mnoha speciálních slitinách) existuje kvantový jev, zvaný výměnná interakce, která vede k paralelnímu uspořádání atomárních magnetických momentů navzdory snaze teplotních pohybů toto uspořádání zrušit. 19. 12. 2011

Ferromagnetismus II Atomární magnetické momenty jsou přísně organizovány v doménách, které jsou mikroskopické, ale současně velké v atomárním měřítku. Jejich typické rozměry jsou 10-12 – 10-8 m3 , ale přesto obsahují 1017 – 1021 atomů. Není-li látka zmagnetizována magnetické momenty domén jsou náhodné a kompenzují se. 19. 12. 2011

Ferromagnetismus III Ve vnějším magnetickém poli domény, jejichž moment se nacházel ve směru působícího pole, rostou a magnetický moment jiných domén se může kolektivně přepnout též stejným směrem. To vede k makroskopické magnetizaci. 19. 12. 2011

Ferromagnetismus IV Ferromagnetická magnetizace : Je silný efekt, r  1000! Závisí na vnějším poli. Saturuje se. Vede k permanentní magnetizaci. Závisí na historii a vykazuje hysterezi. Mizí při T > TC , zvané Courieova teplota. 19. 12. 2011

Ferromagnetismus V Vnitřní magnetizace je v určitém okamžiku saturovaná. To znamená, že se již působením vnějšího pole nemůže zvýšit. Srovnání magnetických momentů při saturaci může být řádově až 75%. Courieova teplota pro železo je 1043 K. 19. 12. 2011

Ferromagnetismus VI Hystereze je způsobená skutečností, že za nízkých teplot nemohou domény dosáhnout v rozumné době své původní náhodné konfigurace. Díky tomuto tzv. paměťovému efektu zůstává určitá trvalá magnetizace. Tohoto jevu se hojně užívá pro uchování informace například na magnetofonových páskách, floppy a hard discích. 19. 12. 2011

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) Velikost vektoru Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém. ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : Hustota náboje na menší kouli je tedy větší! ^

Planetární model atomu I Mějme náboj q, pohybující se rychlostí v na orbitu o poloměru r a vypočtěme jeho magnetický dipólový moment m0 = IS. Plocha je jednoduše : S = r2. Perioda oběhu je : T = 2r/v. Každou periodu T proteče náboj q, tedy proud je : I = q/T = qv/2r.

Planetární model atomu II Magnetický dipólový moment : m0 = rqv/2. Na druhé straně moment hybnosti je : b = mvr. Porovnáním tedy dostáváme : m0 = b q/2m. To platí obecněji i ve vektorové podobě : . Jedná-li se o elektron q = -e , mají vektory magetického dipólového momentu a momentu hybnosti opačnou orientaci. ^

Termočlánek V Spojme dva vodiče A a B v jednom bodě a umístěme jej v prostředí o teplotě t1. Na opačných koncích vodičů, které jsou v pokojové teplotě t0, budou vůči spoji napětí: uA=kA(t0-t1) a uB=kB(t0-t1) Připojíme-li mezi konce voltmetr naměříme: uAB = uB - uA= (kB - kA)(t0 – t1) 19. 12. 2011