Modely obnovy stárnoucího zařízení Charakteristika zařízení 𝐾 – cena nového zařízení, 𝑐 𝑖 – průměrné náklady na provoz a údržbu v 𝑖 – tém roce, 𝑧 𝑖 – zůstatková cena na konci 𝑖 – tého roku. Optimalizace Předpoklad: v budoucnu bude k dispozici stejné zařízení za stejnou cenu. Kdy je nákladově nejvýhodnější provést výměnu starého zařízení za nové? 𝑅 𝑖 = 𝑗 𝑖 𝑐 𝑖 +𝐾− 𝑧 𝑖 Celkové průměrné náklady za 𝑖 let, pokud se zařízení rozhodneme vyměnit za nové na konci 𝑖 – tého roku. 𝑅 𝑖 = 𝑅 𝑖 𝑖 Průměrné roční náklady, pokud se zařízení rozhodneme vyměnit za nové na konci 𝑖 – tého roku. Výměnu je vhodné provést, když průměrné roční náklady jsou minimální, tedy po 𝑘 letech. 𝑅 𝑘 = min 𝑖 𝑅 𝑖

Modely obnovy stárnoucího zařízení Příklad Pořizovací cena nového stroje je 60 000 Kč. V tabulce jsou uvedeny průměrné náklady na provoz a údržbu stroje v jednotlivých letech spolu se zůstatkovými cenami na konci každého roku. Rozhodněte, v kterém roce je nákladově nejvýhodnější stroj vyměnit za nový. 𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑐 𝑖 10 000 12 000 14 000 18 000 23 000 28 000 34 000 40 000 𝑧 𝑖 30 000 15 000 7 500 3 750 2 000

Modely obnovy selhávajících prvků Předpoklady zkoumá se obnova homogenních jednotek, obnova je prostá – početnost souboru jednotek se nemění, obnova se provádí na konci stejně dlouhých časových intervalů, je známá maximální životnost jednotek 𝑇, jsou známé pravděpodobnosti selhání jednotek v období 𝑖: 𝑎 𝑖 ≥0, 𝑖=1,2,…,𝑇, 𝑖=1 𝑇 𝑎 𝑖 =1, pravděpodobnost selhání jednotky v průběhu jednotlivých období je nezávislá na selhávání ostatních jednotek sledovaného souboru. Cíl odhad počtu jednotek, které selžou v jednotlivých obdobích a bude je třeba vyměnit za nové, získání informace o věkové struktuře jednotek.

Modely obnovy selhávajících prvků Pravděpodobnosti dožití konce období 𝑖 (prvek vydrží v bezporuchovém provozu 𝑖 a více období): 𝑟 𝑖 = 𝑎 𝑖+1 + 𝑎 𝑖+2 +…+ 𝑎 𝑇 , 𝑖=0,1,2,…,𝑇−1. Evidentně platí: 𝑟 0 =1, 𝑟 𝑇−1 = 𝑎 𝑇 , 𝑟 𝑖−1 − 𝑟 𝑖 = 𝑎 𝑖 , 𝑖=1,2,…,𝑇−1. Průměrná životnost jednotek: 𝑉= 𝑖=1 𝑇 𝑖.𝑎 𝑖 = 1𝑎 1 + 2𝑎 2 +…+ 𝑇𝑎 𝑇 , 𝑉= 𝑖=0 𝑇−1 𝑟 𝑖 = 𝑟 0 + 𝑟 1 +…+ 𝑟 𝑇−1 .

Modely obnovy selhávajících prvků Matice pravděpodobností přechodu 𝑷 mezi stavy 0,1,…, 𝑇−1 (stáří jednotky): Stav 0: prvek v předcházejícím období selhal a bude nahrazen novým, v aktuálním období má tedy stáří 0, Stav 1: prvek první období přežil, v aktuálním období má tedy stáří 1, v dalším období buď přežije nebo selže a bude nahrazen novým, …. Stav 𝑇−1: prvek je v posledním období života, v aktuálním období má tedy stáří 𝑇−1, v dalším období selže a bude nahrazen novým, V každém období (kromě posledního) může tedy dojít pouze ke dvěma stavům: prvek období přežije a zestárne o 1 období, prvek selže, bude nahrazen a stane se z něj nový prvek se stářím 0.

Modely obnovy selhávajících prvků Matice pravděpodobností přechodu 𝑷 mezi stavy 0,1,…, 𝑇−1 (stáří jednotky): Podmíněná pravděpodobnost přežití prvku další období za předpokladu dožití předchozího období Stáří 1 2 3 ⋯ 𝑇−1 𝑎 1 𝑟 1 𝑎 2 𝑟 1 𝑟 2 𝑟 1 𝑎 3 𝑟 2 𝑟 3 𝑟 2 ⋮ ⋱ 𝑇−2 𝑎 𝑇−1 𝑟 𝑇−2 𝑟 𝑇−1 𝑟 𝑇−2 Podmíněná pravděpodobnost selhání prvku v období za předpokladu dožití předchozího období

Modely obnovy selhávajících prvků Matice pravděpodobností přechodu 𝑷 mezi stavy 0,1,…, 𝑇−1 (stáří jednotky): Řádkové součty matice 𝑷 jsou rovny 1. Vektor 𝒑 0 popisuje počáteční věkovou strukturu prvků (podíly nových prvků, prvků starých 1 období, starých 2 období atd.): 𝒑 𝑻 0 =(1,0,0,0), na počátku jsou všechny prvky nové, 𝒑 𝑻 0 =(0.25,0.25,0.25,0.25), na počátku je 25 % prvků nových, stejně jako starých jedno, dvě a tři období. Vektor 𝒑 𝑛 popisuje věkovou strukturu prvků v čase 𝑛. Vektory lze vypočítat pomocí vztahu: 𝒑 𝑻 𝑛+1 = 𝒑 𝑻 𝑛 𝑷.

Modely obnovy selhávajících prvků Matice pravděpodobností přechodu 𝑷 mezi stavy 0,1,…, 𝑇−1 (stáří jednotky): Pro popis limitní věkové struktury lze vypočítat vektor 𝒒 ze soustavy rovnic: 𝒒 𝑻 = 𝒒 𝑻 𝑷, přičemž navíc platí, že 𝒊=𝟎 𝑻−𝟏 𝑞 𝒊 =1. Vzhledem ke speciální struktuře matice 𝑷 lze vektor 𝒒 určit jako 𝒒 𝑻 = 𝑟 0 𝑉 , 𝑟 1 𝑉 ,…, 𝑟 𝑇−1 𝑉 = 1 𝑉 , 𝑟 1 𝑉 ,…, 𝑟 𝑇−1 𝑉 . Limitní věková struktura pro 𝑁 prvků v systému: 𝑁𝒒 𝑻 = 𝑁 𝑉 , 𝑁 𝑟 1 𝑉 ,…, 𝑁𝑟 𝑇−1 𝑉 . Počet obnovovaných jednotek na konci každého období: 𝑞 0 = 𝑁 𝑉

Modely obnovy selhávajících prvků Příklad Uvažujme soubor 1000 homogenních prvků, které mají maximální životnost 4 měsíce. V tabulce jsou uvedeny pravděpodobnosti selhání prvku v jednotlivých měsících. Předpokládejme, že na začátku prvního měsíce jsou všechny prvky nové. Cílem je zjistit: 1) věkovou strukturu v průběhu celého roku, 2) limitní věkovou strukturu. Jak se změní situace v případě, že na začátku prvního měsíce je 25 % prvků každého stáří. 𝑖 1 2 3 4 𝑎 𝑖 0,1 0,2 0,4 0,3

Děkuji.