Rozoluiční princip

Resoluční princip v predikátové logice Zaveďme některé pojmy analogické pojmům z výrokové logiky: Literál je atomická formule (n-ární predikát aplikovaný na n termů) nebo její negace. Komplementární literály je dvojice literálů z nichž každý je negací druhého. Klausule je věta (formule bez volných proměnných), taková, že obsahuje pouze univerzální kvantifikátory na začátku a následuje disjunkce konečného počtu literálů nebo jediný literál.

Zavedeme následující úmluvu: U klausule budeme univerzální kvantifikátory proměnných vynechávat. Protože u disjunkce nezáleží na pořadí, budeme klausule zapisovat pouze jako množiny jejich literálů. Tedy například místo tří klauzulí P(x, y), a (Q(a)  R(a, x)  S(f(a), a), a b S(a, b)  Q(b) budeme psát pouze množinu tří množin literálů {P(x, y)}, {Q(a), R(a, x), S(f(a), a)}, {S(a, b), Q(b)}.

Prázdná klausule neobsahuje žádné literály a je tedy kontradikcí Prázdná klausule neobsahuje žádné literály a je tedy kontradikcí. Obvykle se značí symbolem , někdy též F. Tato klausule není splnitelná. Její přítomnost v množině formulí znamená nesplnitelnost této množiny. Princip rezoluční metody u predikátové logiky je analogický jako u výrokové logiky. Je však komplikovanější, protože není k dispozici přímá analogie k konjunktivně disjunktivní normální formě. Postupně odvozujeme z daných klausulí resolventy tak, že vypouštíme dvojice komplementárních literálů. Původní klausule ponecháme.

Postup je založen na tom, že tautologicky platí (  )  (  )  (  ). V případě výskytu predikátů s proměnnými, konstantami a funkčními symboly je třeba provést substituce.

Resolventa klausulí C1 = {P(x, y, z), Q(x, y)} a C2 = {P(x, y, z), R(x)}, kde x, y, z jsou proměnné je klausule C = {Q(x, y), R(x)}. Komplementární literály P(x, y, z) a {P(x, y, z) lze vynechat. Množiny klausulí {C1, C2} a {C1, C2, C} jsou tautologicky ekvivalentní. Mají tytéž modely. Abychom to dokázali, stačí ukázat, že pro každou interpretaci (U, I), kde C1 a C2 jsou pravdivé je pravdivé i C . Nechť a, b, c jsou libovolné konstanty z U. Substitujeme-li a za x, b za y a c za z (označme jako x/a, y/b, z/c) odvodíme, že {Q(a, b), R(a)} je pravdivé a tedy C je pravdivé v interpretaci (U, I).

Resolventa klausulí {P(x, y, z), Q(x, y)}a C2 = {P(a, b, z), R(a)}získaná substitucí x/a, y/b je {Q(a, b), R(a)}. Nalézání komplementárních literálů v množině klauzulí lze algoritmizovat. Tento postup je užit například při ověřování, zda dané tvrzení vyplývá z daných předpokladů. Jde o ověření tautologičnosti implikace (p1  p2  …  pn)  q, tautologicky ekvivalentní s (p1  p2  …  pn)  q, tedy s  p1  p2  …  pn  q

R0(S) = S, Rj+1(S) = R(Rj(S)) pro j = 1, 2, ... . Platí: S = R0(S)  R1(S)  ...  Rk(S)  ... . Položme Rj(S).

Resoluční princip predikátové logiky říká: Množina S je splnitelná právě když R*(S) neobsahuje prázdnou klausuli .   Chceme-li zjistit zda klauzule  je důsledkem (logickým a tedy i sémantickým) množiny klauzulí S, vytvoříme množinu S’ = S  {} a zjistíme, zda je splnitelná, či nikoliv. Je-li S’ splnitelná  není důsledkem S. Je-li nesplnitelná, je  důsledkem S. To je princip nepřímého důkazu v matematice.