Příklad 4.1 M\DG 1 2 4 ∑ 43 59 100 6 208 67 71 152 25 315 3 18 125 180 30 353 5 20 50 49 124 133 275 482 110 1000
Rozdělovací funkce (X, Y) M\DG 1 2 4 ∑ 0,043 0,059 0,100 0,06 0,208 0,067 0,071 0,152 0,025 0,315 3 0,018 0,125 0,180 0,03 0,353 0,05 0,02 0,050 0,049 0,124 0,133 0,275 0,482 0,110
Rozdělovací funkce (X, Y) ↙ 𝑔 1 (𝑥) Rozdělovací funkce (X, Y) ↙ ↗ 𝑔 2 𝑦 𝑔 1 (𝑥)∙ 𝑔 2 𝑦 ≠𝑔(𝑥,𝑦) M\DG 1 2 4 ∑ 0,043 0,059 0,100 0,06 0,208 0,067 0,071 0,152 0,025 0,315 3 0,018 0,125 0,180 0,03 0,353 0,05 0,02 0,050 0,049 0,124 0,133 0,275 0,482 0,110
Věta:Buď X spojitá [diskrétní] náhodná veličina s rozdělovací funkcí g a oborem hodnot Ω. Uvažujme funkci h(X) náhodné veličiny X. Potom: 𝐸 ℎ 𝑋 = Ω ℎ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐸 ℎ 𝑋 = 𝑥∈Ω ℎ(𝑥)𝑔(𝑥)
𝐸 ℎ (𝑋 1 , 𝑋 2 ) = Ω ℎ 𝑥 1 , 𝑥 2 𝑔( 𝑥 1 , 𝑥 2 )𝑑 𝑥 1 𝑑 𝑥 2 Věta:Buď X= 𝑋 1 , 𝑋 2 spojitý [diskrétní] náhodný vektor s rozdělovací funkcí g a oborem hodnot Ω. Uvažujme funkci h 𝑋 1 , 𝑋 2 náhodných veličin 𝑋 1 , 𝑋 2 . Potom: 𝐸 ℎ (𝑋 1 , 𝑋 2 ) = Ω ℎ 𝑥 1 , 𝑥 2 𝑔( 𝑥 1 , 𝑥 2 )𝑑 𝑥 1 𝑑 𝑥 2 𝐸 ℎ 𝑋 1 , 𝑋 2 = ( 𝑥 1 , 𝑥 2 )∈Ω ℎ 𝑥 1 , 𝑥 2 𝑔( 𝑥 1 , 𝑥 2 )
Další číselné charakteristiky k-tý obecný moment: 𝜇𝑘 =𝜇𝑘 𝑋 =𝐸 𝑋 𝑘 pro 𝑘=1,2,… k-tý centrální moment: 𝜇0 𝑘 = 𝜇0 𝑘 𝑋 =𝐸 [𝑋− 𝐸(𝑋)] 𝑘 pro k=1,2.. koeficient šikmosti (asymetrie): 𝛾 1 = 𝛾 1 𝑋 = 𝜇0 3 [𝐷(𝑋)] 3 koeficient špičatosti: 𝛾 2 = 𝛾 2 𝑋 = 𝜇0 4 [𝐷(𝑋)] 4
Koeficient šikmosti
Koeficient špičatosti
Význačné kvantily 25% - ní kvantil (dolní kvartil) 𝑥 0.25 50% - ní kvantil (medián) 𝑥 0.5 75% - ní kvantil (horní kvartil) 𝑥 0.75