Vybrané partie z logiky Teorie svazů Vybrané partie z logiky

Obsah Částečně uspořádané množiny Svazy Speciální případy Polosvazy Komplementární svazy Modulární svazy Distributivní svazy

Částečné uspořádání Binární relace uspořádání  na množině A. Značení (A, ) je (částečně) uspořádaná množina Axiomy částečného (neostrého) uspořádání: x,y,z Î A Reflexivita: x (x  x) Antisymetrie: xy [(x  y) Ù (y  x)] É (x = y) Tranzitivita: xyz [(x  y) Ù (y  z)] É (x  z)

Svaz jako uspořádána množina (A, ) je svaz (svazově uspořádaná množina) pokud platí: x,yA i,jA : i = sup({x, y}), j = inf({x, y}) Platí-li navíc: M  A i,jA : i = sup M, j = inf M pak se jedná o úplný svaz.

Svaz jako algebraická struktura Označme sup({x, y}) = x  y spojení prvků x,y inf({x, y}) = x  y průsek prvků x,y Algebraická struktura (A, , ) je svaz

Axiomy svazu jakožto algebry Idempotence: x  x = x x  x = x Komutativita: x  y = y  x x  y = y  x Asociativita: x  (y  z) = (x  y)  z x  (y  z) = (x  y)  z Absorpce: x  (x  y) = x x  (x  y) = x

Základní věta o svazech Definice svazu jako algebry (A, , ) a jako svazově uspořádané množiny (A, ) jsou ekvivalentní Nechť L = (A, , ) je svaz, tj. algebra, která splňuje axiomy svazu (idempotence, komutativita, asociativita, absorbce). Definujeme relaci  na L takto: x  y právě když x  y = x nebo právě když x  y = y. Pak (A, ) je svazově uspořádaná množina Nechť (A, ) je svazově uspořádaná množina, tj. množina, jejíž každá dvouprvková podmnožina má v A supremum a infimum. Definujeme operace průsek  a spojení  takto: x  y = inf {x,y}, x  y = sup {x,y}. Pak algebra (A, , ) splňuje axiomy svazu. Důkaz: cvičení

Polosvazy Horní polosvaz, také -svaz Dolní polosvaz, též -svaz Zachovává supréma Značíme (A, ) Dolní polosvaz, též -svaz Zachovává infima Značíme (A, )

Neutrální prvky svazu Mějme svaz (A, , ). Pokud xA yA: y  x Pak x nazýváme maximální prvek svazu Značíme 1; je neutrální vůči operaci : aA: a  1 = a Duálně, minimální prvek svazu: zA yA: z  y Značíme 0; je neutrální vůči : aA: a  0 = a

Komplementární svazy Svazy mající maximální i minimální prvek, které navíc splňují podmínku: x(A,,) y(A,,): (x  y = 0)  (x  y = 1) Takový prvek y nazýváme komplement a značíme -x

Modulární svazy Dedekindovo kriterium modularity: a,x,y(A,,): (x  y)  (a  x = a  y)  (a  x = a  y) É (x = y) Ekvivalentně, modulární svaz neobsahuje podsvaz typu N5: x a y 1

Distributivní svazy Podmnožina modulárních svazů Birkhoffovo distributivní kriterium: a,x,y(A,,): (a  x = a  y)  (a  x = a  y) É (x = y) Ekvivalentně, distributivní svaz neobsahuje podsvaz typu N5 ani M5: a x y 1