Příklad postupu operačního výzkumu RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Ekonomicko-matematické metody I

Problém výroby konzerv Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených předpokladů. Na výrobním zařízení, na kterém se z nakoupených plechů zhotovují plechovky, trvá výroba 100 plechovek bez rozdílu velikosti 1 hodinu. Zařízení může být v provozu nejvýše 70 hodin týdně. Týdně lze k plnění do plechovek připravit 10000 kg výrobku a při plnění nevzniká žádný odpad. Prodejní oddělení může týdně zabezpečit odbyt 6000 kg výrobku v 1 kg konzervách a 8000 kg ve 2 kg konzervách. Konzervy se prodávají v celcích po 100 kusech. Zisk za kus je u 1 kg konzervy 2 Kč a u 2 kg konzervy 3 Kč. Kolik a kterých konzerv má podnik týdně vyrábět, aby za těchto předpokladů dosáhl maximálního zisku? EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

Specifikace veličin modelu Neřiditelné veličiny jsou zadány v předchozím textu. Jak uvidíme dále, v průběhu tvorby modelu u některých z nich dojde ke změně jednotek. Rozhodovací proměnné (v závorkách jsou jednotky): x1 … množství 1 kg konzerv (100 ks) x2 … množství 2 kg konzerv (100 ks) Výsledková proměnná: z … celkový zisk (100 Kč) Pozn.: Volba jednotek u rozhodovacích proměnných vyplývá ze zadání (konzervy se prodávají v celcích po 100 ks), kdežto volba jednotky u výsledkové proměnné je vedena snahou o zjednodušení modelu. Často vhodnou volbou jednotek můžeme zlepšit výpočetní vlastnosti modelu. EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu Účelová funkce Kritériem rozhodování je hodnota celkového zisku a účelová funkce vyjadřuje závislost této veličiny na rozhodovacích proměnných. z = 2 x1 + 3 x2 Pozn.: Zde došlo ke změně jednotky neřiditelných veličin, jimiž jsou zisky za jednotku výrobku. Novou jednotkou hodnot 2 a 3 je 100 Kč /100 ks. EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu Výrobní omezení Omezení výroby plechovek (závorkách je jednotka): x1 + x2  70 (hod) Výraz na levé straně představuje spotřebu kapacity zařízení na výrobu plechovek pro plán výroby konzerv určený hodnotami x1 a x2. Koeficienty 1 na levé straně mají jednotku hod /100 ks. Omezení přípravy výrobku: 100 x1 + 200 x2  10000 (kg) Na 100 ks 1 kg konzerv se spotřebuje 100 kg výrobku a na 100 ks 2 kg konzerv se spotřebuje 200 kg výrobku. Omezení můžeme zjednodušit volbou jednotky 100 kg pro kapacitu linky na přípravu výrobku. x1 + 2 x2  100 (100 kg) EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

Omezení rozhodovacích proměnných Odbytová omezení: x1  60 (100 ks) x2  40 (100 ks) Zde došlo ke změně jednotky možností odbytu z kg na 100 ks. Podmínky nezápornosti: x1  0 x2  0 Nemůžeme vyrábět záporná množství konzerv. Podmínky celočíselnosti (Z označuje množinu celých čísel): x1  Z x2  Z Vyrábět můžeme pouze v celcích po 100 ks. EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu Matematický model Maximalizovat z = 2 x1 + 3 x2 za podmínek x1 + x2  70 x1 + 2 x2  100 x1  60 x2  40 x1 , x2  0 x1 , x2  Z EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu Řešení modelu Proměnné mají nabývat celočíselných hodnot, ostatní omezení i účelová funkce jsou lineární a tudíž daná úloha je úlohou celočíselného lineárního programování a je řešitelná např. metodou sečných nadrovin nebo metodou větví a mezí). Vzhledem k možným hodnotám účelové funkce a k rozsahu hodnot rozhodovacích proměnných se nedopustíme příliš velké chyby, když použijeme následující zjednodušený postup. Zanedbáme podmínky celočíselnosti a úlohu řešíme jako úlohu lineárního programování. V případě, že v řešení vyjdou neceločíselné hodnoty, upravíme je na celá čísla tak, aby nebyly porušeny omezující podmínky. Obecnou numerickou metodou pro řešení úloh LP je simplexová metoda. Vzhledem k tomu, že daná úloha obsahuje pouze 2 rozhodovací proměnné, můžeme ji řešit také graficky. EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

Grafické řešení úloh LP Grafické řešení úlohy lineárního programování se dvěma rozhodovacími proměnnými sestává z těchto dvou kroků: 1. Zkonstruujeme množinu přípustných řešení jako průnik přímek (odpovídají omezením ve tvaru rovnic) a polorovin (odpovídají omezením ve tvaru nerovností). Každá polorovina je určena hraniční přímkou, jejíž rovnici dostaneme nahrazením znaku nerovnosti rovnítkem. Je-li průnik prázdný, úloha nemá žádné přípustné řešení. 2. Hledáme optimální řešení následujícím způsobem. Nejprve do grafu zakreslíme přímku určenou rovnicí účelové funkce pro nějakou hodnotu kritéria z zvolenou tak, aby procházela množinou přípustných řešení (volbou různých hodnot z bychom takto dostali systém rovnoběžek). Pak k této přímce zkonstruujeme nejvzdálenější rovnoběžku ve směru růstu (při maximalizaci) nebo poklesu (při minimalizaci) hodnot z tak, aby měla ještě alespoň jeden společný bod s množinou přípustných řešení. Souřadnice takto nalezeného bodu představují optimální řešení. Takových bodů může být více (pak tvoří úsečku nebo polopřímku) nebo nemusí existovat žádný (jestliže ve směru optimalizace není množina přípustných řešení ohraničená). EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

Konstrukce množiny přípustných řešení x2 70 50 x2 = 40 40 x2 = 0 60 70 100 x1 x1=0 x1 = 60 x1+x2 = 70 x1+2x2 = 100 EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

Nalezení optimálního řešení x2 30 40 x1 z = 60 z = 120 z = zopt EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu

EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu Interpretace řešení Grafickou metodou byl nalezen bod o souřadnicích (40, 30), který odpovídá optimálnímu řešení. Optimální hodnoty rozhodovacích proměnných tedy jsou x1,opt = 40, x2,opt = 30 a dosazením do účelové funkce dostaneme optimální hodnotu zopt = 170. Při interpretaci získaného řešení musíme specifikovat, co tyto hodnoty znamenají, a převést je do jednotek odpovídajících zadání. V případě potřeby musíme také předtím provést úpravy související se zjednodušením modelu či postupu řešení (např. úpravu na celočíselné hodnoty). Odpověď na zadaný úkol je tedy následující: podnik má týdně vyrábět 4000 ks 1 kg konzerv a 3000 ks 2 kg konzerv; přitom bude dosahovat zisku 17000 Kč. Dosazením vypočtených hodnot do modelu můžeme získat další užitečné informace. Prvá dvě omezení jsou splněna jako rovnice, což znamená, že kapacity výrobních zařízení jsou plně využity. Nevyužité zůstávají možnosti odbytu - na trhu by bylo možno ještě uplatnit 2000 ks 1 kg konzerv a 1000 ks 2 kg konzerv. EMM I: Příklad postupu operačního výzkumu