2. Štruktúra elektrických obvodov Elekrické obvody – základné pojmy Klasifikácia elektrických obvodov Schéma elektrického obvodu a jej topologické časti: - uzol - úsek - slučka Kirchhoffove zákony (I. Kirchoffov a II. Kirchhoffov zákon) Prvky elektrického obvodu Ideálne dvojpóly (zdroj napätia, zdroj prúdu, rezistor, kapacitor, induktor) Sériové a paralelné zapojenie dvojpólov Vzájomná indukčnosť

2.1. Elektrické obvody – základné pojmy V predmetoch teoretickej elektrotechniky sa budeme zaoberať vzájomnými vzťahmi medzi napätiami a prúdmi (ako integrálnymi veličinami – nebudeme uvažovať detailné priestorové rozloženie elektromagnetického poľa). Tieto vzťahy budeme vyšetrovať v sústave zariadení na výrobu, rozvod a spotrebu elektrickej energie, ktorú nazývame elektrický obvod - elektrická sieť (obr. A). Zariadenia na výrobu elektrickej energie nazývame zdroje, zariadenia na rozvod elektrickej energie nazývame vedenie a zariadenia na spotrebu elektrickej energie nazývame spotrebiče. V užšom slova zmysle pod pojmom elektrický obvod rozumieme viac, či menej zidealizovaný model reálnej elektrickej siete (obrázok B). V teórii elektrických obvodov budeme mať na mysli väčšinou tento význam. A zdroj vedenie spotrebič zdroj vedenie spotrebič B

2.2. Klasifikácia elektrických obvodov Elektrické obvody môžeme podľa ich vlastností v prvom rade rozdeliť na dve hlavné skupiny: Elektrické obvody so sústredenými parametrami V elektrických obvodoch so sústredenými parametrami sú skutočné, priestorovo ohraničené časti obvodu nahradené elementárnymi prvkami (súčiastkami), ktoré svojimi parametrami reprezentujú vlastnosti jednotlivých častí obvodu. V takýchto obvodoch zanedbávame konečnú rýchlosť šírenia sa elektromagnetického signálu a predpokladáme, že všetky deje prebiehajú vo všetkých prvkoch súčasne. V týchto obvodoch sú napätia a prúdy len funkciou času: u(t), i(t). Elektrické obvody s rozloženými parametrami V elektrických obvodoch s rozloženými parametrami uvažujeme rýchlosť šírenia sa signálu a vyšetrujeme priestorovo-časovú závislosť napätia u(x,y,z,t), resp. prúdu i(x,y,z,t). Častým prípadom pri riešení je použitie kombinácie oboch typov obvodov – niektoré časti (bloky) obvodu sú nahradené prvkami (obvody so sústredenými parametrami), pričom tieto bloky sú prepojené vedeniami (obvody s rozloženými parametrami). V predmete Elektrické obvody I sa budeme zaoberať výhradne elektrickými obvodmi so sústredenými parametrami.

2.3. Schéma elektrického obvodu Schémou (zapojením) nazývame jednoduché a prehľadné nakreslenie ciest elektrického prúdu. Schéma je vytvorená pospájaním obvodových prvkov (označených pomocou dohodnutých elektrotechnických značiek) pomocou vodičov. Tieto vodiče predstavujú ideálne vodivé prepojenia a neovplyvňujú vlastnosti elektrického obvodu. Vodivé spojenia vodičov nazývame uzly, miesta pripojenia prvkov póly alebo svorky (póly zvyčajne v schéme nevyznačujeme). Elektrický prúd označujeme pomocou šípky na vodiči. Elektrické napätie označujeme pomocou šípky medzi dvoma bodmi (uzlami, svorkami, svorkou a uzlom atď). prúd prvok Voľba orientácie prúdov a napätí je pri formulácii úlohy ľubovoľná (okrem veličín, ktoré sú zadané – t.j. napätí, resp. prúdov zdrojov). Zvyčajne sa však snažíme zvoliť orientáciu danej veličiny v jej predpokladanom kladnom smere. napätie Po výpočte príslušnej veličiny vieme potom na základe znamienka hodnoty napätia (prúdu) určiť jeho skutočnú orientáciu. pól uzol vodič

nevodivé križovanie vodičov 2.3.1. Uzol Uzol v elektrickej schéme je vodivé spojenie troch alebo viacerých vodičov. Podľa počtu vodičov vychádzajúcich z daného uzla potom hovoríme o ráde uzla. uzol 3. rádu uzol 4. rádu nevodivé križovanie vodičov I keď v technických aplikáciach sa uvažujú prakticky len uzly 3. a vyšších rádov, v teórii elektrických obvodov svoju úlohu hrajú aj uzly nižších rádov (prvého a druhého). V špeciálnych metódach sa dokonca používa aj pojem uzla nultého rádu – ide o vzťažný bod zvolený mimo elektrickej schémy. Ak sa v úseku medzi dvoma uzlami nachádza len vodič, tento úsek môžeme považovať za jeden uzol. V takomto úseku je možné síce vypočítať prúd, ale tento prúd nie je pre výpočet prúdov a napätí v ostatných úsekoch zvyčajne zaujímavý. Niekedy však (napr. pri použití princípu náhradného aktívneho dvojpólu) potrebujeme práve vypočítať prúd medzi dvomi uzlami spojenými vodičom (tzv. prúd nakrátko).

2.3.2. Úsek Úsek elektrického obvodu je časť elektrického obvodu medzi dvomi (susednými) uzlami, resp. pólom a uzlom. Zvyčajne obsahuje aspoň jeden prvok, za úsek však v niektorých špeciálnych prípadoch môžeme považovať aj prepojenie dvoch uzlov vodičom (ak je úlohou vypočítať prúd v tomto prepojovacom vodiči). úsek Počet neznámych veličín v obvode najčastejšie určíme podľa počtu úsekov: počet úsekov = počet neznámych veličín (bližšie vysvetlenie bude uvedené v kapitole 6).

slučka jednoduchá slučka Slučka je taká uzavretá dráha v elektrickej schéme, pri ktorej – ak vychádzame z jedného bodu (napr. uzla) a postupujeme pozdĺž úsekov – sa dostaneme do východzieho bodu bez toho, aby sme niektorý úsek alebo uzol prešli viackrát; napríklad: slučka Jednoduchá slučka (tzv. „oko“ elektrickej schémy) je taká slučka, vo vnútrajšku ktorej sa nenachádza žiadny úsek. jednoduchá slučka Jednoduchá slučka je do značnej miery pojem relatívny, pretože závisí od spôsobu nakreslenia elektrickej schémy. Vidíme to napr. na nasledujúcom príklade, kde obidve (zjednodušené) schémy a v nich zakreslené slučky sú elektrotechnicky ekvivalentné, i keď v prvom prípade ide o jednoduchú slučku a v druhom nie. a b c d a b c d Ako uvidíme neskôr, v teórii elektrických obvodov jednoduché slučky hrajú dôležitú rolu pri niektorých metódach riešenia.

2.4. Kirchhoffove zákony Teória elektrických obvodov je vybudovaná na dvoch zákonoch platiacich pre prúd a napätie v elektrickom obvode. I. Kirchhoffov (prúdový) zákon a II. Kirchhoffov (napäťový) zákon boli nazvané podľa významného nemeckého fyzika Gustava Roberta Kirchhoffa (1824-1887). Za mienku stojí, že Kirchhoff tieto zákony sformuloval v roku 1845 (teda vo veku 21 rokov). Aplikáciou I. KZ a II. KZ v danom elektrickom obvode je možné zostaviť rovnice (resp. sústavu rovníc) pre všetky neznáme napätia a prúdy. Všetky metódy riešenia elektrických obvodov sú založené na platnosti Kirchhoffových zákonov.

2.4.1. I. Kirchhoffov zákon i3 i1 i4 i2 I. Kirchhoffov zákon (Kirchhoffov prúdový zákon) je rovnicou kontinuity elektrického prúdu. Vzťahuje sa na uzol elektrického obvodu a jeho matematická formulácia je: (I. KZ) Slovami: Súčet prúdov v uzle je nulový. i1 i2 i3 i4 Je zrejmé, že pri písaní rovníc I. KZ treba znamienkom odlíšiť prúdy do uzla vtekajúce a prúdy z uzla vytekajúce. Keďže na pravej strane (I. KZ) je nula, je voľba znamienok vecou dohody - v našom prípade budeme vtekajúce prúdy označovať znamienkom – (mínus) a vytekajúce prúdy znamienkom + (plus). I. KZ vyjadruje skutočnosť, že v uzle elektrického obvodu sa nehromadí elektrický náboj; inými slovami - v ustálenom stacionárnom stave je potenciál uzla konštantný. I. KZ môžeme aplikovať aj na tzv. zovšeobecnený uzol elektrického obvodu, t.j. pre ľubovoľnú uzavretú plochu v obvode. i1 i2 i3 i4 i5 i6

2.4.2. II. Kirchhoffov zákon II. Kirchhoffov zákon (Kirchhoffov napäťový zákon) vyjadruje skutočnosť, že práca vykonaná pri premiestnení náboja po uzavretej dráhe v elektrickom poli je nulová (nezávisí ani od tvaru tejto dráhy). Vzťahuje sa na slučku elektrického obvodu a jeho matematická formulácia je: (II. KZ) Slovami: Súčet napätí v slučke je nulový. Pri zostavovaní rovnice pomocou II. KZ pre napätia v danej slučke musíme zvoliť zmysel (orientáciu) danej slučky. Potom napätia, ktoré majú rovnakú orientáciu ako slučka uvažujeme so znamienkom + (plus) a napätia s opačnou orientáciou uvažujeme so znamenkom – (mínus). Samozrejme, voľba orientácie slučky je ľubovoľná, keďže na pravej strane (II. KZ) je nula (celú rovnicu môžeme vynásobiť -1). u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7

2.5. Prvky elektrického obvodu - rozdelenie Prvky elektrického obvodu sú zidelizované modely častí elektrického obvodu. Do elektrického obvodu sú prvky zapojené prostredníctvom pólov (vývodov, svoriek). Podľa počtu pólov hovoríme o dvojpóloch, trojpóloch , všeobecne potom o n-póloch. Na úplný opis vlastností daného n-pólu potrebujeme vedieť, aký je vzťah medzi napätiami medzi jednotlivými pólmi a prúdmi vtekajúcimi do jednotlivých pólov. Tieto vzťahy sa nazývajú terminálové vzťahy. Z I. a II. Kirchhoffovho zákona vyplýva, že nie všetky prúdy a všetky napätia pre daný n-pól sú nezávislé (niektoré sú vzájomne previazané). Dá sa ľahko ukázať, že pre n-pól existuje n-1 nezávislých napätí a n-1 nezávislých prúdov: dvojpól trojpól závislé nezávislé Najjednoduchším prípadom n-pólov sú dvojpóly, pre ktoré potrebujeme poznať závislosť u = u(i), resp. i = i(u), tzv. Volt-Ampérovú (VA) charakteristiku. Túto charakteristiku môžeme zadať v tvare matematickej funkcie, príp. pomocou tabuľkových hodnôt alebo grafickej závislosti. Pre n-póly vyšších stupňov sú terminálové vzťahy vyjadrené pomocou sústavy n-1 rovníc. Vlastnosťami n-pólov sa však nebudeme zatiaľ zaoberať.

2.5.1. Pasívne a aktívne prvky Z hľadiska spotreby, resp. dodávania energie do obvodu, môžeme prvky elektrického obvodu rozdeliť na: prvky aktívne - schopné trvale dodávať výkon (energiu) prvky pasívne - neschopné trvale dodávať výkon (energiu) O tom, či daný prvok dodáva resp. odoberá energiu v určitom časovom okamihu, vieme rozhodnúť podľa znamienka okamžitého výkonu p(t) (výkon v danom okamihu) na prvku. Ak p(t) > 0 (kladný) - prvok energiu spotrebúva (správa sa ako spotrebič) p(t) < 0 (záporný) - prvok energiu dodáva (správa sa ako zdroj) Je potrebné rozlišovať medzi dvojicami pojmov pasívny prvok  spotrebič a aktívny prvok  zdroj, ktoré neznamenajú to isté. Aktívny prvok (napr. ideálny zdroj napätia) sa v určitom zapojení môže správať ako spotrebič (nabíjanie akumulátora) a naopak pasívny prvok (napr. kapacitor) sa môže v istých časových okamihoch správať ako zdroj (vybíjanie kondenzátora – odvzdávanie nazhromaždeného náboja). Pre okamžitý výkon na dvojpóle platí: i(t) u(t) i(t) u(t) Dvojpól sa teda správa ako spotrebič (p(t) > 0), ak je v danom okamihu kladný smer napätia aj prúdu rovnaký.

2.5.2. Výkonová bilancia - Telegenova veta Telegenova veta vyjadruje zákon zachovania energie a znie: V elektrickom obvode je súčet okamžitých výkonov na všetkých prvkoch obvodu nulový. Výkonová bilancia je najspoľahlivejšou (ale zároveň aj najprácnejšou) metódou kontroly správnosti výsledkov pri výpočte veličín elektrického obvodu.

2.6. Ideálne dvojpóly Ideálny dvojpól je dvojpól, ktorý môžeme opísať (charakterizovať) pomocou jedného parametra. Ak je tento parameter nezávislý na veľkosti napätia, resp. prúdu, hovoríme o lineárnom dvojpóle. Elementárne ideálne (lineárne) dvojpóly sú: Aktívne Pasívne R uz Ideálny rezistor Ideálny zdroj napätia C Ideálny kapacitor iz Ideálny zdroj prúdu L Ideálny induktor Ideálne dvojpóly sú samozrejme len zjednodušením reálnych dvojpólov (elektrotechnických prvkov); ich význam je predovšetkym v tom, že reálne dvojpóly však môžeme modelovať rôznymi zapojeniami ideálnych dvojpólov. Napr. reálny induktor (cievku) je možné opísať zapojením Rv L Cp kde sme okrem vlastnej indukčnosti L uvažovali aj odpor Rv vodiča a parazitnú kapacitu Cp medzi závitmi.

2.6.1. Ideálny zdroj napätia Ideálny zdroj napätia je charakterizovaný svojim napätím uz(t), ktoré je nezávislé od pretekajúceho prúdu. Nejde teda o lineárny dvojpól v pravom slova zmysle (t.j. napätie nie je priamo úmerné prúdu). Pri riešení obvodu je nutné poznať časový priebeh (funkčnú závislosť) uz(t) pre všetky ideálne zdroje napätia v obvode. Ak je uz(t) nezávislá (zadaná) veličina, hovoríme o nezávislom (autonómnom) zdroji napätia. Niekedy však môže byť toto napätie funkciou inej veličiny (riadené inou veličinou) v obvode (prúdom, resp. napätím). Potom hovoríme o riadenom (neautonómnom) zdroji napätia. uz Elektrotechnickou značkou pre ideálny zdroj napätia je: Na označovanie zdrojov so stacionárnym napätím (Uz = konšt.) sa niekedy používajú aj značky: Uz Uz Okamžitý výkon na ideálnom zdroji napätia môže byť kladný, aj záporný, podľa orientácie prúdu, ktorý ním preteká. Či je tento prúd kladný, resp. záporný, závisí od konkrétneho elektrického obvodu, do ktorého je daný zdroj zapojen:. 5V 10V 10 20 -0,5A 0,1A V elektrickom obvode na obrázku je výkon na ľavom zdroji kladný (správa sa ako spotrebič), kým na pravom zdroji záporný (správa sa ako zdroj).

2.6.2. Ideálny zdroj prúdu Ideálny zdroj prúdu je charakterizovaný prúdom iz(t), ktorý ním preteká (zdroj ho „vnucuje“ do obvodu) a ktorý je nezávislý od napätia na tomto zdroji. Pri riešení obvodu je potom nutné poznať časový priebeh (funkčnú závislosť) iz(t) pre všetky ideálne zdroje prúdu v obvode. Ak je iz(t) nezávislá (zadaná) veličina, hovoríme o nezávislom (autonómnom) zdroji prúdu. Niekedy však môže byť iz(t) funkciou inej veličiny (riadené inou veličinou) v obvode (prúdom, resp. napätím). Potom hovoríme o riadenom (neautonómnom) zdroji prúdu. iz Elektrotechnickou značkou pre ideálny zdroj prúdu je: iz Niekedy je možné nájsť aj iné označenie: Okamžitý výkon na ideálnom zdroji prúdu môže byť kladný, aj záporný, podľa orientácie napätia na ňom. Toto napätie závisí od konkrétneho zapojenia (zvyšku obvodu). 0,5A 10V 10 25 -0,5A 1V V elektrickom obvode na obrázku je výkon na ľavom zdroji kladný (správa sa ako spotrebič), kým na pravom zdroji záporný (správa sa ako zdroj).

Nulovanie ideálnych zdrojov Pri niektorých metódach riešenia elektrických obvodov (princíp superpozície, princíp náhradného aktívneho dvojpólu ...) sa používa tzv. nulovanie ideálnych zdrojov. Vynulovať môžeme iba nezávislé (autonómne) zdroje. Neautonómne (riadené) zdroje nemožno vynulovať. Nulovanie ideálneho zdroja napätia Vynulovať ideálny zdroj napätia znamená predpísať nulové napätie. Stavu s nulovým napätím zodpovedá stav nakrátko a preto: uz Nulovanie ideálneho zdroja prúdu Vynulovať ideálny zdroj prúdu znamená predpísať nulový prúd. Stavu s nulovým prúdom zodpovedá stav naprázdno a preto: iz

2.6.3. Ideálny rezistor Ideálny rezistor je charakterizovaný parametrom elektrický odpor R, ktorého hodnota je v prípade lineárneho rezistora konštantná a kladná. R Elektrotechnickou značkou pre ideálny rezistor je: R R pričom sa používajú aj iné označenia: Jednotkou elektrického odporu je Ohm [] (Georg Simon Ohm, 1789-1854, nemecký vedec). Vzťah medzi napätím a prúdom na rezistore udáva Ohmov zákon, ktorý pri súhlasnej orientácii týchto veličín má tvar: R uR iR resp. Tu sme zaviedli veličinu elektrická vodivosť G, s jednotkou Siemens [S], pričom S = -1. Táto veličina bola nazvaná podľa významného nemeckého elektrotechnika Wernera von Siemens (1816 – 1892). Z tohoto dôvodu (jednoduchší zápis) používame v elektrických obvodoch aj ideálny dvojpól s názvom ideálny konduktor a s rovnakou elektrotechnickou značkou ako pre rezistor (i keď „fyzicky“ ide samozrejme stále o rezistor). G

Výkon a energia na rezistore Okamžitý výkon na rezistore je daný vzťahom R uR iR a je teda vždy nezáporný (pre kladné hodnoty R, resp. G). Rezistor sa preto správa vždy ako spotrebič – energia sa spotrebúva na pokrytie tepelných (Joulových) strát. Pri konštantnom prúde ir(t) = I0 = konšt. je energia premenená na teplo za čas t0 rovná:

Elektrický odpor V polovici 20. rokov 19. storočia vykonal G.S. Ohm sériu experimentov, pri ktorých meral napätie U na koncoch vodiča v závislosti od pretekajúceho prúdu I. Zistil pritom, že táto závislosť je pri konštantnej teplote lineárna (pre rôzne materiály sa líši len koeficientom úmernosti) a dá sa opísať jednoduchým vzťahom (neskôr nazvaným ako Ohmov zákon): Koeficient úmernosti R nazývame elektrický odpor. Jeho hodnota závisí od typu použitého materiálu a od geometrických rozmerov vodiča. Pre najjednoduchší prípad, vodič s konštantným prierezom S a dĺžkou l, ktorým tečie prúd homogénne v celom priereze, je odpor rovný: Koeficient  [m] sa nazýva rezistivita (v starších učebniciach možno nájsť pomenovanie špecifický, príp. merný odpor) a je to jeden zo základných materiálových parametrov (pri konštantnej teplote je to konštanta). Rozsah možných hodnôt rezistivity je veľmi veľký, môže nadobúdať hodnoty od 1,6310-8 m (striebro pri 20°C), cez 1-100 m (polovodiče) až po hodnoty rádovo 1016 m (izolanty).

2.6.4. Ideálny kapacitor Ideálny kapacitor (ďalej aj „kapacitor“) je charakterizovaný parametrom kapacita C, ktorého hodnota je v prípade lineárneho kapacitora konštantná a kladná. Niekedy sa používa aj pojem ideálny kondenzátor; my budeme rozlišovať medzi modelovým prvkom (kapacitor) a jeho technickým prevedením (kondenzátor). C Elektrotechnickou značkou pre ideálny kapacitor je: Jednotkou kapacity je Farad [F] (Michael Faraday, 1791-1867, anglický fyzik). uC(0) je z matematického hľadiska integračná konštanta; z fyzikálneho hľadiska je to napätie na kapacitore v okamihu začiatku integrovania – tzv. počiatočná podmienka Prúd kapacitorom nie je vodivostného charakteru (medzi elektródami ideálneho kapacitora je ideálny izolant – dielektrikum a náboje ním „neprechádzajú“), ale súvisí s časovou zmenou náboja (a teda potenciálu) na elektródach kapacitora. Pri súhlasnej orientácii napätia a prúdu na kapacitore potom plati: C uC iC Inverzný vzťah pre napätie je V stacionárnom prípade (u(t) = U = konšt.) je prúd cez kapacitor nulový a kapacitor sa správa ako rozpojený obvod (stav naprázdno).

Výkon a energia na kapacitore Pre okamžitý výkon na kapacitore platí C uC iC Ak v čase t = 0 bolo na kapacitore nulové napätie, potom energia elektrického poľa v čase t0 > 0 je: Táto energia je daná len okamihovou hodnotou napätia. Napätie kapacitora určuje energetický stav kapacitora a je jeho stavovovou veličinou. Okamžitý výkon na kapacitore môže byť kladný, aj záporný: pC(t) > 0 zodpovedá akumulácii (odoberaniu) energie z obvodu, pL(t) < 0 poklesu energie na kapacitore a dodávaniu energie do obvodu.

Kapacita Predstavme si dobre elektricky vodivú (kovovú) elektródu, ktorá je umiestnená v nevodivom, lineárnom prostredí (napr. vo vzduchu) a je na nej nazhromaždený náboj Q (napr. kladný), pričom elektróda má potenciál . Potom, ak zvýšime náboj na elektróde o Q, jej potenciál sa zvýši priamo úmerne o: (1)  + - Prevrátená hodnota koeficienta úmernosti sa nazýva kapacita C a je závislá od geometrických rozmerov elektródy a vlastností okolitého prostredia. 0 +Q Uvažujme teraz druhú kovovú elektródu s konštantným potenciálom 0 (napr. uzemnenú), ktorú priblížime k pôvodnej elektróde. -Q Na tejto elektróde sa vplyvom elektrostatických síl naindukuje náboj s opačnou polaritou. Tento náboj bude pri zanedbaní rôznych okrajových efektov (napr. ak budú rozmery elektród veľmi veľké vzhľadom na ich vzájomnú vzdialenosť) rovný ‑Q. Potom aj pre rozdiel potenciálov (napätie u) mezi elektródami bude platiť: u i (2) Týmto usporiadaním sme vytvorili kondenzátor (kapacitor). Podľa vzťahu (2) tento kapacitor bude mať kapacitu 1 Farad [F], ak pri rozdiele potenciálov 1 Volt [V] je na ňom nazhromaždený náboj 1 Coulomb [C]. Náboj na elektródy kondenzátora môžeme privádzať, resp. odvádzať, pripojením kondenzátora do elektrického obvodu. Ak za čas dt prívodným vodičom privedieme, alebo odvedieme náboj dQ, v tomto vodiči bude tiecť prúd s veľkosťou: (3) Po dosadení vzťahu (2) do (3) získame hľadanú závislosť medzi prúdom a napätím na kapacitore: (4)

Kondenzátor Kapacita kondenzátora je daná geometrickými rozmermi elektród a vlastnosťami dielektrika medzi elektródami. V prvom priblíženi je kapacita priamo úmerná ploche elektród, nepriamo úmerná vzdialenosti elektród a priamo úmerná permitivite dielektrika. Pri návrhu kondenzátorov s požadovanou kapacitou sa preto snažíme dosiahnúť maximálnu plochu elektród pri minimálnom objeme (napr. stočením elektród z tenkej fólie, alebo použitím špeciálnych (poréznych) materiálov), použiť materiály s vysokou hodnotou permitivity a minimalizovať vzdialenosť medzi elektródami (tu sme však obmedzení tzv. elektrickou pevnosťou dielektrika – po zmenšení hrúbky dielektrika pod určitú kritickú hodnotu pri danej hodnote napätia môže dôjsť k elektrickému prierazu). Niektoré možnosti usporiadania elektród su na nasledujúcom obrázku. MKP typ (metallized polypropylen (PP) film) Al elektrolytický kondenzátor Al fólia izolačná fólia adhézna fólia 1 – elektródy 2 – PP vrstva 1 2 3 3 – elektrický kontakt Keramický kondenzátor dielektrikum (keramika) elektródy Dosahované hodnoty kapacít kondenzátorov ležia v pomerne širokom rozsahu: od pF (10-12 F) po mF (10-3 F).

2.6.5. Ideálny induktor Ideálny induktor (ďalej aj „induktor“) je charakterizovaný parametrom indukčnosť L, ktorého hodnota je v prípade lineárneho induktora konštantná a kladná. Niekedy sa používa aj pojem ideálna cievka; my však tieto pojmy budeme opäť rozlišovať – induktor je modelový prvok, kým cievka je technická realizácia induktora. L Elektrotechnickou značkou pre induktor je: Jednotkou indukčnosti je Henry [H] (Joseph Henry, 1797-1878, americký fyzik). Napätie na ideálnom induktore, nie je rezistívneho (ohmického) charakteru (ideálny induktor je ideálny vodič s nulovým odporom), ale súvisí s časovou zmenou pretekajúceho prúdu i(t) a s ňou spojeným javom elektromagnetickej indukcie. Pri súhlasnej orientácii napätia a prúdu na induktore potom platí: iL(0) je z fyzikálneho hľadiska prúd tečúci cez induktor v okamihu začiatku integrovania L uL iL odkiaľ inverzný vzťah pre prúd je: V stacionárnom prípade (i(t) = I = konšt.) je napätie na induktore nulové a tento sa správa sa ako skrat (stav nakrátko).

Výkon a energia na induktore Pre okamžitý výkon na induktore platí L uL iL Ak v čase t = 0 netiekol induktorom prúd, potom energia magnetického poľa v čase t0 > 0 je: Energia na induktore je daná len okamžitou hodnotou prúdu. Prúd induktorom určuje energetický stav induktora – je jeho stavovovou veličinou. Okamžitý výkon môže byť kladný, aj záporný, podľa znamienka derivácie energie v danom okamihu. Ak pL(t) > 0, znamená to, že energia na induktore narastá – induktor akumuluje (odoberá) energiu. Naopak, pL(t) < 0 zodpovedá poklesu energie na induktore, čiže induktor do obvodu energiu dodáva.

Indukčnosť Napätie na ideálnom induktore súvisí s javom elektromagnetickej indukcie, prvýkrát pozorovanej M. Faradayom v r. 1831. Ak do magnetického poľa vložíme závit z tenkého vodiča, na koncoch závitu budeme pozorovať elektrické napätie, ktorého veľkosť je rovná časovej zmene magnetického toku  (magnetický tok udáva veľkosť magnetického poľa orientovanú kolmo na danú plochu vynásobenú (integrovanú) touto plochou): (1) Magnetické pole v okolí závitu môžeme vyvolať napr. prúdom i tečúcim cez tento závit. Ak je obklopujúce prostredie lineárne, veľkosť magnetického toku je priamo úmerná veľkosti tohto prúdu: zdroj u (2) Koeficient úmernosti sa nazýva (vlastná) indukčnosť L a je daná geometrickým usporiadaním závitu a vlastnosťami okolitého prostredia. iu i L i u Týmto usporiadaním sme vytvorili cievku (induktor). Induktor má indukčnosť 1 H, ak pri prúde 1 A je celkový viazaný magnetický tok 1 Wb (Webber). (3) Po dosadení vzťahu (2) do (1) dostaneme Vráťme sa ešte k vzťahu (1). Tento vzťah je v literatúre udávaný v tvare u =d /d t (s opačným znamienkom) Vieme však, že znamienko napätia závisí od jeho zvolenej orientácie. Znamienko mínus v indukčnom zákone je vyjadrením tzv. Lenzovho zákona, podľa ktorého indukované napätie je orientované tak, aby prúd, ktorý toto napätie v závite spätne vyvolá, pôsobil proti zmene magnetického toku. V našom prípade bude preto indukované napätie u orientované tak, aby vyvolaný (indukovaný) prúd iu pôsobil proti budiacemu prúdu i. Na induktore sú potom indukované napätie u a budiaci prúd i orientované súhlasne a preto sme aj vzťah (1) napísali s kladným znamienkom.

Cievka Indukčnosť cievky je daná jej geometrickými usporiadaním (najčastejší prípad je navinutie vodiča na tzv. jadro) a vlastnosťami materiálu tohoto jadra. V prvom priblíženi je indukčnosť priamo úmerná kvadrátu počtu závitov (približne povedané N závitov vytvorí pole s N-násobnou veľkosťou a zároveň je magnetický tok viazaný N krát, čiže výsledný efekt je N2), prierezu jadra a permeabilite jadra. Pri snahe o dosahnutie vysokých hodnôt indukčnosti však toto prináša určité problémy. Veľké množstvo závitov navinutých na jadro s veľkým prierezom znamená dlhý vodič a teda nezanedbateľný (ohmický) odpor. Ďalej, materiály s vysokou permeabilitou (tzv. magneticky mäkké materiály – feromagnetiká, ferimagnetiká atď.) sú zvyčajne lineárne iba pre malé hodnoty magnetického poľa (teda prúdu). Pri vyšších hodnotách prúdu sa prejavujú rôzne (nežiadúce) nelineárne javy (navyše komplikované hysteréznymi efektami) súvisiace s fyzikálnym pozadím magnetovania týchto materiálov. Magnetické jadro Používané hodnoty indukčností cievok sú od rádovo H (10-6 H) až desiatky H.

Zhrnutie terminálových vzťahov ideálnych dvojpólov Kapacitor Induktor Rezistor ľubovoľné Zdroj prúdu ľubovoľný Zdroj napätia Prúd Napätie Ideálny dvojpól Všimnime si, že z matematického hľadiska sme vyčerpali všetky lineárne operácie (násobenie konštantou, integrácia a derivácia), ktorými sa dá vyjadriť vzťah medzi dvoma veličinami (v tomto prípade prúdom a napätím). Znamená to, že na modelovanie ľubovoľného lineárneho obvodu (siete) môžeme použiť ako pasívne prvky iba ideálne dvojpóly R, L, C. Všetky ostatné pasívne lineárne prvky (n-póly) vieme potom opísať určitým zapojením R, L, C (náhradnou schémou).

2.6.6. Sériové zapojenie lineárnych dvojpólov O sériovom zapojení dvojpólov hovoríme vtedy, keď sú tieto dvojpóly zapojené „za sebou“. Ak ide o dvojpóly rovnakého typu, je možné toto zapojenie nahradiť jedným dvojpólom toho istého typu. 1 2 N u1 u2 uN i u Vzťah pre parameter výsledného dvojpólu dostaneme z II. Kirchoffovho zákona: Napr. pre sériové zapojenie rezistorov odkiaľ Výsledný parameter pri sériovom zapojení dvojpólov zdroj napätia kapacitor induktor rezistor Odvoďte uvedené vzťahy ?

2.6.7. Paralelné zapojenie lineárnych dvojpólov O paralelnom zapojení dvojpólov hovoríme vtedy, keď sú tieto dvojpóly zapojené „vedľa seba“. Ak ide o dvojpóly rovnakého typu, je možné toto zapojenie nahradiť jedným dvojpólom toho istého typu. i u 1 2 N i1 i2 iN Vzťah pre parameter výsledného dvojpólu dostaneme z I. Kirchoffovho zákona: Napr. pre paralelné zapojenie rezistorov odkiaľ resp. Výsledný parameter pri paralelnom zapojení dvojpólov zdroj prúdu kapacitor induktor rezistor Odvoďte uvedené vzťahy ?

2.6.8. Vzájomná indukčnosť (1/6) V súvislosti s induktorom a indukčnosťou treba spomenúť aj ďalší jav: vzájomnú indukciu (magnetickú väzbu) i keď vlastne nejde o prípad dvojpólu. Princíp tohto javu vysvetlíme na nasledujúcom príklade. Videli sme, že ak cievkou (induktorom) s indukčnosťou L1 tečie časovo meniaci sa púd i1, vytvorí sa v jej okolí časovo meniace sa magnetické pole a na svorkách cievky sa indukuje napätie u11 = L1di1/dt. i1 i2 u12 u11 u22 u21 Priblížme teraz k tejto cievke inú cievku (napr. s indučnosťou L2). Časť magnetického poľa (toku), vytváraného cievkou L1, je zachytená závitmi cievky L2. Preto sa aj na svorkách cievky L2 naindukuje napätie (označíme ho u21). Orientáciu tohto napätia určuje Lenzov zákon a jeho veľkosť je: kde 21 označuje časť magnetického toku vytvoreného cievkou L1 a zachyteného cievkou L2. Veľkosť tohto magnetického toku bude v lineárnom prostredí opäť priamo úmerná veľkosti prúdu i1: odkiaľ: L12 je koeficient s rozmerom [H]. Presne rovnaký jav bude prebiehať, ak aj cievkou L2 potečie prúd i2. Na cievke L2 sa naindukuje napätie u22 = L2di2/dt a na cievke L1 napätie u12 s veľkosťou: L21 je koeficient s rozmerom [H]. Dá sa ukázať (a môžeme to aj očakávať ako dôsledok symetrie), že L12 a L21 sú rovnaké. Preto Koeficient M nazývame vzájomná indukčnosť (Mutual inductance). ... pokračovanie

Vzájomná indukčnosť (2/6) Hodnota vzájomnej indukčnosti M závisí od vlastných indukčností cievok L1 a L2 a dá sa vyjadriť ako:  nazývame faktor väzby a sú v ňom zahrnuté napr. priestorové usporiadanie cievok, vlastnosti prostredia atď. Hodnota faktora väzby leží v intervale 0,1;  = 1 znamená, že celý magnetický tok jednej cievky je viazaný aj druhou cievkou (napr. ak sú obe cievky navinuté na jadre s veľmi veľkou permeabilitou). Výsledné napätie u1 na cievke L1 a u2 na cievke L2 bude: u11 i1 u21 u22 u12 i2 Môže však nastať aj iná situácia, a to ak cievku L2 „otočíme“. Kým orientácia „vlastných“ napätí (u11, u22) zostané zachovaná (v smere prúdu), kladný zmysel „väzobných“ napätí (u12, u12) sa zmení (vyplýva to z Lenzovho zákona). u11 i1 u21 u22 u12 i2 V takomto prípade dostaneme: ... pokračovanie

Vzájomná indukčnosť (3/6) Magnetickú väzbu medzi dvoma induktormi v elektrickej schéme označujeme nasledovným spôsobom: M Videli sme však, že je potrebné vedieť nielen to, ktoré cievky sú magneticky viazané a s akou hodnotou M, ale aj akým spôsobom sú cievky v priestore vzájomne orientované, čo z ich elektrotechnických značiek nevyplýva. Na určenie orientácie napätia indukovaného na induktore v dôsledku magnetickej väzby použijeme tzv. referenčné značky („bodky“, niekedy nazývané aj začiatok vinutia). L1 L2 Dohodnutý význam týchto značiek je: Ak v induktore vteká prúd do referenčnej značky (bodky), v magneticky viazanom induktore je napätie zodpovedajúce vzájomnej indukcii orientované v smere od referenčnej značky (bodky). Na ilustráciu niekoľko príkladov: L1 L2 M L1 L2 M L1 L2 M L1 L2 M Ešte raz zopakujme, že napätie na induktore zodpovedajúce vlastnej indukčnosti je na induktore vždy orientované v smere prúdu týmto induktorom. Orientácia napätia zodpovedajúceho vzájomnej indukčnosti závisí od referenčných značiek a od smeru prúdu v druhom induktore. ... pokračovanie

Vzájomná indukčnosť (4/6) Pri riešení obvodov s magneticky viazanými induktormi musíme túto väzbu nejakým spôsobom „prepísať“ do elektrotechnických značiek (určiť náhradnú schému obvodu s magnetickou väzbou). Pri tejto náhrade vychádzame zo vťahov pre napätia na induktoroch, ktoré majú v prípade dvoch induktorov tvar: Z týchto vzťahov potom vyplývajú dva spôsoby vytvorenia náhradnej schémy: pomocou riadených zdojov napätia táto náhrada je všeobecná a dá sa použiť aj v prípade niekoľkých magneticky viazaných induktorov (typickým príkladom je transformátor s viacerými vinutiami). Jej čiastočnou nevýhodou sú problémy pri použití niektorých metód riešení obvodu (napr. nemôžeme použiť metódy využívajúce nulovanie zdrojov). pomocou indukčného T-článku túto náhradu môžeme použiť iba pre dva viazané induktory, navyše s určitým obmedzením súvisiacim s galvanickým prepojením týchto induktorov (vysvetlíme neskôr). Výhodou je však jej jednoduchosť. ... pokračovanie

Vzájomná indukčnosť (5/6) Náhradná schéma s riadenými zdrojmi napätia Pri použití tejto náhrady vyjadríme magnetickú väzbu induktora s iným induktorom (induktormi) sériovým zapojením riadeného zdroja (zdrojov) napätia k tomuto induktoru. Jednoducho sa môžeme presvedčiť, že pre obe zapojenia platia tie isté rovnice: L1 M L2 i1 i2 u1 u2 L1 L2 i1 i2 u1 u2 Z náhradnej schémy vyplýva ďalšia „nepríjemná“ vlastnosť tohto spôsobu: pred jeho použitím musíme zvoliť orientáciu prúdov cez jednotlivé induktory a táto orientácia musí zostať rovnaká v pôvodnej aj náhradnej schéme. Na druhej strane, touto náhradnou schémou môžeme riešiť ľubovoľné zapojenie; napr. aj prípad viacerých viazaných induktorov: i1 L1 L2 L3 i2 i3 i3 L3 M31 M23 M12 L1 i1 L2 i2 ... pokračovanie

Vzájomná indukčnosť (6/6) Náhradná schéma s indukčným T-článkom Pri použití tejto náhrady nahrádzame magnetickú väzbu dvoch induktorov pomocou troch induktorov zapojených do T-článku: L1 M L2 a) +M L1 – M L2 – M Aj v tomto prípade pôvodnú a náhradnú schému opisujú rovnaké rovnice. Na rozdiel od náhrady riadenými zdrojmi tu však nie je voľba smeru prúdov induktormi dôležitá (preto sme ich v schémach ani nevyznačili). Podstatné je niečo iné: kým v pôvodnej schéme sú svorky na ľavej a pravej strane galvanicky oddelené (nie sú prepojené vodičom), v náhradnej schéme tomu tak nie je a „dolné“ svorky sú spojené. L1 M L2 b) –M L1 + M L2 + M Od čoho teda závisí znamienko pri vzájomnej indukčnosti M? Pred samotným prekreslením schémy na T-článok musíme najskôr dve svorky spojiť. Ak spojíme svorky s rovnakým označením (referenčnou značkou), v náhradnej schéme bude v priečnom úseku +M a v zostávajúcich dvoch úsekoch –M (schéma a). Po spojení svoriek s rôznym označením budú znamienka opačné (schéma b). Tu sa dostávame k ďalšiemu obmedzeniu tejto náhradnej schémy. Na to aby sme ju mohli použiť musí byť zabezpečené, aby po spojení svoriek netiekol v prepojovacom vodiči prúd a nesmú sa zmeniť ani ostatné obvodové veličiny. Samozrejme, svorky induktorov môžu byť spojené už v pôvodnej schéme (čo je „bezproblémový“ prípad). T-článok sa však nedá sa použiť napr. v takomto zapojení: M ? ? T článok