Šestnáctková a osmičková soustava STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Šestnáctková a osmičková soustava VY_32_INOVACE_08_143 Projekt MŠMT EU peníze středním školám Název projektu školy ICT do života školy Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0771 Šablona III/2 Sada 08 Anotace Obecné vyjádření čísla, popis šestnáctkové a osmičkové soustavy Klíčová slova Vyjádření čísla, polynom, soustava šestnáctková, osmičková, základ, váha, řád, koeficienty Předmět Elektronika Autor, spoluautor Ing. Karel Filas Jazyk Čeština Druh učebního materiálu Prezentace Potřebné pomůcky PC, dataprojektor Druh interaktivity Výklad pomocí prezentace Stupeň a typ vzdělávání Střední škola Cílová skupina 4. ročník, žáci 18 – 19 let, maturitní obor Mechanik seřizovač Speciální vzdělávací potřeby Ne Zdroje Seznam viz poslední snímek 1

Vyjádření čísla v číselné soustavě STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Vyjádření čísla v číselné soustavě Číslo je abstraktní pojem. V praxi jim vyjadřujeme počet, množství nebo velikost. V různých technických zařízeních se pro zpracování nebo pro přenos převede číselný údaj do tzv. unitárního kódu tím, že se číslo vyjádří počtem po sobě jdoucích impulsů. Každé přirozené číslo N lze zapsat pomocí polynomu ve tvaru kde N je číslo vyjádřené v číselné soustavě o základu z. z je základ číselné soustavy, kladné číslo větší než jedna, mocnina čísla z udává řád ai číselné koeficienty pro něž platí ai <0, 1, 2,…, z-1>. Nazýváme je číslice neboli cifry, o číslici ai říkáme, že je číslicí i-tého řádu. Označuje se také jako váha. Koeficient ai udává kolikrát příslušný řád v čísle obsažen. Nejvyšší koeficient je vždy o 1 menší než základ z (z – 1), n je počet řádových míst. Hodnota každé číslice je dána její pozicí v sekvenci symbolů. Každá číslice má touto pozicí dánu svou váhu pro výpočet celkové hodnoty čísla. 2

Nejnižší řád kladné části čísla je vždy 1, protože z0 = 1 STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Tento zápis nazýváme rozvojem čísla N v soustavě o základu z. Číslo N běžně píšeme pouze pomocí koeficietů ai seřazených od nejvyššího řádu zleva doprava. Tento zápis nazýváme pozičním zápisem přirozeného čísla N v soustavě o základu z. Označení poziční znamená, že každá číslice má v zápisu čísla na jiném místě (jiné pozici) odlišný význam. Například 724 se nerovná 472. V praxi se běžně používá soustava o základu deset (desítková, decimální). Tehdy v zápisu čísla nepoužíváme ani označení základu z. Ve výpočetní a číslicové technice, v elektronice apod. používáme ještě soustavy o základu dva (dvojková, binární), šestnáct (šestnáctková, hexadecimální) a někdy i osm (osmičková, oktalová). Pomocí polynomu lze samozřejmě vyjádřit i číslo reálné, tedy včetně desetinných míst. desetinná část Nejnižší řád kladné části čísla je vždy 1, protože z0 = 1 3

Šestnáctková (hexadecimální) číselná soustava STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Šestnáctková (hexadecimální) číselná soustava Základ soustavy z = 16, nejvyšší koeficient: z – 1 = 15 Počet číslic (koeficientů) ai = 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) Řády atd. 1048576 65536 4096 256 16 1 165 164 163 162 161 160 Řády se zapisují od nejnižšího zprava doleva (jednotky, šestnáctky, 250šestky atd.). Vyšší řád je šestnáctinásobkem řádu předchozího. Pro hodnoty 10 až 15 nestačí číslice, používají se písmena A až F. A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 4

Použití šestnáctkové soustavy STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Použití šestnáctkové soustavy Díky jednoduchému vzájemnému převodu mezi šestnáctkovou a dvojkovou soustavou (16 je čtvrtou mocnou dvojky), se šestnáctková soustava často používá v oblasti informatiky, například pro adresy v operační paměti počítače. V podstatě všechny současné počítače pracují ve dvojkové soustavě, protože je to z konstrukčního hlediska nejvýhodnější. Mnohaciferná dvojková čísla jsou však pro člověka dlouhá a nepřehledná. Proto se při programování počítačů často vyjadřují dvojková čísla a kódy v šestnáctkové soustavě, kde je počet cifer 4x menší. 5

Příklad Číslo 1AF16 vyjádřete pomocí polynomu STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Příklad Číslo 1AF16 vyjádřete pomocí polynomu Jednotlivé koeficienty ai (zde číslice 1, A, F) vynásobíme příslušnou mocninou základu číselné soustavy. Základ pro každý řád umocňujeme v pořadí zprava. První mocnitel zprava je vždy nula, protože nejnižší řád přirozeného čísla v každé číselné soustavě je vždy 1 (jednotky), protože platí z0 = 1, zde 160 = 1. 1AF16 = 1 · 162 + A · 161 + F · 160 = 1 · 256 + A · 16 + F · 1 Za koeficienty A, F dosadíme jejich hodnoty (A = 10, F = 15) 1AF16 = 1 · 162 + A · 161 + F · 160 = 1 · 256 + 10 · 16 + 15 · 1 Slovně vyjádřeno: 1 250šestka + 10 šestnáctek + 15 jednotek Vidíme, že: Sečteme-li hodnoty v polynomu, dostaneme číslo v desítkové soustavě. Číslo 1AF v šestnáctkové soustavě je 432 v desítkové soustavě. Zápis: 1AF16 = 43210 6

Osmičková (oktalová) číselná soustava STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Osmičková (oktalová) číselná soustava Základ soustavy z = 8, nejvyšší koeficient: z – 1 = 7 Počet číslic (koeficientů) ai = 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Řády atd. 32768 4096 512 64 8 1 85 84 83 82 81 80 Řády se zapisují od nejnižšího zprava doleva (jednotky, osmičky, 60čtyřky atd.). Vyšší řád je osminásobkem řádu předchozího. Použití osmičkové soustavy (je podobné jako šestnáctkové soustavy) Díky jednoduchému převodu mezi osmičkovou a dvojkovou soustavou (8 je třetí mocnou dvojky), se osmičková soustava také používá v oblasti informatiky. Při programování počítačů se někdy vyjadřují dvojková čísla a kódy kromě šestnáctkové soustavy, také v osmičkové, kde je počet cifer 3x menší. 7

Příklad Číslo 1758 vyjádřete pomocí polynomu STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Příklad Číslo 1758 vyjádřete pomocí polynomu Jednotlivé koeficienty ai (zde číslice 1, 7, 5) vynásobíme příslušnou mocninou základu číselné soustavy. Základ pro každý řád umocňujeme v pořadí zprava. První mocnitel zprava je vždy nula, protože nejnižší řád přirozeného čísla v každé číselné soustavě je vždy 1 (jednotky), protože platí z0 = 1, zde 80 = 1. 1758 = 1 · 82 + 7 · 81 + 5 · 80 = 1 · 64 + 7 · 8 + 5 · 1 Slovně vyjádřeno: 1 60čtyřka + 7 osmiček + 8 jednotek Vidíme, že: K zápisu čísla opět používáme koeficienty ai od nejnižšího řádu zprava. Sečteme-li hodnoty v polynomu, dostaneme číslo v desítkové soustavě. 175 v osmičkové soustavě je 125 v desítkové soustavě. Zapisuje se 1758 = 12510 8

Souhrn učiva, otázky k procvičení STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Souhrn učiva, otázky k procvičení Jaký je obecný zápis přirozeného čísla pomocí polynomu? Jaký je obecný zápis reálného čísla pomocí polynomu? Jaké jsou základní vlastnosti šestnáctkové soustavy? Jaký základ má šestnáctková soustava? Kolik čísel (koeficientů) má šestnáctková soustava a jaké? Kde se šestnáctková soustava používá? Jaké jsou základní vlastnosti osmičkové soustavy? Jaký základ má osmičková soustava? Kolik čísel (koeficientů) má osmičková soustava a jaké? Kde se osmičková soustava používá? Jaká je hodnota nejnižšího řádu kladné části každého čísla a proč? 9

Použité zdroje Vlastní materiály SŠST Ústí nad Labem STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Použité zdroje Vlastní materiály SŠST Ústí nad Labem KESL, Jan. Elektronika III, číslicová technika. Praha: BEN - technická literatura, 2006, ISBN 80-7300-182-9. ANTOŠOVÁ, Marcela; DAVÍDEK, Vratislav. Číslicová technika. České Budějovice: KOPP, 2008, ISBN 978-80-7232-333-3. ARENDÁŠ, Viliam. Číslicová technika. Bohumín: SOU, 2002, ISBN NEMÁ. WIKIPEDIA. Šestnáctková soustava [online]. [cit. 4.8.2013]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%A0estn%C3%A1ctkov%C3%A1_soustava WIKIPEDIA. Osmičková soustava [online]. [cit. 4.1.2014]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/Osmi%C4%8Dkov%C3%A1_soustava 10