Nerovnice Ekvivalentní úpravy - 1.

Zopakujme si nejdříve, čemu říkáme rovnice: Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou) tak, aby po jeho dosazení za proměnnou daná rovnost platila. Existuje-li takové číslo, nazývá se řešení nebo také kořen rovnice. 4 4 x + 2 Levá strana rovnice L = = = 6 Pravá strana rovnice P 6 = 6 Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby nastala rovnost? Řešením je tedy číslo . Zapíšeme: x = 4 Zdá se to být jednoduché, že? Ovšem my už víme, že rovnice nejsou vždy tak jednoduché a že u složitějších rovnic a při jejich řešení nám musí pomoci ekvivalentní úpravy.

Místo znaménka = (rovná se) se v nerovnicích objevují znaménka A nyní tedy, co je to nerovnice. Nerovnice je obdobně zápis nerovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), po jejichž dosazení za proměnnou bude daná nerovnost platit. 5 5 x + 2 Levá strana nerovnice L > > > 6 Pravá strana nerovnice P 7 > 6 Nyní se tedy naskýtá otázka. Jaké číslo můžeme dosadit do našeho příkladu za proměnnou, aby vzniklá nerovnost platila? Místo znaménka = (rovná se) se v nerovnicích objevují znaménka > (je větší než), < (je menší než),  (je větší nebo rovno) nebo  (je menší nebo rovno). Řešením může být tedy číslo . Je to jediné číslo, které můžeme dosadit? Samozřejmě, že ne. Takových čísel, která můžeme dosadit za proměnnou, aby vzniklá nerovnost platila, je mnoho, lépe řečeno nekonečně mnoho. Říkáme, že jde o množinu čísel, množinu řešení.

Ekvivalentní úpravy rovnic. Nerovnice se snažíme řešit podobně jako rovnice, to znamená pomocí ekvivalentních úprav je převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice. Zopakujme si tedy, které ekvivalentní úpravy rovnic známe. 1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. 2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. 4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). 5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly).

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Pro nerovnice tedy platí, že: Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu nerovnice a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. Jak se změní ekvivalentní úpravy při řešení nerovnic? 1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. Jak jsme si řekli již na jednom z předcházejících snímků, řešením této nerovnice by mohlo být číslo 5. x + 2 > 6 5 + 2 > 6 7 > 6 Zaměňme nyní tedy levou a pravou stranu nerovnice. 6 > x + 2 < < < 6 > 5 + 2 Opět dosaďme číslo 5 a ověřme, zda bude nerovnost platit i po provedené záměně stran. 6 > 7 Nerovnost neplatí, a tudíž ani 1. ekvivalentní úprava tak, jak jsme ji používali u rovnic, neplatí. Nerovnost by však platila, kdybychom kromě záměny levé a pravé strany nerovnice, zaměnili (otočili) i znaménko nerovnosti!

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Nyní se podívejme na 2. ekvivalentní úpravu. 2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. Opět dosadíme jedno z možných řešení, tedy číslo 5 a ověříme, zda nerovnost i po provedené úpravě platí. x + 2 > 6 / +3 Přičteme k oběma stranám nerovnice číslo 3. x + 2 + 3 > 6 + 3 5 + 2 + 3 > 6 + 3 10 > 9 V tomto případě nerovnost platí, a tudíž 2. ekvivalentní úprava platí i u nerovnic. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám nerovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Na řadě je 3. ekvivalentní úprava. 3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. Opět dosadíme jedno z možných řešení, tedy číslo 5 a ověříme, zda nerovnost i po provedené úpravě platí. x + 2 > 6 / − 3 Odečteme od obou stran nerovnice číslo 3. x + 2 − 3 > 6 − 3 5 + 2 − 3 > 6 − 3 4 > 3 V tomto případě nerovnost také platí, a tudíž 3. ekvivalentní úprava platí i u nerovnic. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže od obou stran nerovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen.

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Na závěr si tedy ještě jednou shrňme trojici prvních ekvivalentních úprav platných pro nerovnice. 1. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu nerovnice a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. 2. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám nerovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže od obou stran nerovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen.

Procvičení úpravy č. 1 x > 3 3 < x Zaměňte levou a pravou stranu nerovnice. x > 3 3 < x Při čtení zleva doprava: x je větší než 3 Při čtení zleva doprava: x je větší než 3 Při čtení zleva doprava: 3 je menší než x; Při čtení zprava doleva: x je větší než 3 Při čtení zleva doprava: 3 je menší než x; Při čtení zprava doleva: x je větší než 3 1. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu nerovnice a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti.

Procvičení úpravy č. 1 Zaměňte levou a pravou stranu nerovnice. x > − 3 7,5 < x x + 1 < 4 2 - x > 2x − 3 2 > 2.(x – 1)‏ -3.(x + 1) < (4x – 2):2

Procvičení úpravy č. 1 Zaměňte levou a pravou stranu nerovnice. x > − 3 7,5 < x − 3 < x x > 7,5 x + 1 < 4 2 - x > 2x − 3 4 > x + 1 2x − 3 < 2 - x 2 > 2.(x – 1)‏ -3.(x + 1) < (4x – 2):2 2.(x – 1) < 2 (4x – 2):2 > -3.(x + 1)

Procvičení úpravy č. 2 x – 3 > 3 x – 3 + 3 > 3 + 3 x > 6 Přičtěte k oběma stranám nerovnice stejné číslo (výraz). x – 3 > 3 x – 3 + 3 > 3 + 3 x > 6 Abychom osamostatnili proměnnou, musíme přičíst k oběma stranám nerovnice číslo 3. Tady je vidět, proč se přičítalo právě číslo 3. 2. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám nerovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen.

Procvičení úpravy č. 2 x − 3 > − 3 7,5 < x - 2 x - 5 < - 4 Přičtěte k oběma stranám nerovnice stejné číslo (výraz). x − 3 > − 3 7,5 < x - 2 x - 5 < - 4 - 2 + x > 9 - 2x > 1 – 3x - x - 3 < 2 – 2x

Procvičení úpravy č. 2 x − 3 > − 3 7,5 < x - 2 Přičtěte k oběma stranám nerovnice stejné číslo (výraz). x − 3 > − 3 7,5 < x - 2 x − 3 + 3 > − 3 + 3 7,5 + 2 < x – 2 + 2 x > 0 9,5 < x x - 5 < - 4 - 2 + x > 9 x – 5 + 5 < - 4 + 5 - 2 + x + 2 > 9 + 2 x < 1 x > 11 - 2x > 1 – 3x - x - 3 < 2 – 2x - 2x + 3x > 1 – 3x + 3x - x - 3 + 3 < 2 – 2x + 3 - x < 5 – 2x x > 1 - x + 2x < 5 – 2x + 2x x < 5

Procvičení úpravy č. 3 3x > 1 + 2x 3x – 2x > 1 + 2x – 2x Odečtěte od obou stran nerovnice stejné číslo (výraz). 3x > 1 + 2x 3x – 2x > 1 + 2x – 2x x > 1 Abychom převedli všechny členy s proměnnou na jednu stranu, musíme odečíst od obou stran nerovnice výraz 2x. Tady je vidět, proč se odečítá právě výraz 2x. 2. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže od obou stran nerovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen.

Procvičení úpravy č. 3 x + 3 > − 3 7,5 < x + 2 x + 5 < - 4 Odečtěte od obou stran nerovnice stejné číslo (výraz). x + 3 > − 3 7,5 < x + 2 x + 5 < - 4 2 + x > 9 3x > 1 + 2x 4x + 3 < 2 + 3x

Procvičení úpravy č. 3 x + 3 > − 3 7,5 < x + 2 Odečtěte od obou stran nerovnice stejné číslo (výraz). x + 3 > − 3 7,5 < x + 2 x + 3 − 3 > − 3 − 3 7,5 - 2 < x + 2 - 2 x > − 6 5,5 < x x + 5 < - 4 2 + x > 9 x + 5 - 5 < - 4 - 5 2 + x - 2 > 9 - 2 x < - 9 x > 7 3x > 1 + 2x 4x + 3 < 2 + 3x 3x - 2x > 1 + 2x - 2x 4x + 3 - 3 < 2 + 3x - 3 4x < - 1 + 3x x > 1 4x - 3x < - 1 + 3x - 3x x < - 1

Ekvivalentní úpravy nerovnic. Shrňme si tedy první trojici ekvivalentních úprav platných pro nerovnice. 1. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu nerovnice a zároveň obrátíme znaménko nerovnosti. 2. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám nerovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny nerovnice se nezmění, jestliže od obou stran nerovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen.