CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ 22. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 2 (pokr.) Navazuje na předn. č. 16 © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2016

TEORIE GRAFŮ 2. pokračování CW05 ‍۩ TEORIE GRAFŮ 2. pokračování ☺ březen 2016

další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ CW05 POKRAČOVÁNÍ další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ Březen 2016

CW05 Teorie grafů Mezi klasické problémy, které jsou řešeny pomocí aparátu teorie grafů, patří například: * úloha nalezení nejkratší cesty v grafu (odpovídá hledání trasy na mapě) * úloha nalezení minimální kostry grafu (řeší problém neuzavřených spojení) * úloha nalezení maximálního toku (hledání např. kapa-city sítě a její úzký profil) * úloha nalezení kritické cesty * úloha mazaného obchodního cestujícího. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Základní pojmy Graf je určitý útvar (systém), který je možno znázornit obrázkem v rovině pomocí bodů (uzly grafu) a spojnic mezi body (hrany grafu). konečný graf - počet uzlů je konečný nekonečný graf Březen 2009

CW05 Teorie grafů Zabýváme se pouze konečnými grafy, aniž bychom to vždy výslovně uváděli. prostý (jednoduchý) graf - graf je orientovaný Březen 2009

Tato definice odpovídá neorientovanému prostému grafu. CW05 Teorie grafů Formálně je graf uspořádaná dvojice (V, E) vrcholů a hran, kde V je nějaká množina a E množina některých dvojic prvků z V, tedy Tato definice odpovídá neorientovanému prostému grafu. Březen 2011

Základní pojmy teorie grafů CW05 Základní pojmy teorie grafů Březen 2011

CW05 Teorie grafů Neorientovaný graf je neuspořádaná trojice ve vztahu: G = ( U, V, γ ) tvořená konečnou množinou V, jejíž prvky v nazýváme uzly, konečnou množinou E, jejíž prvky e nazýváme neorientovanými hra-nami a zobrazením γ (vztah incidence), které přiřazuje každé hraně e jedno nebo dvou-prvkovou množinu uzlů. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Je-li e Є E, ζ (e) = (u, v), používá se pojmenování stavu, že u je počáteční a v koncový vrchol hrany e. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Platí d(u, v) = 0, právě když u = v. Dále d(u, v) = 1, právě když uzly u, v jsou spojeny hranou. Pro libovolné uzly u, v platí d(v, u) = d(u, v). Největší vzdálenost dvou uzlu v konečném grafu. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Běžný - hranově ohodnocený graf - hranám grafu je přirazena určitá hodnota = ohod-nocení hran (v tomto případě představuje vzdá-lenosti mezi kři-žovatkami silnic (uzly), např. v ki-lometrech. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Uzlově ohodnocený graf - charakteristiky jsou připisovány uzlům = ohodnocení uzlů (příklad postupu montáže - uzly jsou montážní operace s jejím nutným časem a hrany grafu znázorňují způsob navazování jednotlivých operací. Březen 2011

CW05 Teorie grafů - formálně: Je-li G graf, f zobrazení množiny jeho hran do množiny reálných čísel, pak uspořádaná dvo-jice (G, f) je hranově ohodnocený graf. Uzlově ohodnocený graf jako uspořádaná dvojice (G, f), kde G je graf a f zobrazení mno-žiny jeho uzlů do množiny reálných čísel. Březen 2011

CW05 Teorie grafů - formálně: Zobecněním grafu jsou hypergrafy (společ-nosti) představující systém neprázdných pod-množin množiny uzlů (místo hran spojujících dva uzly máme nějakou podmnožinu - tým). Březen 2011

CW05 Teorie grafů Rozdíl oproti grafu je v tom, že hrany hyper-grafu (hyperhrany) mohou spojovat libovolný počet vrcholů, zatímco u grafu spojují hrany vždy dva vrcholy. Březen 2011

Hyperhrana nesmí být prázdná. CW05 Teorie grafů Varianty definice Definice hypergrafu není zcela ustálená, v literatuře se objevují následující varianty: Hyperhrana nesmí být prázdná. Hypergraf nesmí obsahovat izolované vrcholy (aby duální hypergraf nesl veškerou informaci). Březen 2011

Pokud E je multimnožina, jedná se o multihypergraf. CW05 Teorie grafů Varianty definice Hypergraf nesmí obsahovat dva vrcholy obsažené ve stejných hranách (aby duální hypergraf neměl multihyperhrany). Pokud E je multimnožina, jedná se o multihypergraf. Březen 2011

kde X je množina vrcholů E je množina některých podmnožin X. CW05 Teorie grafů Varianty definice Hypergraf H je dvojice H = ( X , E ) kde X je množina vrcholů E je množina některých podmnožin X. Podmnožiny X se nazývají hyperhrany. Březen 2011

To lze stručněji zapsat tak, že E  P ( X ) CW05 Teorie grafů Varianty definice. To lze stručněji zapsat tak, že E  P ( X ) (kde P ( X ) je potenční množina X). Březen 2011

například: množina uzlů {a, b, c, d, e} CW05 Teorie grafů například: množina uzlů {a, b, c, d, e} a množina týmů {{a, b, c}, {a, d, e}, {c, d}, {e}}. Graf - diagram hypergrafu Březen 2011

například: CW05 Teorie grafů množina vrcholů X = {v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}, množina některých podmnožin E = {e1,e2,e3,e4} = {{v1,v2,v3},{v2,v3}, {v3,v5,v6},{v4}}. Graf - diagram hypergrafu Březen 2011

CW05 Teorie grafů Zobecnění zadání: graf G = (U,H, γ ), U = {w, x, y, z}, H = {a, b, c, d, e, f, g} … tabulkou – grafem i a b c d e f g γ(i) {w,x} {w,y} {w,z} {x,y} {x,z} {y,z} {z,z} zadání grafickou formou zadání grafu tabulkou Březen 2009

CW05 Teorie grafů Cesta v grafu je posloupnost orientovaných hran, při které vždy následující hrany začínají v uzlu, v němž končí předcházející hrana. Cyklus (kružnice u neorientovaného grafu) je taková cesta, která začíná a končí v témže uzlu. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Jestliže G = (U,H, γ ), G´ = (U´, H´, γ´) jsou neorientované grafy … (U´,H´, γ´ ) je podgraf grafu G, který nazýváme jeho komponentou. Graf se nazývá souvislý, má-li právě jednu komponentu; jinak se nazývá nesouvislý. Komponenty grafu jsou jeho maximální sou-vislé podgrafy. Březen 2009

nesouvislý graf se třemi komponentami CW05 Teorie grafů nesouvislý graf se třemi komponentami Orientovaný graf je silně souvislý, exis-tuje-li z každého jeho uzlu dráha do kaž-dého jiného jeho uzlu. Silně souvislý graf je ovšem vždy souvislý. Obráceně to neplatí! Březen 2009

CW05 Teorie grafů Například při určování jednosměrnosti ulic je třeba dbát na to, aby orientovaný graf sítě ulic byl silně souvislý. Bylo by jistě nemilé, kdyby se auto mohlo dostat z jednoho místa do druhého, ale už ne zpět. Březen 2009

Silně souvislý graf s pěti komponentami CW05 Teorie grafů Silně souvislý graf s pěti komponentami Souvislý, ale ne „silně souvislý graf“ Březen 2016

CW05 Teorie grafů Jestliže v souvislém grafu G existuje uzel, jehož odstraněním vznikne nesouvislý graf, tomuto uzlu říkáme artikulace grafu G. Jestliže v souvislém grafu G existuje hrana, jejímž odstraněním vznikne nesouvislý graf, této hraně říkáme most grafu G. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Most rozděluje graf na dvě části, přičemž z jedné části nelze přejít na druhou, aniž by cesta nevedla pres tento most. Obdobně je graf rozdělen i artikulací. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Existuje-li cesta z uzlu u do uzlu v v neorien-tovaném grafu G, pak vzdálenost uzlů u, v v G je délka nejkratší cesty z u do v, kterou značíme d(u, v). Délka cesty je počet jejích hran. Jestliže žádná cesta z u do v v G neexistuje, klademe d(u, v) = . Březen 2011

CW05 Teorie grafů Pro každý uzel u souvislého neorientované-ho grafu G označme e(u) největší ze vzdále-ností uzlu u od ostatních uzlu grafu G. Uzel u, pro nějž je e(u) nejmenší, se nazývá centrum grafu G. Březen 2011

tři artikulace a jeden most CW05 Teorie grafů tři artikulace a jeden most průměr a centrum grafu V grafu platí: e(u1) = e(u7) = 4, e(u2) = e(u3) = e(u5) = e(u6) = 3, e(u4) = 2, takže centrum tohoto grafu je uzel u4. Březen 2009

CW05 Teorie grafů centrum grafu Březen 2009

CW05 Teorie grafů Strom - má n uzlů, má přesně n−1 hran. Mezi každými dvěma různými uzly existuje jediná cesta. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Příklad: Ve třech domech bydlí tři sousedé. Poblíž jejich domů jsou tři studny. Každý chce mít od svého domu cesty ke všem studním. Nikdo však nechce, aby se některá jeho cesta křižovala se sousedovou. Je to možné zařídit? Březen 2009

CW05 Teorie grafů Jestliže lze graf G zobrazit v rovině tak, že jeho hrany nemají společný vnitřní bod, pak se G nazývá rovinný (planární) graf. Budeme-li zkoušet náš graf tří domů a tří studní zobrazit popsaným způsobem, nepodaří se nám to. Tento graf totiž nepatří mezi rovinné grafy. Ne každý graf je tedy rovinný a i rovinný graf lze nakreslit nerovinným způsobem. Březen 2016

CW05 Teorie grafů Na dalším obrázku je nakreslen jeden a týž graf třemi různými způsoby. Jedná se tedy o příklad navzájem izomorfních grafu. Vzhledem k třetímu způsobu zakreslení však jde o rovinný graf. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Řetěz (řetězec) je v orientovaném grafu pos-loupnost na sebe navazujících hran bez ohle-du na orientaci. Souvislý graf je graf, u kterého mezi všemi dvojicemi uzlů existuje alespoň jedna cesta. Nesouvislý graf je graf, u kterého neexistuje alespoň jedna cesta mezi všemi dvojicemi uzlů. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Strom je takový graf, který neobsahuje žádný cyklus. Podgraf původního grafu je graf, který vznikne tím, že vynecháme z grafu některé uzly a příslušné hrany těchto uzlů. Acyklický graf je graf, který neobsahuje žádný cyklus. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Ohodnocený graf (orientovaný, neorien-tovaný) je graf, ve kterém reálná funkce definovaná na množině hran přiřazuje každé hraně nějakou hodnotu (například vzdálenost, doba, energie…). Síť je graf, který je konečný, souvislý, oriento-vaný, acyklický a ohodnocený, v němž exis-tuje jeden konečný a jeden počáteční uzel. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Konečný graf má konečný počet uzlů a hran. Řezem sítě se nazývá množina všech hran, které spojují uzly množiny U1 s uzly množiny U2, kdy U1 je množina uzlů, která obsahuje počáteční uzel a všechny uzly dosažitelné z počátečního uzlu po nenasycené cestě. Mno-žina uzlů U2 je taková množina, která obsa-huje koncový uzel a všechny zbývající uzly. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Kapacita řezu je číslo, které je tvořeno souč-tem kapacit (ohodnocení) všech hran řezu. Minimální řez je řez, který má nejmenší kapacitu. Multigraf je graf, v němž mezi některou dvo-jicí uzlů existuje v jednom směru větší počet hran než jedna. Březen 2009

Smyčka Hrana, která inciduje s jedním uzlem CW05 Teorie grafů Březen 2009

Rovnoběžné hrany Inicidují se stejnými uzly. CW05 Teorie grafů Březen 2009

CW05 Teorie grafů Orientované hrany Iniciují se stejnými uzly. Je naznačen směr orientace Březen 2009

CW05 Teorie grafů Neoriento-vané hrany Iniciují se stejnými uzly. Není naznačen směr orientace Březen 2009

CW05 Teorie grafů Násobné hrany Jsou rovnoběžné hrany, které jsou buď neoriento-vané, nebo všechny sou-hlasně orientované. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Nenásobné hrany Jsou rovnoběžné hrany, které jsou buď neoriento-vané, nebo všechny orientované souhlasně. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Násobné Březen 2011

…..… Informace pokračují …… cw05 – 22 / 16-2 CW05 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… …..… cw05 – 22 / 16-2 březen 2016

CW05 …… přednášková prezentace číslo 16 je úvodní a na ni navazují čísla 22, 23 a 25 … Březen 2016