Dynamika a regulace ve fyziologických systémech

Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/ Khoo: Physiological Control Systems Analýza systémů na fyziologických příkladech http://patf-biokyb.lf1.cuni.cz/wiki/cvut/mos_materialy

Přenosové funkce a Laplaceovo zrcadlo (opakování z minulé přednášky)

výstup Přenos systému: Výstup/Vstup vstup

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Pružný vak Vnější atmosferický tlak

Nejjednodušší model mechaniky dýchání V Modelice snadné Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Pružný vak Vnější atmosferický tlak

Nejjednodušší model mechaniky dýchání

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Analytické řešení Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao ∆ 𝑃 𝐿 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 L - Inertance Setrvačnost ∆ 𝑃 𝑅 =𝑅𝑄 Odpor R- Rezistance PA ∆ 𝑃 𝐴 Po C - Kapacitance Pružný vak Vnější atmosferický tlak ∆ 𝑃 𝐶 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Analytické řešení Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao Pao Vstup ∆ 𝑃 𝐿 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 L – Inertance ∆ 𝑃 𝑅 =𝑅𝑄 R- Rezistance Výstup PA PA ∆ 𝑃 𝑣 =∆ 𝑃 𝐿 +∆ 𝑃 𝑅 +∆ 𝑃 𝐶 ∆ 𝑃 𝐴 Po ∆ 𝑃 𝐴 = ∆𝑃 𝐶 C - Kapacitance 𝑃 𝑎𝑜 − 𝑃 𝑜 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 +𝑅𝑄+ 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 ∆ 𝑃 𝑣 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 +𝑅𝑄+ 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 Vnější atmosferický tlak ∆ 𝑃 𝐶 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝑜 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 ∆ 𝑃 𝐴 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 řesení

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Přenos systému výstup vstup Nejjednodušší model mechaniky dýchání Vstup Pao Výstup PA 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 řesení ?

Logaritmické zrcadlo log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 + log (𝑏) sčítání a odečítání 𝑎 𝑏 násobení a dělení 𝑎/𝑏 Prostor obrazu 𝑎 𝑏 umocňování /odmocňování Prostor originálu 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 řesení

Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) F(𝑠) L{ } L-1{ } 𝑓(𝑡) Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 řesení ?

Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) 𝐹 1 (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } 𝐹 2 (𝑠) - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: 𝑓 1 (𝑡) L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: 𝑓 2 (𝑡) Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 řesení ?

Laplaceovo zrcadlo Příklady Wolfram Mathematica: Prostor obrazu Originál: f(t) Obraz: F(s) Jednotkový impulz: 𝛿(𝑡) 1 Jednotkový skok: 1 1 𝑠 𝑡 1 𝑠 2 𝑒 −𝑎𝑡 1 𝑠+𝑎 𝑟 𝑘 𝑘! 1 𝑠 𝑘+1 𝑟 𝑘 𝑘! 𝑒 −𝑎𝑡 1 (𝑠+𝑎) 𝑘+1 𝜔 𝑠 2 + 𝜔 2 sin 𝜔𝑡 Wolfram Mathematica: 𝑒 −𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡 𝜔 (𝑠+𝑎) 2 + 𝜔 2 In 1 = LaplaceTransform[𝑡^4 Sin[𝑡 ,𝑡,𝑠 1−𝑒 −𝑎𝑡 𝑎 𝑠(𝑠+𝑎) Out[1]= 24 1−10 𝑠 2 +5 𝑠 4 1+ 𝑠 2 5 Prostor obrazu …atd. In[2]= InverseLaplaceTransform[(24 (1−10 s2+5 s4))/(1+s^2)5,s,t] Prostor originálu Out 2 = 𝑡 4 Sin[𝑡

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Oblast komplexní proměnné (s) 𝐹 1 (s) - úloha v obraze Snadnější L{ } 𝐹 2 (𝑠) - řešení úlohy v obraze Úloha v originále: 𝑓 1 (𝑡) L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: 𝑓 2 (𝑡) Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 řesení ?

Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v obraze: 𝑃 𝐴 𝑠 = 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 (𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1) Úloha v originále: Snadnější 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 počáteční podmínky: 𝑃 𝐴 𝑡 0 =0, 𝑃 𝐴 ′ 𝑡 0 =0 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 0 =0 L{ } Řešení úlohy v obraze: 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: ????????????? 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v obraze: 𝑃 𝐴 𝑠 = 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 (𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1) Úloha v originále: Snadnější 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 počáteční podmínky: 𝑃 𝐴 𝑡 0 =0, 𝑃 𝐴 ′ 𝑡 0 =0 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 0 =0 L{ } Řešení úlohy v obraze: 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 L-1{ } Nesnadné Řešení v originále: ????????????? 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

výstup Přenos systému: Výstup/Vstup vstup

Přenosová funkce poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách

Kombinace přenosových funkcí Paralelní kombinace (prostý součet přenosů) Sériová kombinace (prostý součet přenosů)

Kombinace přenosových funkcí V záporné zpětné vazbě V zkladné zpětné vazbě

Přechodová charakteristika Odezva na jednotkový (Haevisideův) skok časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

Impulsní charakteristika odezva na jednotkový (Diracův) impuls časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

Nuly, póly, zesílení Kořeny charakteristické rovnice Jsou v čitateli nuly (-n1..-nm) Jsou ve jmenovateli póly (-p1, … -pn) Zesílení je bm/an Např. Nuly 0, 0, -2, póly 0,0, -5, -6, -2, zesílení 3

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Pao PA 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 přenos

𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴

Stejné výsledky 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1}

𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 Stejné výsledky

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový skok (Podrobnosti viz kniha) 1) Netlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O 2) Tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O R=0.5 cm H2O/L 3) Kriticky tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L 4) Přetlumená odezva C=0.1 L /cm H2O R=1 cm H2O/L

Charakteristika odezvy na impuls

Charakteristika odezvy na skok

Zpětné vazby –proporcionální, integrační a derivační

Statická analýzy fyziologických systémů Příklad Regulace srdečního výdeje

Regulace srdečního výdeje

Regulace srdečního výdeje Na konci diastoly: Na konci systoly: Systolický objem: Minutový objem: Qc>=0

Regulace srdečního výdeje Sympaticus - parasympaticus Diastolická dysfunkce

Regulace srdečního výdeje Sympaticus - parasympaticus Diastolická dysfunkce Intrapleurální tlak

Regulace srdečního výdeje Venózní návrat Mean systemic pressure Pms

Regulace srdečního výdeje Venózní návrat Mean systemic pressure Pms CV=18 CA

Regulace srdečního výdeje Uzavřená smyčka Sympatikus f Vasodilatace, RA venokonstrikce CV CA cvičení

Regulace srdečního výdeje Uzavřená smyčka Sympatikus f Vasodilatace, RA venokonstrikce CV CA CS CD Vv VA cvičení infarkt

Viz http://www. physiome

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Pao PA 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 přenos

𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴

Stejné výsledky 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1}

𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 Stejné výsledky

Budící vstup - 1 Hz Pao PA

Budící vstup - 3 Hz Pao PA

Budící vstup - 8 Hz Pao PA

Kmitočtový přenos Z Eulerova vztahu: Vstupní funkce: 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 sin 𝜔𝑡 ⁡ 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Výstup po ustálení: 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 sin 𝜔𝑡+𝜑 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝜑=𝜔 𝑡 0 𝑦 0 𝑢 0 𝜑 modul: argument: Kmitočtový přenos: H 𝑗𝜔 = 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑦 0 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜑 S 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) +j y0 𝜑=−𝜔 𝑡 0 u0 𝜔

Kmitočtový přenos S 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) +j y0 𝜑=−𝜔 𝑡 0 u0 𝜔 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 𝑡 + …+ 𝑎 1 𝑦 ′ 𝑡 + 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑚 𝑢 𝑚 𝑡 +…+ 𝑏 0 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦′ 𝑡 = 𝑗𝜔𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢′ 𝑡 = 𝑗𝜔𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦′′ 𝑡 = 𝑗𝜔 2 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢′′ 𝑡 = 𝑗𝜔 2 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 … … 𝑦 (𝑛) 𝑡 = 𝑗𝜔 𝑛 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 (𝑚) 𝑡 = 𝑗𝜔 𝑚 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 Kmitočtový přenos: = 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 H 𝑗𝜔 = 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡

Kmitočtový přenos 0 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡< ∞ Kmitočnový přenos je také: podíl Furierova obrazu výstupní veličiny systému a Furierova obrazu vstupní veličiny (při nulových počátečních podmínkách systému a vstupního signálu) Aby funkce měla Furierův obraz, musí být absolutně integrovatelná, tj.: 0 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡< ∞ H 𝑗𝜔 = 𝑌(𝑗𝜔) 𝑈(𝑗𝜔) H 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 Obrazový přenos v Laplaceově transformaci: Kmitočtový přenos systému získáme z Laplaceovy transformace formální záměnou proměnných 𝑠→𝑗𝜔: H 𝑗𝜔 =𝐻 𝑠 | 𝑠=𝑗𝜔 = 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 Takže, když např. máme k dispozici kmitočtovou funkci, můžeme její Laplaceovou transformací získat kmitočtový přenos: H 𝑗𝑤 = 0 ∞ 𝑔 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡

Amplitudo-fázová kmitočtová charakteristika ve fázové rovině 𝐺 𝑗𝜔 =𝑃 ω +𝑗𝑄 𝜔 =𝑅𝑒 𝐺 𝑗𝜔 +𝑗 𝐼𝑚 𝐺(𝑗𝜔) 𝐺 𝑗𝜔 =A ω 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) = 𝐺(𝑗𝜔) +𝑗 𝐼𝑚 𝐺(𝑗𝜔) Im Re 𝜑( 𝜔 𝑖 ) 𝐺(𝑗 𝜔 𝑖 ) 𝑃( 𝜔 𝑖 ) Q( 𝜔 𝑖 ) 𝜔=0 A ω =𝑚𝑜𝑑 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑃 2 𝜔 + 𝑄 2 (𝜔) φ ω =𝑎𝑟𝑔 𝐺 𝑗𝜔 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑄(𝜔) 𝑃(𝜔)

Pao PA 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝐻 𝜔 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 (𝑗𝜔) 2 +𝑅𝐶𝑗𝜔+1

𝐻 𝜔 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 (𝑗𝜔) 2 +𝑅𝐶𝑗𝜔+1

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Otevřená smyčka Uzavřená smyčka 𝑃 𝑎𝑜 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 𝑃 𝐴 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝑃 𝑎𝑜 + − 𝑃 𝐴 k 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao L - Inertance Setrvačnost 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 Odpor R- Rezistance 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 −𝑘 𝑃 𝐴 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 PA ∆ 𝑃 𝐴 Po C - Kapacitance Pružný vak 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+(1+𝑘) Vnější atmosferický tlak 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 Otevřená smyčka: 𝜆=1 Uzavřená smyčka: 𝜆>1

𝑃 𝑎𝑜 𝑃 𝐴 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝑃 𝑎𝑜 + − 𝑃 𝐴 k

Kmitočtové charakteristiky v logaritmických souřadnicích 𝐻 𝑗𝜔 =𝐴(𝜔) 𝑒 𝑖𝜑(𝜔) ln H 𝑗𝜔 = ln 𝐴 𝜔 +𝑗𝜑 𝜔 = ln 𝐻(𝑗𝜔) +𝑗 arg 𝐻(𝑗𝜔) Logaritmická amplitudová charakteristika: ln 𝐻(𝑗𝜔) Logaritmická fázová charakteristika: 𝜑 𝜔 =𝑓(𝜔) (osa kmitočtu má logaritmické měřítko) Ve skutečnosti se užívá dekadický logaritmus pro osu úhlového kmitočtu 𝜔, tj. 𝑙𝑜𝑔 10 𝜔 A na osu pořadnic amplitudové charakteristiky se vynáší absolutní hodnota kmitočtového přenosu v decibelech: 𝐴 𝑑𝐵 = 𝐻 (𝑗𝜔) | 𝑑𝐵 =20 𝑙𝑜𝑔 10 𝐻 (𝑗𝜔) Výhoda: násobení přenosů v logaritmických souřadnicích přechází na sčítání.

Frekvenční analýza modelů fyziologických systémů

Frekvenční analýza modelů fyziologických systémů

Frekvenční analýza modelů fyziologických systémů

Nyquistovy diagramy Viz: Khoo: Physiological Control Systems Analýza systémů na fyziologických příkladech http://patf-biokyb.lf1.cuni.cz/wiki/cvut/mos_materialy http://www.uamt.feec.vutbr.cz/~richter/vyuka/0809_BRR1/texty/brr1.pdf

Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

Rychlost tvorby Rychlost zániku Počet neutrofilů Počet neutrofilů

Struktura regulačního systému Minutový objem srdeční Q Arteriální krevní tlak Part Srdce Q = Vs/T Mechanika oběhového systému Doba srdeční periody T Systolický objem Vs Td – dopravní zpoždění baroreflex

Trajektorie ultrastabilního systému

K čemu velké integrativní modely

The core embryonic stem cell transcriptional circuit