Řešení rovnic Lineární rovnice 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. 1

Rovnice s jednou neznámou: Rovnice s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výrazů, zjednodušeně L(x) = P(x), kde x je z daného číselného oboru. Levá strana rovnosti. Pravá strana rovnosti. 2

Označujeme je jako neznámé (proměnné). Rovnice s jednou neznámou: V zápisu rovností výrazů na levé straně rovnice a výrazu na pravé straně rovnice se mohou vyskytovat písmena x, y, z apod. Označujeme je jako neznámé (proměnné). Hlavním úkolem (řešením rovnice) je nalézt takové hodnoty příslušné neznámé (proměnné), pro které bude rovnost splněna. 3

Kořen (řešení) rovnice: Kořenem (řešením) rovnice jsou takové hodnoty z definovaného číselného oboru rovnice, pro něž dostaneme platnou rovnost. Někdy říkáme, že číslo, které je řešením rovnice, této rovnici vyhovuje nebo že ji splňuje. Ukážeme si to na příkladu. Mějme rovnici: Číslo x = 8 je kořenem (řešením), protože po jeho dosazení do rovnice získáme platnou rovnost. Číslo x = 5 není kořenem (řešením), protože po jeho dosazení do rovnice nezískáme platnou rovnost. Hlavním úkolem při řešení rovnic je tedy použití různých přípustných metod, s jejichž pomocí najdeme všechny kořeny dané rovnice. V zadání většiny úloh se slovo všechny zpravidla vynechává! Nic to však nemění na tom, že musíme skutečně vždy najít všechny kořeny! 4

Řešení rovnic: Řešit rovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty neznámé (proměnné) z daného číselného oboru, pro které platí ten uvedený vztah, který byl zadán. Provedení zkoušky doporučuji provádět vždy. Velmi jednoduše se přesvědčíte, zda jste se nedopustili nějaké chyby, například numerické. V případě použití důsledkových úprav, nejčastěji umocnění rovnice, je provedení zkoušky nezbytně nutné. (Ale o úpravách důsledkových až později. Nejdříve se budeme věnovat úpravám ekvivalentním.). 5

Princip řešení rovnic ‒ hledání kořenů rovnice: Hledání kořenů rovnice je proces, při kterém místo dané rovnice píšeme nové rovnice, většinou takové, které mají stejná řešení jako rovnice původní. O takové nové rovnici řekneme, že je s tou naší původní rovnicí ekvivalentní. Úpravy, které budeme provádět s příslušnou rovnicí, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy rovnice, při nichž žádný kořen neztratíme, a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní rovnice a nové rovnice jsou si vždy po celou dobu řešení rovny. 6

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: 1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven v celém definičním oboru řešení rovnice. Jinak řečeno to znamená, že upravíme (zjednodušíme) obě strany rovnice samostatně pomocí provedení možných početních operací a úprav. 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 7

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. Naše rovnice má na levé straně jeden člen a na pravé straně členy dva. Všechny tři je tedy musíme vynásobit číslem 8. 8

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven v celém definičním oboru řešení rovnice. Jinak řečeno to znamená, že upravíme (zjednodušíme) obě strany rovnice samostatně pomocí provedení možných početních operací a úprav. 9

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven v celém definičním oboru řešení rovnice. Jinak řečeno to znamená, že upravíme (zjednodušíme) obě strany rovnice samostatně pomocí provedení možných početních operací a úprav. 10

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven v celém definičním oboru řešení rovnice. Jinak řečeno to znamená, že upravíme (zjednodušíme) obě strany rovnice samostatně pomocí provedení možných početních operací a úprav. 11

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: Použití všech úprav si ukážeme v praxi při řešení následující rovnice: 1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. Zkouška: 12

Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor: Na jednom z předcházejících snímků jsem upozorňoval na častou chybu při použití ekvivalentní úpravy: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Další častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá i to, že naopak vynásobíme i „něco“ navíc. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. Ukázka chybného použití: Trojkou jsem roznásobil chybně oba členy součinu, tzn. jak zlomek před závorkou, tak i závorku. Chceme-li však násobit součin dalším číslem (výrazem), můžeme tímto číslem (výrazem) vynásobit jen jednoho čitatele daného součinu. Abychom se této chyby vyvarovali, dáváme často před odstraňováním zlomků násobením rovnice přednost odstranění závorek jejich roznásobením na základě uskutečnění ekvivalentní úpravy číslo 2. 13

Na co si při použití ekvivalentních úprav dávat pozor: Na jednom z předcházejících snímků jsem upozorňoval na častou chybu při použití ekvivalentní úpravy: 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly. Další častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá i to, že naopak vynásobíme i „něco“ navíc. Velmi častou chybou při této ekvivalentní úpravě bývá to, že nevynásobíme všechny členy rovnice. A ještě jedna obvyklá chyba se při použití úpravy číslo 4 objevuje. Je jí dělení rovnice, jakési „krácení“ rovnice, výrazem s proměnnou. Ukázka chybného použití: Z uvedeného řešení by se mohlo zdát, že množina kořenů rovnice je pouze jednoprvková. Snadno však dosazením do rovnice zjistíme, že je dvouprvková K = {-2; 2}. Uvedené dělení bychom v postupu řešení mohli použít jen, pokud by se x  2. V našem případě je však číslo 2 jedním z kořenů rovnice a my jsme se jen při řešení „zbavili“. Neurčili bychom tedy kořeny všechny, a to je špatně! 14

ax + b = 0, a, b R, a  0 ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0 Základní druhy rovnic s jednou neznámou: Seznámíme se nyní s trojicí základních typů rovnic s jednou neznámou, jejichž řešení se budeme věnovat. Lineární rovnice, tzn. rovnice, které povolenými úpravami můžeme „dostat“ do tvaru: ax + b = 0, a, b R, a  0 Kvadratické rovnice, tzn. rovnice, které povolenými úpravami můžeme „dostat“ do tvaru: ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0 Iracionální rovnice, tzn. rovnice, které obsahují odmocniny z neznámé nebo z výrazů s neznámou. 15

Pojďme si je tedy postupně jednu po druhé vyřešit. Lineární rovnice: Ještě jednou tedy, čemu říkáme lineární rovnice? Lineární rovnicí s neznámou x, se nazývá rovnice typu: ax + b = 0, a, b R, a  0 Jak vyplývá již z předchozího snímku, často se ovšem jako lineární nazývají i jiné rovnice, a to proto, že je můžeme snadno povolenými úpravami převést na uvedenou rovnici typu ax + b = 0. Ukážeme si to na následujících třech příkladech, na kterých si zároveň předvedeme i tři existující varianty možných řešení lineárních rovnic: Pojďme si je tedy postupně jednu po druhé vyřešit. Jistě se mnou budete souhlasit, že na první pohled vypadají velmi podobně a žádný podstatný rozdíl mezi nimi neuvidíte. 16

Lineární rovnice ‒ 1. varianta řešení: Řešte v R rovnici: Ekvivalentní úprava č. 2: Roznásobíme závorky a následně obě strany rovnice zjednodušíme. Ekvivalentní úprava č. 3: K oběma stranám přičteme či odečteme stejné číslo nebo výraz. Ekvivalentní úprava č. 4: Obě strany rovnice vynásobíme či vydělíme stejným číslem nebo výrazem různým od nuly. 17

Řešením je jedno reálné číslo! Lineární rovnice ‒ 1. varianta řešení: Řešte v R rovnici: Řešením je jedno reálné číslo! 18

Lineární rovnice ‒ 2. varianta řešení: Řešte v R rovnici: Ekvivalentní úprava č. 2: Roznásobíme závorky a následně obě strany rovnice zjednodušíme. Ekvivalentní úprava č. 3: K oběma stranám přičteme či odečteme stejné číslo nebo výraz. 19

Řešením je prázdná množina, tedy rovnice nemá řešení! Lineární rovnice ‒ 2. varianta řešení: Řešte v R rovnici: Nenajdeme žádné takové číslo, které po vynásobení nulou bude rovno sedmi. Množina kořenů je tedy prázdná. Řešením je prázdná množina, tedy rovnice nemá řešení! 20

Lineární rovnice ‒ 3. varianta řešení: Řešte v R rovnici: Ekvivalentní úprava č. 2: Roznásobíme závorky a následně obě strany rovnice zjednodušíme. Ekvivalentní úprava č. 3: K oběma stranám přičteme či odečteme stejné číslo nebo výraz. 21

Řešením je každé reálné číslo, tedy nekonečně mnoho řešení! Lineární rovnice ‒ 3. varianta řešení: Řešte v R rovnici: Vynásobíme-li libovolné reálné číslo nulou, dostaneme vždy nulu. Řešením je tedy každé reálné číslo, tedy x(-; ). Řešením je každé reálné číslo, tedy nekonečně mnoho řešení! 22

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 23

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 24

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 25

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: Zkouška: 26

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 27

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: Ověření: 28

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 29

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: Zkouška: 30

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 31

Lineární rovnice ‒ Příklady k procvičení: Řešte v R rovnici: 32

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html> 33