Množina bodů dané vlastnosti Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžných přímek. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

Množina bodů dané vlastnosti Budeme se zabývat množinami (skupinami) bodů, které spojuje nějaká společná vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatří.

Množina bodů dané vlastnosti Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G. Co říkáte? Že tomu nerozumíte? Ano. Vypadá to složitě jako většina nejen matematických definicí. Ve skutečnosti v tom však nic složitého hledat nemusíte. Však uvidíte sami na konkrétních základních množinách bodů dané vlastnosti, o nichž se postupně budeme učit.

Množina bodů dané vlastnosti Pokusíme si však problematiku množin bodů dané vlastnosti nejprve osvětlit na příkladu, který s geometrií vůbec nesouvisí.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech celých čísel. Tzn. že máme čísla: … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … Př. 1: Zapište množinu (skupinu) všech nezáporných celých čísel. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují danou podmínku: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou nezáporná.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech množinu (skupinu) všech nezáporných celých čísel. Tzn. že máme čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých kladných čísel. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují danou podmínku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou kladná.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu (skupinu) všech celých kladných čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých kladných čísel menších než devět. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících dvě zadané podmínky (mající dvě dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu (skupinu) všech celých kladných čísel menších než devět. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých sudých kladných čísel menších než devět. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 2, 4, 6, 8 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících tři zadané podmínky (mající tři dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9 3) jsou sudá. Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku číslem 2.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech celých sudých kladných čísel menších než devět. Tzn. že máme čísla: 2, 4, 6, 8 Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých sudých kladných čísel menších než devět, která jsou prvočísly. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 2 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících čtyři zadané podmínky (mající čtyři dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9 3) jsou sudá 4) jsou prvočísla. Čísla dělitelná beze zbytku jen jedničkou a samy sebou.

Množina bodů dané vlastnosti Doufám, že už jste pojem množina prvků (čísel) dané vlastnosti dostatečně dobře pochopili, a proto již přejdeme ke konkrétním v geometrii nejčastěji používaným množinám bodů dané vlastnosti.

Množina bodů dané vlastnosti Tak nejprve k čemu nám znalost množin bodů dané vlastnosti bude. Při řešení konstrukčních úloh vždy hledáme dvě i více množin, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy a každý společný bod (průnik) hledaných množin pak vede k řešení úlohy samotné.

Množina bodů dané vlastnosti Tak a teď už se podívejte na následující snímek. Jsou na něm dvě různoběžky s průsečíkem V, dvěma vedlejšími úhly ,  a jejich osy. Na jedné z nich je navíc bod A. Obrázek si dobře prohlédněte a odpovězte na následující otázky.

Množina bodů dané vlastnosti 1) Co udělá osa úhlu o1 s úhlem ? Rozdělí jej na dva shodné úhly o velikosti 1/2. Do obrázku jsem dorýsoval dvě kolmice spuštěné na zadané různoběžky z bodu A. V průsečících těchto kolmic se zadanými různoběžkami vznikají body Y a Z.

Množina bodů dané vlastnosti 2) Co můžeme říci o trojúhelnících VAY a AVZ? Jsou to shodné trojúhelníky. 3) Na základě které věty o shodnosti trojúhelníků si do dovolíme tvrdit? Věty uuu, to znamená, že se trojúhelníky shodují ve všech třech vnitřních úhlech.

Množina bodů dané vlastnosti Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou dvojicích úhlů, musí se vzhledem k vždy platícímu součtu všech tří vnitřních úhlů 180°, shodovat i ve dvojici třetí. Tyto dva jsou pravé, neboť vznikly při rýsování kolmic k zadaným různoběžkám. Jsou tedy také shodné. Tyto dva úhly jsou shodné, neboť vznikly rozdělením úhlu  jeho osou na dva shodné úhly o velikosti 1/2.

Množina bodů dané vlastnosti 4) Co platí pro vzdálenost bodu A od různoběžek p a q (ramen úhlu )? Je shodná, protože shodné trojúhelníky nemají shodné jen odpovídající si dvojice vnitřních úhlů, ale mají shodné i všechny tři dvojice odpovídajících si stran. Platí tedy: |AY| = |AZ|

Množina bodů dané vlastnosti 5) Dokážeme tedy již na základě uvedených zjištění říci, co to vlastně osa úhlu je? Jakou množinu bodů tvoří. Jakou vlastnost tyto body mají? Osy úhlů s rameny na různoběžkách p, q a s vrcholem v jejich průsečíku V tvoří množinu všech bodů, které mají od různoběžek p, q stejnou vzdálenost.

Množina bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů, které mají od dvou různoběžných přímek stejnou vzdálenost, jsou osy úhlů vymezených těmito přímkami.

Množina bodů dané vlastnosti Dokažme si to ještě párkrát i měřením. |AG| = |AH|

Množina bodů dané vlastnosti Dokažme si to ještě párkrát i měřením. |CI| = |CJ|

Množina bodů dané vlastnosti Dokažme si to ještě párkrát i měřením. |BK| =|BL|

Konstrukce osy úhlu - opakování. Zápis a konstrukce osy úhlu: 1. Je dán úhel AVB 5. l; l(C; r = |CD|) 2. k; k(V; r) 6. m; m(D; r = |CD|) 3. C; C  k  VA 7. E; E  l  m 4. D; D  k  VB 8. o; o = VE B m o k D E l C V A

Osa úhlu Konstrukce osy úhlu ještě jednou krok za krokem.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímek: 1) p a q; 2) q a r; 3) p a r

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímek: 1) p a q; 2) q a r; 3) p a r

Př.: Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC. Užití „množin bodů“ v konstrukčních úlohách. Př.: Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC. Naším úkolem je takovou kružnici dotýkající se tří stran narýsovat. Co je tedy množinou středů kružnic dotýkajících se zároveň stran AB, BC i CA, tedy všech stran trojúhelníku? Jaký závěr z toho pro nás tedy plyne? Nejdříve si ten úkol ale zjednodušíme. Jak bychom narýsovali kružnici dotýkající se jen dvou stran (dvou různoběžek) AB a CA? Je to průsečík os úhlů trojúhelníku. Nyní si totéž zopakujme se stranami BC a CA. Platí totéž i pro osu třetího úhlu ABC? Představme si kružnici, která se dotýká stran BC a CA. Středem kružnice trojúhelníku vepsané je průsečík os úhlů tohoto trojúhelníku. Ano, platí. Představme si takovou kružnici. A jaký poloměr bude mít kružnice vepsaná? A představme si i další takové kružnice. A představme si i další takové kružnice. Poloměrem pak kolmá vzdálenost průsečíku os úhlů a kterékoliv strany trojúhelníku. Co je množinou středů všech kružnic, dotýkajících se stran AB a CA? Co je množinou středů všech těchto kružnic, dotýkajících se stran BC a CA? Poloměr kružnice vepsané trojúhelníku je roven kolmé vzdálenosti průsečíku os úhlů (středu kružnice) a kterékoliv strany trojúhelníku. Je to přímka – osa úhlu CAB Je to opět přímka – osa úhlu BCA.

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Př.: Sestrojte kružnici vepsanou danému trojúhelníku ABC. Náčrt a rozbor: Osa úhlu ABC, tzn. množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od stran a a c. p o2 Osa úhlu CAB, tzn. množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od stran b a c. k o1 S Průsečík narýsovaných množin bodů (os úhlů) má stejnou vzdálenost od všech tří stran a, b, c, tzn. že je středem hledané kružnice. r X

Zápis a konstrukce: A B C p S o2 k o1 1. ABC (sss) 5. p; p  AB  S  p 2. o1; o1 je osa úhlu CAB 6. X; X  p  AB 3. o2; o2 je osa úhlu ABC 7. k; k(S; r = |SX|) 4. S; S  o1  o2 A B C p o2 k o1 S X

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, jestliže: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 6 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku OPQ, jestliže: o = 4 cm, p = 5 cm, q = 4 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku XYZ, jestliže: x = 55 mm, y = 8 cm, z = 60 mm

Tak přesnou ruku při rýsování!