Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Název školy Střední škola elektrostavební a dřevozpracující, Frýdek-Místek, příspěvková organizace Adresa školy Pionýrů 2069, 73801 Frýdek-Místek IČ 13644301 Název operačního programu OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0149 Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_13_39VavM-19 Název tematické oblasti (sady) Matematika Název vzdělávacího materiálu Kosinová věta Druh učebního materiálu prezentace Anotace Tento výukový materiál obsahuje slovní úlohy zamřené na řešení trojúhelníku pomocí Kosinové věty Klíčová slova Trojúhelník, Kosinová věta Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Maturitní obory typu L, M Ročník I., III. Typická věková skupina 17 - 21 let Speciální vzdělávací potřeby PC, dataprojektor Autor Mgr. Michal Vávra Zhotoveno, (datum/období) 1. 6. 2012 - 31. 8. 2012 Celková velikost 0,3 MB Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michal Vávra. Dostupné z portálu www.ssed-fm.cz

Autor: Mgr. Michal Vávra Kosinová věta Autor: Mgr. Michal Vávra

Obsah 1) Kosinová věta 2) Řešená úloha 3) Zadání úloh 4) Návody k řešení 5) Řešení úloh

Kosinová věta Pro každý trojúhelník ABC, jehož strany mají délku a, b, c a vnitřní úhly velikosti α, β, γ, platí: a2 = b2 + c2 -2bc cosα b2 = a2 + c2 -2ac cosβ c2 = a2 + b2 -2ab cos γ Sinová věta platí pro obecný trojúhelník. Používá se v případě, že známe velikost všech tří stran nebo velikost dvou stran a úhlu jimi sevřeného.

Řešená úloha Pod jakým zorným úhlem vidí návštěvník parku 35 m vysokou sekvoji, je-li pata a vrchol sekvoje vzdálena od očí pozorovatele 42 m a 75 m? Pro výpočet zorného úhlu použijeme Kosinovu větu – ze vzorce si vyjádříme kosinus úhlu a z něj určíme hledaný úhel. a = 35 m, b = 42 m, c = 75 m, α = ?

Úlohy Př.2 Dva muži plavou od bóje dvěma různými směry tak, že jejich dráhy svírají úhel 38°. Jak daleko budou od sebe vzdáleni za 30 minut, plavou-li rychlostí 2,5 km/h a 2,6 km/h? [830 m] Př.3 Určete velikost nejmenšího úhlu v trojúhelníku o stranách 12 cm, 15 cm a 25 cm. [19°43´] Př.4 Štít střechy má tvar trojúhelníku. Základna je široká 7 m, delší strana střechy svírá se základnou úhel 42° a štít střechy má obsah 11,7 m2. Určete zbývající rozměry střechy. [5 m, 4,7 m]

Návody k řešení Př. 2 Nejprve určíme dráhu, kterou muži uplavou za 30 minut. Kosinovou poté určíme jejich vzdálenost. Př. 3 Nejmenší úhel daného trojúhelníku leží proti nejmenší straně, kterou je např. strana a. Z Kosinovy věty si vyjádříme úhel α a následně jej vypočteme. Př. 4 Pro výpočet jedné z hledaných stran použijeme vzorec pro obsah trojúhelníku pomocí goniometrických funkcí. Druhou stranu vypočteme pomocí Kosinovy věty. .

Řešení př. 2 1. Plavec uplave za 30 minut dráhu: 2,5 km : 2 = 1,25 km

Řešení př. 3 a = 12 cm, b = 15 cm, c = 25 cm, α = ?

Řešení př. 4 c = 7 m, β = 42°, S = 11,7 m2, a = ?, b = ?

Odkazy: POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 5. vydání. PRAHA: SPN, 1991. ISBN 80-04-22885-2 JIRÁSEK, František a kol. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU 1.část. 2.vydání.Praha : SPN,1986.