Matematika 3 – Statistika Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Co je náhodná veličina? Náhodná veličina je číselná veličina, která mění své hodnoty v závislosti na náhodě. Je to číselná charakteristika náhodného pokusu. Příklady: Součet čísel při hodu dvěma kostkami. Počet líců při hodu deseti mincemi. Počet požadavků na zobrazení určité webovské stránky během určitého časového intervalu. Velikost síly, při které dojde k destrukci při zkoušce pevnosti. Doba životnosti určitého přístroje. Okamžitý průtok určité řeky. Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní nebo spojitá veličina? Náhodná veličina je diskrétní, má-li konečný nebo nekonečný ale spočetný obor hodnot. Její možné hodnoty se dají očíslovat přirozenými čísly; často (ale ne nutně) jsou hodnotami diskrétní veličiny přímo přirozená čísla. Viz příklady 1-3 na předchozí straně. Náhodná veličina je spojitá, může-li teoreticky nabývat libovolné hodnoty z určitého intervalu (omezeného nebo i neomezeného). Její hodnoty jsou často desetinná čísla. Viz příklady 4-6 na předchozí straně. Spojitými veličinami se budeme zabývat v následující kapitole. Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Rozdělením diskrétní náhodné veličiny 𝑋 rozumíme výčet všech jejích možných hodnot 𝑥 𝑖 spolu s odpovídajícími pravděpodobnostmi 𝑝 𝑖 =𝑃(𝑋= 𝑥 𝑖 ). Příklad 4.1 Určeme pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny 𝑋, která označuje počet líců ve třech hodech symetrickou mincí. Řešení: Příklad 4.2, otázka a) na osobní stránce. 𝑥 𝑖 1 2 3 𝑝 𝑖 0.125 0.375 Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny kde 𝑥 𝑖 jsou všechny možné hodnoty veličiny 𝑋 a 𝑝 𝑖 =𝑃(𝑋= 𝑥 𝑖 ) jsou jejich pravděpodobnosti. Střední hodnota je nejčastěji používanou charakteristikou polohy veličiny 𝑋, je to hodnota, ke které konverguje aritmetický průměr neomezeně se zvětšujícího počtu nezávislých pozorování veličiny 𝑋. Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Rozptyl a směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny Rozptyl diskrétní náhodné veličiny 𝑋: Var 𝑋= 𝑥 𝑖 −E 𝑋 2 ∙ 𝑝 𝑖 = 𝑥 𝑖 2 ∙ 𝑝 𝑖 − E 𝑋 2 Směrodatná odchylka náhodné veličiny 𝑋: sd 𝑋= Var 𝑋 Rozptyl a směrodatná odchylka jsou nejčastěji používané charakteristiky variability veličiny 𝑋, vyjadřují míru kolísání hodnot této veličiny kolem dlouhodobého průměru. Jsou-li hodnoty veličiny 𝑋 dány v určitých jednotkách (např. MPa, Kč, kg, …), pak E 𝑋 a sd 𝑋 mohou být vyjádřeny ve stejných jednotkách. Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny - příklady Zpět k Příkladu 4.1 (str. 4): Vypočtěte střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku veličiny 𝑋. Řešení: E 𝑋=1.5, Var 𝑋=0.75, sd 𝑋 = 0.866 Příklad 4.2, otázka b) na osobní stránce. Příklad 4.3 na osobní stránce. Řešení je též na osobní stránce. Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Binomické rozdělení Setkáváme se s ním v následující situaci: 𝑛 krát nezávisle opakujeme určitý náhodný pokus za nezměněných podmínek, při každém opakování zjišťujeme, zda nastal určitý náhodný jev 𝐴 (tzv. úspěch). Pravděpodobnost úspěchu 𝑃(𝐴) je stejná při každém opakování pokusu a je rovna číslu 𝑝. Náhodná veličina 𝑋, která označuje počet úspěchů (tj. počet výskytů jevu 𝐴) v sérii 𝑛 opakování má potom binomické rozdělení s parametry 𝑛 a 𝑝. Její obor hodnot je množina 0, 1, ⋯, 𝑛 a platí vzorec: 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 (1−𝑝) 𝑛−𝑘 pro všechna 0≤𝑘≤𝑛. Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Binomické rozdělení (pokračování) Má-li náhodná veličina 𝑋 binomické rozdělení s parametry 𝑛 a 𝑝, potom platí: E 𝑋=𝑛𝑝, Var 𝑋=𝑛𝑝(1−𝑝) Zpět k Příkladu 4.1 (str. 4 a 7): Jakým rozdělením se řídí veličina 𝑋 z tohoto příkladu? Ověřte již provedené výpočty střední hodnoty, rozptylu a směrodatné odchylky pomocí vzorců pro binomické rozdělení. Příklad 4.4 Hodíme osmnáctkrát kostkou. S jakou pravděpodobností padnou právě tři šestky, padnou alespoň tři šestky? Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Binomické rozdělení (pokračování) Řešení příkladu 4.4: Náhodná veličina 𝑋 označující počet šestek v 18 hodech kostkou se řídí binomickým rozdělením s parametry 𝑛=18 a 𝑝= 1 6 . Ad a) 𝑃 𝑋=3 = 18 3 1 6 3 ( 5 6 ) 15 =816∙ 1 6 3 5 6 15 = 0.2452 Ad b) 𝑃 𝑋≥3 =1−𝑃 𝑋=0 −𝑃 𝑋=1 −𝑃 𝑋=2 , přičemž 𝑃 𝑋=0 = 18 0 1 6 0 ( 5 6 ) 18 = 0.03756, 𝑃 𝑋=1 = 18 1 1 6 1 ( 5 6 ) 17 = 0.13522, 𝑃 𝑋=2 = 18 2 1 6 2 ( 5 6 ) 16 = 0.22987, tedy 𝑃 𝑋≥3 = 0.5973 Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina

Binomické rozdělení (pokračování) Příklad 4.5: S jakou pravděpodobností nám v sudém počtu hodů symetrickou mincí padne stejný počet líců jako rubů? Vyjádřeme tuto pravděpodobnost v závislosti na celkovém počtu hodů 𝑛. Řešení: 𝑃 𝑋= 𝑛 2 = 𝑛 𝑛 2 ∙ 1 2 𝑛 2 ∙ 1 2 𝑛 2 = 𝑛! 𝑛 2 ! 2 ∙ 1 2 𝑛 Poznámka: Uveďme pro zajímavost, jak se tato pravděpodobnost mění s rostoucím počtem hodů 𝑛: Příklad 4.6 na osobní stránce. Řešení je též na osobní stránce. 𝑛 10 100 1000 10 000 100 000 𝑃(𝑛) 0.2461 0.0796 0.0252 0.0078 0.0025 Kapitola 4: Diskrétní náhodná veličina