Interpolace funkčních závislostí V experimentu měníme hodnotu jedné nebo několika veličin xi a studujeme závislost veličiny y. - např. měníme , ostatní xi bereme jako parametry (a, b, g, ...): Chceme posoudit platnost závislosti y na xi z výsledků experimentu. → tj. chceme získat odhady parametrů např. pro N hodnot jsme naměřili N hodnot Předpokládáme, že známe funkční závislost f a že přesnost nastavení hodnot veličiny x je řádově větší, než přesnost měření závisle proměnné y (která má obecně pro každý bod jinou dispersi). ... teoretická závislost (fyzikální zákon)
Metoda nejmenších čtverců Metoda početní interpolace. Používá se pro získání odhadů parametrů : 1) Zkonstruujeme veličinu 2) Hledáme minimum c2(a,b,g,...). x 1 2 3 4 5 6 7 y 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
Metoda nejmenších čtverců - lineární fit lineární fit, y = mx minimalizace c2: disperze m: problém: co když neznáme x 5 10 15 20 y -10 30 40 50 60 m = 2.48 0.03
Metoda nejmenších čtverců - lineární fit Pokud jsou neznámé, ale stejné, potom Pro neznámou disperzi pak lze spočítat odhad: ozn. - nevychýlený odhad: Odhad disperze m je tedy: ... minimální suma čtverců odchylek
Fitování Konstrukce křivky (funkce), která co nejlépe odpovídá naměřeným hodnotám. - může podléhat dodatečným podmínkám Lineární vs. nelineární regrese Interpolace a vyhlazování (spline) Regresní analýza a extrapolace Softwarové nástroje - Excel, Origin, Sigmaplot, ... - gnuplot, Octave, R, ... metoda největšího spádu Gaussova-Newtonova metoda algoritmus Levenberg–Marquardt simplex
c2-test kvality fitu k = 20
c2-test kvality fitu k = 20 N = 2, k-N = 18 c2 = 22.00433 c2 / (k-N) = 1.22246 R = 0.95264 R2 = 0.90752 adj. R2 = 0.90239
c2-test kvality fitu k = 20 N = 2, k-N = 18 c2 = 22.00433 c2 / (k-N) = 1.22246 R = 0.95264 R2 = 0.90752 adj. R2 = 0.90239 N = 3, k-N = 17 c2 = 3.55677 c2 / (k-N) = 0.20922 R = 0.99502 R2 = 0.99007 adj. R2 = 0.9889
c2-test kvality fitu k = 20 N = 2, k-N = 18 c2 = 22.00433 c2 / (k-N) = 1.22246 R = 0.95264 R2 = 0.90752 adj. R2 = 0.90239 N = 3, k-N = 17 c2 = 3.55677 c2 / (k-N) = 0.20922 R = 0.99502 R2 = 0.99007 adj. R2 = 0.9889 N = 4, k-N = 16 c2 = 3.08821 c2 / (k-N) = 0.19301 R = 0.99568 R2 = 0.99138 adj. R2 = 0.98976
c2-test kvality fitu k = 20 N = 2, k-N = 18 c2 = 22.00433 c2 / (k-N) = 1.22246 R = 0.95264 R2 = 0.90752 adj. R2 = 0.90239 N = 3, k-N = 17 c2 = 3.55677 c2 / (k-N) = 0.20922 R = 0.99502 R2 = 0.99007 adj. R2 = 0.9889 N = 4, k-N = 16 c2 = 3.08821 c2 / (k-N) = 0.19301 R = 0.99568 R2 = 0.99138 adj. R2 = 0.98976 N = 7, k-N = 13 c2 = 1.63299 c2 / (k-N) = 0.12561 R = 0.99544 R2 = 0.99544 adj. R2 = 0.99334
c2-test kvality fitu k = 20 N = 2, k-N = 18 c2 = 22.00433 c2 / (k-N) = 1.22246 R = 0.95264 R2 = 0.90752 adj. R2 = 0.90239 N = 3, k-N = 17 c2 = 3.55677 c2 / (k-N) = 0.20922 R = 0.99502 R2 = 0.99007 adj. R2 = 0.9889 N = 4, k-N = 16 c2 = 3.08821 c2 / (k-N) = 0.19301 R = 0.99568 R2 = 0.99138 adj. R2 = 0.98976 N = 7, k-N = 13 c2 = 1.63299 c2 / (k-N) = 0.12561 R = 0.99544 R2 = 0.99544 adj. R2 = 0.99334 k = 10 N = 1, k-N = 9 c2 = 0.59918 c2 / (k-N) = 0.06658 R = 0.99948 R2 = 0.99896 adj. R2 = 0.99884 Residuální analýza, …