Analýza variance (ANOVA). ANOVA slouží k porovnávání středních hodnot 2 a více náhodných proměnných. Tam, kde se používal dvouvýběrový t-test, je možno použít ANOVu se stejnými výsledky. U 4 odrůd brambor se zjišťovala celková hmotnost brambor z jednoho trsu: 1.odrůda: 0.9, 0.8, 0.6, 0.9 2. odrůda: 1.3, 1, 1.3,1.2 3. odrůda: 1.3, 1.5, 1.6, 1.1 4. odrůda: 1.1, 1.2, 1.1,1 Liší se průměrné hmotnosti brambor z 1 trsu u těchto 4 odrůd? Testování v analýze variance (ANOVA). H0: 𝜇 1 = 𝜇 2 = 𝜇 3 = 𝜇 4 (střední hodnoty hmotností trsů jednotlivých odrůd se rovnají) H1: alespoň jedna rovnost z H0 neplatí. Předběžné výpočty: Průměry hmotností odrůd: a = 4 odrůdy, pro každou n = 4 měření: 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝑿 𝒊𝒋 = 𝑿 𝒋 , j = 1, …, a 𝑋 1 =0.8, 𝑋 2 =1.2, 𝑋 3 =1.375, 𝑋 4 =1.1. Celkový průměr 𝟏 𝒂 𝒊=𝟏 𝒂 𝑿 𝒊 = 𝑿 = 1.119
Model analýzy variance: Xij = m + ai + chyba ij , neboli 𝑋 𝑖𝑗 −𝜇= 𝛼 𝑖 + 𝑐ℎ𝑦𝑏𝑎 𝑖𝑗 Vypočítáme tedy 𝑋 𝑖𝑗 − 𝑋 , protože 𝑋 je odhadem m . 𝛼 𝑖 = 𝑋 𝑖 − 𝑋 lze dokázat, že 𝛼 𝑖 = 0 0.9 0.8 0.6 0.9 +0.32= 1.3 1 1.3 1.2 −0.08= 1.3 1.5 1.6 1.1 −0.26= 1.1 1.2 1.1 1 +0.02 Neboli ANOVA umí odhalit posun celých sloupců hodnot o ai
Předpoklady. normalita rozdělení – neověřuje se homogenita variancí - základní předpoklad – ověřuje se 2 odhady variance základního souboru 𝜎 2 : S.E. = 𝑆 𝑛 𝑆 2 =𝑛 𝑆.𝐸. 2 : první odhad variance 𝑆 1 2 =𝑛 𝑆.𝐸. 2 = 𝑛 𝑎 𝑖=1 𝑎 ( 𝑋 𝑖 − 𝑋 ) 2 druhý odhad vriance 𝑆 2 2 = 1 𝑎𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑗=1 𝑛 ( 𝑋 𝑖𝑗 − 𝑋 𝑖 ) 2 𝑆 1 2 variabilita mezi sloupci 𝑆 1 2 ≈ 𝜎 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 2 , 𝑆 2 2 variabilita uvnitř souboru 𝑆 2 2 ≈ 𝜎 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛 2 Čtverec posunu sloupců, za platnosti H0 je roven 0 Dá se ukázat, že 𝜎 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 2 𝜎 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛 2 = 𝜎 2 + 𝑖=1 𝑎 𝛼 𝑖 2 𝜎 2 ≡ 𝜎 2 + 𝜑 2 𝜎 2 Neboli H0: 𝜇 1 = 𝜇 2 = 𝜇 3 = 𝜇 4 , H1: alespoň jedna rovnost z H0 neplatí lze psát jako H0: 𝜎 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 2 𝜎 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛 2 = 1, H1: 𝜎 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 2 𝜎 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛 2 ≠1 𝑆 1 2 𝑆 2 2 ≈𝐹(𝑎−1, 𝑎 𝑛−1 )
Pokud je a = 2, je možno použít jak analýzu variance tak t-test. Dosažená hladina významnosti P je stejná, i když testové charakteristiky (t, F) jsou různé,. Pro a > 2 není možno provádět sérii t-testů roste chyba 1. druhu.
V našem příkladu Means 95% conf. interval Obrázek naznačuje, že se budou patrně lišit odrůdy 1 a 2, 1 a 3.
Post – hoc testy: H0: průměr sloupce i = průměr sloupce j, i ≠ j H1: nerovnost mezi průměry sloupců i a j. Zodpoví otázku, KDE je rozdíl zjištěný Anovou. Zjišťujeme, že se liší odrůdy 1a 2 (průměry 0.8 a 1.2, P = 0.015201< 0.05) a 1 a 3 (průměry 0.8 a 1.375, P = 0.001166 < 0.05). V příkladu jsme měli 1 třídící znak “odrůda“ jednofaktorová ANOVA
Analýza variance vícefaktorová (ANOVA). A. Faktoriální uspořádání. Příklad: Krysy byly krmeny 73 dní čerstvým nebo žluklým tukem. Zajímá nás spotřeba kvality tuku v závislosti na pohlaví krys [g]. Samci spotřebují více než samice Čerstvý tuk je atraktivnější než žluklý. Nulové hypotézy: H01: není rozdíl mezi samci a samicemi H02: není rozdíl mezi čerstvým a žluklým tukem H03: nejsou průkazné interakce. Model:
Spojnice přibližně rovnoběžné “H“ pouze posunuty (přibližně) Interakce neprůkazné
H01 nezamítáme není statisticky průkazný rozdíl mezi samci a samicemi. H02 zamítáme je rozdíl ve spotřebě čerstvého tuku a žluklého tuku. H03 nezamítáme nejsou průkazné interakce. Neprůkazné interakce model je v pořádku, lze použít Anovu. Průkazné interakce něco dalšího (další faktor) ovlivňuje měření nutno zdůvodnit. Post-hoc testy: Pouze pro tuk: čerstvý se spotřebovává více než žluklý. Modifikace příkladu.
Průkazné interakce přímky nejsou rovnoběžné Samci mají zcela jiné preference než samice, model není aditivní (posun), Něco dalšího vstupuje do pokusu?? Anovu nelze použít. Někdy nelze průkazné interakce odstranit je nutno zdůvodnit.
B. Hierarchická Anova (Nested design). Připravím 2 akvária: Do prvního dám čerstvý tuk, do druhého žluklý tuk. Do první nádoby vyberu náhodně 6 krys, do druhého náhodně 6 krys. 1. nádoba 2. nádoba 6 krys 6 krys 2 faktory: Krysy - náhodný faktor Tuk - pevný faktor Sestoupili jsme na úroveň jedinců – nejde o rozdíly “samice – samec“, jde o rozdíly mezi jedinci Faktor “krysa“ je vnořen (nested in) do faktoru strava Na toto uspořádání lze pohlížet jako na jednofaktorovou Anovu a krysy se berou jako opakování.
Liší se teploty v jednotlivých hloubkách? ANOVA – náhodné bloky. Příklad: Na 10 místech jezera byla měřena teplota vody v hloubce 0, 2 a 5 metrů. Liší se teploty v jednotlivých hloubkách? 1. místo 2. místo 3. místo 10. místo 0 m 0 m 0 m 0 m …. 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m 5 m 5 m 5 m Náhodné bloky
Každá hloubka je na daném místě měřena jen jednou Jedná se vlastně o 1-faktorovou Anovu s faktorem “hloubka“. 1-faktorová ANOVA: F(2, 27) = 571.23, P = 0 2-faktorová ANOVA: F(2, 18) = 1119.491, P = 0
Porušení předpokladů. Homogenita variancí. Tento předpoklad říká, že odstraníme-li vliv skupin (aditivní posun skupin), dostáváme soubor se stejnou variabilitou skupin. Pokud je tento předpoklad porušen, znamená to, že další faktor významně ovlivňuje měření, tj. faktor, který nebyl zahrnut do designu pokusu. Porušení homogenity variancí znamená „falešné“ závěry jak ve smyslu nezamítnutí, tak ve smyslu zamítnutí nulových hypotéz. V praxi to znamená pokus provést znovu. Aditivita modelu. Porušení aditivity modelu se projevuje průkaznými interakcemi. Může se jednat o nehomogenitu prostředí pokusu, či nezahrnutí všech podstatných faktorů do pokusu. Porušení aditivity znamená menší citlivost metody, neboli metoda neodhalí i zjevné rozdíly. V praxi jsou interakce často průkazné. Pokud je průkaznost interakcí vysoká (P0), je nutno pokus založit znovu
Porušení normality dat. Stejně jako u t-testů, i zde můžeme provést stejné transformace dat do normality, nebo můžeme použít neparametrické obdoby Anovy. Podobně jako dříve, neparametrické obdoby Anovy jsou málo citlivé a výsledné charakteristiky testů se často transformují do N(0, 1). Neparametrickou obdobou jednofaktorové Anovy je Kruskal-Wallisův test, Neparametrickou obdobou dvoufaktorové Anovy je Friedmannův test (blokové uspořádání). Design pokusu by měl být co nejjednodušší. Je ideální, aby počet faktorů nebyl vyšší než 2, protože eventuální průkazné interakce se špatně vysvětlují.