CW-057 LOGISTIKA 41. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 0 - úvod Leden 2017 AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU – z CW13 na CW057 CW-057 LOGISTIKA 41. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 0 - úvod Leden 2017 © Ing. Václav Rada, CSc.

TEORIE GRAFŮ 1. pokračování CW057 CW13 CW05 ‍۩ TEORIE GRAFŮ 1. pokračování ☺ březen 2017

další ….... POKRAČOVÁNÍ --- informací --- z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ další ….... POKRAČOVÁNÍ --- informací --- z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ Březen 2016

CW057 CW13 CW05 Teorie grafů Teorie grafů patří mezi relativně mladé matematické disciplíny. Jedná se o obor matematiky, pomocí něhož lze formulovat a řešit mnoho problémů z růz-ných oblastí, nejčastěji celočíselné a kombi-natorické povahy – problémů, které lze (rela-tivně snadno) vyjádřit v grafické formě. Březen 2016

Teorie grafů - pojmy CW05 Základní pojmy - přehled graf --- orientovaný a neorientovaný uzel --- hrana (orientovaná, neorientovaná) sled hran – sled uzlů --- popis vztahů cesta --- cyklus – uzavřená cesta strom --- grafické vyjádření vztahů a postupných závislostí tok (maximální – minimální) …… Březen 2016

Teorie grafů - Algoritmus čínského pošťáka CW05 Příklad 0a - klasika Poštovní doručovatel musí při roznášce pošty alespoň jedenkrát projít každou ulicí svého poštovního rajónu. Znamená to, aby postupoval tak, že ujde co nejméně kilometrů ………. POZN.: Problémům „čínského listonoše“ a „obchodního cestujícího“ je věnován podrobný speciální výklad ! Březen 2016

Teorie grafů - Algoritmus obchodního cestujícího CW05 Příklad 0b - klasika Obchodní cestující musí při návštěvě zákaz-níků projít jedenkrát každým uzlem (křižovat-kou ulic) svého zákaznického rajónu. I on musí postupovat tak, že ujde co nejméně kilometrů ………. POZN.: Problémům „čínského listonoše“ a „obchodního cestujícího“ je věnován podrobný speciální výklad ! Březen 2016

Teorie grafů – NÁSTIN POSTUPU CW05 Zjistit, zda jsou všechny uzly sudého stupně. Není-li tomu tak, musíme přidat hrany, aby-chom tuto podmínku splnili a to provedeme tak, že spojíme uzly s lichým stupněm nejkratší cestou. Provedeme kontrolu, zda cesta pošťáka je opravdu nejkratší. Obdobný je postup i v druhém případu. Březen 2016

Teorie grafů - úvod CW05 Příklad 1 Základy teorie grafů a jejich matematický popis (i jeho teoretické základy a teorémy) se datují do počátku 18. století – jsou spojeny se jménem matematika Eulera a místně jsou kladeny do (tehdy) pruského města Königsberg (Královec, nyní Kaliningrad - území Ruska - na řece Pregola) Následující úloha je považována za klasickou a nejlépe zachycující danou problematiku. Březen 2016

Teorie grafů – Královec CW05 Existuje město na řece - rozkládá se na dvou ostrovech a dvou březích, které jsou spojeny sedmi mosty. Úkolem je určit, zda lze navštívit všechny části města a při tom možno projít přes každý ze sedmi mostů přesně pouze jednou, aniž by-chom přeplavali řeku (viz obrázek)? Březen 2016

2 ostrovy + 2 nábřeží + 7 mostů …… CW05 Teorie grafů – město Koenigsberg … Author Pitel 2 ostrovy + 2 nábřeží + 7 mostů …… Březen 2016 Author Bogdan Giuşcă

Teorie grafů CW05 Sedm mostů a dva břehy da-ného města a odpovídající graf - v jiným zo-brazení odpovída-jícím principům teorie grafů. … projděte si to !!! Březen 2016

Teorie grafů CW05 Teoréma: Není možno projít přes každý most právě jednou bez přeplavání řeky, protože všechny uzly mají lichý stupeň. L.Euler problém přeformuloval na základě své teorie grafů (viz obrázek) a dokázal, že v grafu, vytvoře-ném na základě mapy města Královce, eulerovský tah neexistuje (a tedy sedm mostů města Královce netvoří eulerovský graf). Pouze eulerovské grafy mají tu vlastnost, že je možné „nakreslit je jedním tahem“. Březen 2016

Teorie grafů CW05 REALITA Dnes z původních mostů zbyly jen dva, jeden most byl nahra-zen zvedacím, dva mosty byly zničeny za britského náletu v roce 1944 a další dva byly později nahrazeny novostavbou Sověty při stavbě silničního průtahu - nově byl vybudován další most z jižního břehu na větší ostrov - mimo ostrovy přes řeku pak na západě vznikl železniční most (nyní trvale rozlo-žený), další silničně-železniční most a v roce 2011 na výcho-dě nová estakáda, která větší ostrov překračuje. Je tu tak celkem osm použitelných mostů. V nové konfiguraci mostů Eulerovský tah existuje, ale je otevřený — začíná na menším z ostrovů a končí na jižním břehu. Březen 2016

Teorie grafů – Další jiný příklad … CW05 Příklad 2 Řešíme dří-vější úlohu čínského pošťáka -pro graf na obrázku. 4 3 a f 2 5 e 8 d b c Březen 2016

Překresleno z hlediska hran = vyznačení vztahů (vazeb). CW05 Teorie grafů Překresleno z hlediska hran = vyznačení vztahů (vazeb). Pro 6 uzlů je to 6-ti úhelník…. 5 8 7 e d c b a f 6 Březen 2016

CW05 Teorie grafů - Algoritmus čínského pošťáka Řešení: Hrany tvořící nejlevnější perfektní párování jsou označeny tučně – viz následující obr. Stupně všech jeho uzlů jsou sudé, nečiní tedy potíže nalézt v tomto grafu uzavřený Eulerovský tah. Březen 2013

CW05 Teorie grafů - Algoritmus čínského pošťáka Eulerovský tah. V teorii grafů se termínem eulerovský tah označuje takový tah, který obsahuje každou hranu grafu právě a jen jednou. Zavedl jej matematik Leonhard Euler, když se roku 1736 pokoušel vyřešit slavný problém použití sedmi mostů města Královce. Existuje-li v grafu uzavřený eulerovský tah, nazývá-me tento graf rovněž eulerovský. Eulerovské grafy lze nakreslit „jedním tahem“. Březen 2016

CW05 Teorie grafů - Algoritmus čínského pošťáka Eulerovský tah. Neorientovaný graf je eulerovský, je-li souvislý a kaž-dý jeho vrchol má sudý stupeň Neorientovaný graf je eulerovský, je-li souvislý a má-li právě 2 vrcholy lichého stupně - eulerův tah bude pak otevřený. Neorientovaný graf je eulerovský, je-li souvislý a lze jej rozložit na hranově disjunktní cykly. Orientovaný graf je eulerovský právě tehdy, je-li sou-vislý a každý jeho vrchol má vstupní stupeň rovný výstupnímu. Březen 2016

CW05 Teorie grafů Leonhard Paul Euler (15. dubna 1707 Basilej, Švýcarsko – 18. září 1783 Petrohrad, Rusko) byl průkopnický švýcarský matematik a fyzik. Euler je považován za nejlepšího matematika 18. století a za jednoho z nejlepších vůbec. Euler provedl mnoho objevů na poli diferenciálního počtu a teorie grafů - je tradičně považován za zakladatele teorie grafů, neboť roku 1736 vyřešil úlohu, zda lze projít přes sedm mostů v Königsbergu (každý z nich právě jednou) a vrátit se do výchozího místa – to v moderní teorii grafů odpovídá pojmu eulerovský graf. Pochází od něj metoda variace konstant pro řešení diferenciálních rovnic (neprávem nazývaná Lagrangeova metoda), kterou použil již v roce 1740 při studiu přílivu a odlivu. Jako první použil pojem „imaginární číslo“ pro druhou odmocninu ze záporného čísla ve své knize Algebra z roku 1770. Zavedl dvojrozměrný integrál (1769). Od Eulera také pochází nyní používané označení f(x) pro funkci (1735). Březen 2016

CW05 Teorie grafů Leonhard Paul Euler Euler se nezabýval jen teorií matematiky, ale i její aplikací ve fyzice, kartografii a dokonce např. i ve stavbě lodí. Položil základy mechaniky tuhých těles a hydrodynamiky (zformuloval např. diferenciální rovnice popisující pohyb ideální nevazké tekutiny). Publikoval Eulerovu metodu numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Zavedl také spoustu nových moderních matematických pojmů a symbolů. Díky jeho všeobecně uznávané autoritě se ustálila symbolika algebry a infinitezimálního počtu. Je proslulý i svými pracemi v mechanice, optice a astronomii. Eulerův portrét se objevil na desetifranku šesté série švýcarské bankovky a na švýcarských, ruských a německých poštovních známkách. Na jeho počest byl po něm pojmenován asteroid 2002 Euler. Byl tak velmi plodným autorem knih: jeho sebrané spisy čítají 60—80 svazků – odborných napsal 865 prací. Je po něm pojmenován měsíční kráter Euler. Březen 2016 Zdroj - Wikipedia

Hrany tvořící nejlevnější perfektní párování – tučné hrany CW05 Teorie grafů 5 8 7 e d c b a f 6 Hrany tvořící nejlevnější perfektní párování – tučné hrany Březen 2011

Hodnoty hran pro jednotlivé (přímé) cesty CW05 Teorie grafů Hodnoty hran pro jednotlivé (přímé) cesty a-b = 5 a-c = 10 , 9 , 7 b-c = 4 , 5 a-d = 9 , 7 , 14 b-d = 4 c-d = 4 , 5 a-e = 6 b-e = 12 , 7 , 11 c-e = 13 , 7 , 12 a-f = 6 nebo 7 b-f = 9 , 7 , 14 c-f = 8 d-e = 6 d-f = 6 nebo 7 e-f = 7 Březen 2011

CW05 Teorie grafů Úloha hledání maxima toku Základem je orientovaný graf, tzv. digraf G =  V , E , kde V je množina uzlů a platí, že V =  1 , 2 , 3 , … , n  (přitom……… Březen 2013

CW05 Teorie grafů přitom V = 1 označuje zdroj V = n označuje místo určení (konec) toku V = 2, 3, 4, … ostatní uzly označují, kudy tok prochází) E je množina orientovaných hran (např. produktovod, el. vedení, silnici, apod.) majících určitou přepravní kapacitu kij. Březen 2010

CW05 Teorie grafů Celý produkt je vždy hranou přepraven od jednoho uzlu k druhému – nic nepřibude a nic se neztrácí. Pokud by se nejednalo o digraf, který má hrany orientovány pouze jediným směrem, musely by být obousměrné hrany nahrazeny proti sobě jdoucími dvěma (jednosměrně) orientovanými hranami. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Přepravní problém Cíl: Splnit požadavky odběratelů a nepřekročit kapacity dodavatelů při minimálních nákla-dech spojených s tokem. Směrodatným je tedy i-tý uzel a jeho přepravní (transitní) kapacita. Březen 2013

CW05 Teorie grafů Pro uzel i: ai > 0 dodavatel (zdroj), ai < 0 odběratel (místo určení, koncový uzel), ai = 0 průběžný uzel (překladiště), kij – kapacita hrany (i,j), cij – náklady spojené s jednotkou toku hranou (i,j) bude….. Březen 2013

bude nezbytné minimalizovat hodnotu sumy: CW05 Teorie grafů bude nezbytné minimalizovat hodnotu sumy: při … Březen 2013

CW05 Teorie grafů při splnění podmínek: odtok přítok při Březen 2013

Maximální tok sítí znamená hledat maximum pro vztah: CW05 Teorie grafů Maximální tok sítí znamená hledat maximum pro vztah: Připomenutí – existují vztahy pro více-produktové toky a pro zapojení ekono-mických (nákladových) ukazatelů. Březen 2013

CW05 Teorie grafů Za podmínky, že: pro kde kij – kapacita (maximální propustnost) hrany (i, j), uzel 1 – zdroj, uzel n – místo určení. Březen 2013

Omezení – kapacita uzlu: má vztah: CW05 Teorie grafů Omezení – kapacita uzlu: má vztah: kij – kapacita (maximální propustnost) hrany (i, j), dj – maximální možný tok uzlem j. Březen 2013

CW05 Teorie grafů Úloha hledání minimální kostry grafu Jedná se o úlohu, kde je graf neorientovaný, ale každá hrana je ohodnocena (například náklady na její zřízení v reálu). Je potřeba najít minimální počet hran, které graf musí mít. Vychází se z grafu, který má plný počet hran, čili spojení mezi jednotlivými uzly. Březen 2013

CW05 Teorie grafů Minimalizace proběhne na základě vypuštění určitých hran, jejichž úlohu převezmou jiné hrany mající dostatečnou kapacitu. Přitom bývá ještě omezení, že je omezen ná-růst ceny i  prodloužení cesty a času potřeb-ného k projetí cesty. Březen 2013

Pro graf bude KOSTRA grafu při CW05 Teorie grafů Pro graf bude KOSTRA grafu při Minimální kostra grafu – kostra grafu s mini-málním součtem ohodnocení hran…… Březen 2013

ohodnocení hran: Pokračuje se převodem na PŘEPRAVNÍ PROBLEM CW05 Teorie grafů ohodnocení hran: 1 hrana (i,j) bude vybrána 0 jinak Pokračuje se převodem na PŘEPRAVNÍ PROBLEM tok hranou (i,j) se bude ….. Březen 2013

se bude minimalizovat: CW05 Teorie grafů se bude minimalizovat: s podmínkami: Březen 2013

CW05 Teorie grafů pak bude ….. tok hranou (i,j) Březen 2013

limitovaný počet připojení. CW05 Teorie grafů Modifikace úlohy limitovaný počet připojení. di – počet hran, se kterými může být uzel i maximálně spojen Znamená hledat řešení pro vztah: Březen 2013

CW05 Teorie grafů Okružní úlohy Řeší se problémy spojené s rozvozem a svozem předmětů, materiálů, zboží atd, nebo s návštěvou (průjezdem) určitých míst. Uzly v grafu představují místa, kam nebo odkud se něco vozí nebo se navštěvuje a hrany jsou spojnice (komunikace, silnice, atd.). Typickými jsou úlohy obchodního cestujícího (Traveling salesman problem) a úloha čínského listonoše (Chinese postman problem). Březen 2016

CW05 Teorie grafů Úlohou je navštívit všechny uzly pouze jed-nou a cesta přitom má být optimální čili nejkratší. V druhé úloze je pak nutno projít všemi hranami pouze jednou. Březen 2016

Řešené úlohy: HAMILTONŮV CYKLUS … úloha ob-chodního cestujícího CW05 Teorie grafů Řešené úlohy: HAMILTONŮV CYKLUS … úloha ob-chodního cestujícího EULERŮV CYKLUS … úloha čínského listonoše EULERŮV TAH FLEURYHO ALGORITMUS Březen 2013

Klasifikace úloh: 1. Znalost zákazníků CW05 Teorie grafů Klasifikace úloh: 1. Znalost zákazníků STATICKÉ ÚLOHY – všichni zákazníci jsou předem známí DYNAMICKÉ ÚLOHY – po výjezdu vozidel na trasy přicházejí další požadavky Březen 2013

2. Velikost požadavků a kapacita vozidel CW05 Teorie grafů 2. Velikost požadavků a kapacita vozidel OKRUŽNÍ ÚLOHY – neuvažujeme velikost požadavků ROZVOZNÍ ÚLOHY – zadány velikosti poža-davků, kapacita vozidla je důležitá Březen 2013

3. Počet a umístění vozidel CW05 Teorie grafů 3. Počet a umístění vozidel – jedno výchozí místo – několik výchozích míst Březen 2013

4. Cíl optimalizace - nejkratší cesta CW05 Teorie grafů 4. Cíl optimalizace - nejkratší cesta - průchod každým bodem pouze jednou -- atd……. Březen 2013

CW05 Teorie grafů Hamiltonovské cesty a kružnice Hamiltonovská cesta v grafu G je cesta, kte-rá obsahuje každý uzel grafu G právě jednou. Hamiltonovská kružnice (cyklus) v grafu G je kružnice (cyklus), která prochází každým uzlem grafu, u které je počáteční a koncový uzel totožný. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Typy úloh: Najít Hamiltonovskou kružnici (cyklus) – úloha obchodního cestujícího. Najít Hamiltonovskou cestu (mezi libovol-nými dvěma uzly). ………….. Březen 2010

CW05 Teorie grafů Najít Hamiltonovskou cestu, jejíž krajní uzel je fixován. Najít Hamiltonovskou cestu, jejíž oba krajní uzly jsou fixovány. Pro řešení všech těchto typů úloh neexistuje žádný efektivní algoritmus. Březen 2010

CW05 Teorie grafů Metoda minimální cesty - Orientovaný graf Pro určení minimální cesty v orientovaném ohodnoceném grafu se využívá Bellmanův princip optimality – pro následující obrázek: je-li cesta z A do C optimální, pak na této cestě musí ležet i cesta z B do C. Březen 2009

Graf podmínky Bellmanova principu optimality CW05 Teorie grafů Graf podmínky Bellmanova principu optimality Březen 2009

CW05 Teorie grafů Podmínky pro graf, aby mohl být použít Bellmanův princip optimality: všechny hrany grafu jsou ohodnoceny tij, v grafu nesmí být cykly  i < j (hrana musí vystupovat z uzlu i s číslem menším a vstu-povat do uzlu j s číslem větším), nesmí být rovnoběžné hrany – odstraníme pomocí fiktivních hran s nulovým ohod-nocením. Březen 2009

Podmínka užití Bellmanova principu optimality CW05 Teorie grafů Podmínka užití Bellmanova principu optimality Tvorba fiktivního prvku Březen 2009

CW05 Teorie grafů Postup určování cesty v orientovaném grafu Při hledání minimální (maximální) cesty v ohodnoceném orientovaném grafu postu-pujeme od koncového uzlu k počátečnímu uzlu. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Ohodnocení v koncovém uzlu (Tn = 0) polo-žíme rovno nule. Pak postupujeme proti smě-ru orientace hran k počátečnímu uzlu a u kaž-dého uzlu si pamatujeme minimální (maximál-ní) hodnotu součtu ohodnocení hran předcho-zí části cesty a směr, odkud jsme do daného uzlu došli. Hodnota v počátečním uzlu dává celkovou nejkratší (nejdelší) cestu v grafu. Březen 2009

Nejkratší cesta Nejdelší cesta CW05 Teorie grafů Nejkratší cesta Nejdelší cesta Ti = min ( Tj + tij ) Tn = 0 Ti = max ( Tj + tij ) Březen 2009

CW05 Teorie grafů Nejkratší cesta Nejkratší cesta vede uzly: 1 – 2 – 3 – 4 – 6 Délka cesty: 3 + 1 + 2 + 4 = 10 jednotek Březen 2009

Příklad orientovaného grafu – nejkratší cesta CW05 Teorie grafů Příklad orientovaného grafu – nejkratší cesta Březen 2009

CW05 Teorie grafů Nejdelší cesta Nejdelší cesta vede uzly: 1 – 3 – 5 – 6 Délka cesty: 5 + 7 + 8 = 20 jednotek Březen 2009

Příklad orientovaného grafu – nejdelší cesta CW05 Teorie grafů Příklad orientovaného grafu – nejdelší cesta Březen 2009

CW05 Teorie grafů Neorientovaný graf - Postup hle-dání minimální cesty v neorien-tovaném grafu Graf musí být ohodnocený, neoriento-vaný, bez číslování uzlů. Počáteční uzel je označen číslem nula. Březen 2009

CW05 Teorie grafů V každém dalším kroku ohodnotíme neohodnocené uzly, které jsou spojeny hranami s již ohodnocenými uzly a to tak, že je hodnotíme podle vztahu: Březen 2009

CW05 Teorie grafů kde je: U( ti ) – hodnota ohodnoce- ného uzlu, tij – hodnota hrany mezi ohodnoceným [ U(ti) ] a neohodnoceným [ U(tj) ] uzlem. Hodnota koncového uzlu dává hodnotu minimální cesty. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Hrany, které leží na minimální cestě, určíme podle vztahu: tij = [U(tj) - U(ti)] směrem od posledního uzlu k prvnímu. Platí, že rozdíl hodnot sousedících uzlů musí být hodnota hrany. Březen 2009

Příklad neorientovaného grafu CW05 Teorie grafů Příklad neorientovaného grafu Březen 2009

Postup ohodnocování uzlů CW05 Teorie grafů Postup ohodnocování uzlů Březen 2010

CW05 Teorie grafů Matematický zápis grafů Matematický tvar je potřeba při zadávání grafu do algoritmů a metod řešených s po-mocí výpočetní techniky. Často používaným tvarem je uzlová inci-denční matice A s prvky nabývajícími násle-dujících hodnot: Březen 2009

CW05 Teorie grafů aij = 0 … pokud uzel (vrchol) uj není uzlem hrany hi (ei) aij = 1 … existuje-li mezi uzly ui a uj hrana aij = + ki … existuje-li hrana hi s počá-tečním uzlem uj a s ohodnocením ki aij = - ki … existuje-li hrana hi s koncovým uzlem uj a s ohodnocením ki . Březen 2011

CW05 Teorie grafů 3 2 1 4 6 5 7 8 Základní tvar rozhodovací cesty - speciální varianta rozhodovacího stromu Březen 2016

CW05 Teorie grafů Matice: 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Březen 2009

Graf s ohodnocenými hranami CW05 Teorie grafů 8 4 5 7 3 1 2 6 8,5 5,6 6,2 5,4 6,4 3,9 3,6 Graf s ohodnocenými hranami Březen 2009

CW05 Teorie grafů Předcházející graf má matici: 6,2 0 -6,2 0 0 0 0 0 0 5,4 -5,4 1 0 0 0 0 0 0 5,6 -5,6 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 -3,6 -3,6 0 0 0 0 0 0 -3,9 0 3,9 0 0 0 0 -6,4 6,4 0 0 0 0 0 0 8,5 0 0 0 -8,5 Březen 2009

CW05 Teorie grafů Nejkratší cesta v grafu Je další z klasických dopravních problémů – je to vlastně řešení problému najít na mapě nejkratší cestu místa A o místa B. Zde je řešení snadnější, protože mapa posky-tuje určitá vodítka v podobě zakreslených cest. Něco takového bohužel v hranově ohodnoce-ném grafu není k dispozici. Březen 2009

CW05 Teorie grafů Postup hledání cesty z uzlu r do uzlu s, je v tomto případě založen na využití určité for-my trojúhelníkové nerovnosti. Při řešení je doporučeno využít metodu pro-hledávání grafu do šířky, takže v každém kro-ku jsou vypočítávány vzdálenosti všech z vý-chozího uzlu dostupných (ostatních) uzlů při přidání nové hrany, která musí vytvořit kratší cestu, aby se změnilo ohodnocení uzlu. Březen 2011

CW05 Teorie grafů Algoritmus řešení má tyto kroky: 1. krok – vzdálenost výchozího uzlu vr se položí rovna 0 – touto hodnotou se tak ohod-notí výchozí uzel – a položí se J = Ø 2. krok – najdou se všichni následníci již oz-načených uzlů a jsou zařazeni do množiny J Březen 2011

CW057 CW13 CW05 Teorie grafů 3. krok – vypočtou se délky cest do těchto uzlů, tj. existuje-li hrana z uzlu i do uzlu j Є J a vypočte se součet pro vj = vi + cij 4. krok – označí se uzel k, pro který platí, že: k: vk = min vj , pro j Є J Březen 2011

CW057 CW13 CW05 Teorie grafů 5. krok – algoritmus může skončit, pokud již byly označeny všechny uzly s hodnotami vi 6. krok – položí se J = Ø a pokračuje se krokem 2. Březen 2017

…..… Informace pokračují …… CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… v úlohách obchodního cestujícího a čínského listonoše….. …..… cw057 – p. 41 / 1 březen 2017

CW057 CW13 CW05 …… … Březen 2017