TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík Goniometrické rovnice

Je obecné označení pro rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v argumentu goniometrických funkcí, tedy sinu, kosinu, tangens či kotangens. Typů těchto rovnic je celá řada. Při jejich řešení se používají následující postupy: Goniometrické rovnice 1)běžné ekvivalentní i neekvivalentní úpravy rovnic (sečtení členů, vytknutí před závorku, přičtení výrazu k rovnici, vynásobení nenulovým výrazem apod.), 2)úprava výrazů pomocí vzorečků pro počítání s goniometrickými výrazy, 3)zavedení substituce. Poznámka: –jednotlivé postupy se nemusí použít všechny, –postupy nemusí být použity právě v tomto pořadí, –stejný typ postupu se při řešení rovnice může vyskytnout několikrát. –na závěr nutno stanovit podmínky!

Při řešení goniometrických rovnic postupujeme zpravidla následovně: Obecný postup řešení 1)Pomocí vhodných vzorečků sjednotíme argumenty funkcí (tedy aby ve všech goniometrických výrazech bylo jednotně např. x nebo 2x apod.), 2)pomocí dalších vzorců se snažíme zredukovat počet goniometrických funkcí v rovnici (např. aby se v rovnici vyskytoval jen sinus), 3)pokud se nám podaří rovnici upravit tak, aby obsahovala pouze jednu funkci, můžeme zavést substituci. Pokud se nám sjednotit funkce nepodaří, převedeme všechny členy rovnice na jednu stranu a pokusíme se rovnici rozložit do součinového tvaru. Pak již řešíme z jednotlivých součinitelů. 4)Zjištěné hodnoty porovnáme s podmínkami a zapíšeme množinu řešení.

Běžné úpravy Příklad zjednodušení goniometrické rovnice pomocí běžných úprav: Rovnice nemá řešení, neboť sinus se nikdy nemůže rovnat číslu většímu než jedna.

Cílem těchto úprav je rovnici upravit dle obecného postupu. Lze použít tyto vzorce: Úpravy rovnice pomocí vzorců

Smyslem substituce je zpřehlednit zápis rovnice tím, že místo složitého výrazu zapisujeme zpravidla pouze nějaké písmeno. Pokud dáváme substituci za výraz s neznámou, nesmí se neznámá vyskytovat v jiném (odlišném) výrazu – po zavedení substituce bychom totiž v rovnici měli dvě neznámé, původní a neznámou substituovanou neznámou. Po vyřešení zjednodušené rovnice je nutné substituci „vrátit“ a dopočítat původní neznámou! Substituce

Příklad – použití vzorců a substituce Příklad úpravy goniometrické rovnice pomocí vzorců: Dále řešíme pomocí substituce: Pro y 2 neexistuje žádné řešení, tedy: P = {64°49´ + k · 360°; 295°11´ + k · 360°}

Příklad – součinový tvar Příklad úpravy goniometrické rovnice do součinového tvaru: Dále řešíme každý součinitel zvlášť, neboť součin se rovná 0 pouze tehdy, pokud je roven nule jeden nebo druhý součinitel: Množina řešení je tedy P = {60° + k · 360°; 300° + k · 360°; k · 180°}

Goniometrické nerovnice Goniometrické nerovnice můžeme řešit stejně jako ostatní typy nerovnic: 1) Nerovnici vyřešit jako rovnici. 2) Určit podmínky. 3) Řešení i podmínky nanést na číselnou osu. 4) Otestovat intervaly a zapsat množinu řešení. 90° 38°10’ Příklad: podmínka pro tangens: 141°50’ 270° 398°10’ Na číselnou osu naneseme všechna řešení a podmínky, dokud se nezačnou periodicky opakovat. Řešením jsou červeně označené intervaly + k · 360°. rovnice:

Shrnutí Při řešení goniometrických rovnic používáme několika postupů. Jejich smyslem je rovnici co nejvíce zjednodušit, nebo převést do vhodnějšího (součinového) tvaru, případně přes substituci převést na rovnici jiného (jednoduššího) typu.postupů Podmínky řešitelnosti vyplývají z podmínek (viz definiční obory), obdobně jako u jiných typů rovnic. Goniometrické nerovnice se řeší stejně jako jiné typy nerovnic. Na osu nanášíme jen řešení v rozsahu nejdelší periody, dále se intervaly opakují a není je třeba tedy testovat.