Pravděpodobnost Přednáška č.2

Deterministický a náhodný děj Každý děj probíhá za uskutečnění jistého souboru podmínek Deterministický děj-děj, ve kterém při uskutečnění jistého souboru podmínek vede k jednoznačnému výsledku Např. při určité vložené částce a jisté úrokové míře víme, jaká částka bude na účtu za čas t. Náhodný děj-proces, při němž nejsme schopni kontrolovat všechny podmínky, za nichž proces probíhá (nejistý výsledek) Sledovaný jev může, ale nemusí nastat Výsledek náhodného pokusu jednak závisí na podmínkách, při kterých je prováděn a jednak na náhodě Náhodné pokusy - za stejných podmínek opakovatelné činnosti měnlivost jejich výsledků je podstatná a vykazuje zákonitosti.

Náhodné jevy Náhodné jevy –výsledky náhodných pokusů Opakovatelný náhodný pokus→hromadné náhodné jevy Teorie pravděpodobnosti se zabývá studiem zákonitostí, jimiž se řídí hromadné náhodné jevy.Tvoří pravděpodobnostní modely Matematická statistika-porovnává pravděpodobnostní modely se skutečnosti

Náhodné jevy Značení A,B,C …..z jevu A plyne jev B Nastoupení jevu A má vždy za následek nastoupení jevu B a jev C nastane právě když nastane současně jev A i B jev D nastane právě když nastane alespoň jeden z jevů A a B jev H nastane právě když A nastane a B nenastane

Náhodné jevy E jistý jev Ø jev nemožný Ø=Ø Ø=A Opačný jev k jevu A Ø Neslučitelné jevy Ø Úplný systém jevů….

Elementární jevy Jednotlivé výsledky náhodného pokusu, které jsou vzájemně neslučitelné a nelze je vyjádřit jako sjednocení jiných jevů …..e Prostor elementárních jevů Náhodný jev příklad: při házení klasickou kostkou- elementární jevy-padnutí 1-6 puntíků

Pravděpodobnost náhodného jevu P(A)…..míra možnosti nastoupení náhodného jevu A P(A)…..funkce, která každému jevu A přiřadí reálné číslo Vlastnosti: P(Ø)=0 Pro neslučitelné jevy Pravděpodobnost opačného jevu Pokud, pak

Laplaceova klasická definice pravděpodobnosti Pokud A je sjednocení m elementárních jevů z kde, pak

Příklady Padnutí šestky na kostce Jev A padnutí sudého čísla na kostce Jev B padnutí čísla většího než 4 Jaká je pravděpodobnost, že padne sudé číslo a zároveň číslo větší než 4 Jaká je pravděpodobnost, že padne sudé číslo nebo číslo větší než 4

Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B

Příklad Jaká je pravděpodobnost, že na kostce padlo číslo větší než 4 víme-li, že padlo číslo sudé?

Nezávislé jevy Jev A je nezávislý na jevu B Jev B je nezávislý na jevu A Jevy A a B jsou vzájemně nezávislé Pokud jsou A a B nezávislé

příklad Z 200 ložisek je 130 první jakosti a 70 druhé jakosti. Z ložisek první jakosti bylo vyrobeno 80 na prvním stroji a 50 na druhém stroji, z ložisek druhé jakosti bylo vyrobeno 40 na prvním stroji a 30 na druhém stroji. Jev A představuje náhodné vybrání ložiska první jakosti, jev B je náhodné vybrání ložiska vyrobeného na prvním stroji. Jsou jevy A a B nezávislé?

řešení Jevy A a B jsou závislé

Úplná pravděpodobnost Jev Ø…….i,j= 1,…,n Na podkladě těchto dějů se stane jev A

Jak spočítat pravděpodobnost jevu A?

Příklad Obchod má zboží od dvou výrobců.První výrobce dodává 30% zboží a z toho je 80% první jakosti. Druhý výrobce dodává 70% zboží a z toho je 85% první jakosti. Určete pravděpodobnost, že náhodně koupený výrobek je první jakosti.

Pravděpodobnost hypotéz- Bayesův vzorec Pravděpodobnost hypotézy za podmínky, že jev A nastal

Pokračování předchozího příkladu Náhodně koupený výrobek byl první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben prvním výrobcem?

Náhodná veličina Různým elementárním jevům přiřazujeme totéž číslo a toto přiřazení nemusí být vzájemně jednoznačné. V náhodných pokusech nahrazujeme náhodné jevy určitými hodnotami nějaké proměnlivé veličiny(náhodné proměnné) Např. počet padlých šestek na dvou kostkách Není možno určit konkrétní hodnotu před provedením náhodného pokusu

Značení Náhodné veličiny…….X,Y Jejich konkrétní hodnoty…..x,y Např. náhodná veličina X nabývá hodnoty x X=x M..množina možných hodnot náhodné veličiny(výběrový prostor) M={0,1,2}

Příklady náhodných veličin Počet narozených chlapců mezi 100 novorozenci Počet zásahů koše z 10 pokusů Počet tažených es z balíčku karet Počet zákazníků přicházejících do prodejny během určitého časového intervalu Doba čekání na dopravní spoj(ve frontě,na obsluhu) Počet kazů na 1m 2 látky Životnost výrobku

Typy náhodných veličin Předchozí příklady se liší prostorem M Diskrétní náhodné veličiny- nabývají je konečně nebo spočetně mnoha hodnot Spojité náhodné veličiny-nabývají jakékoli hodnoty z nějakého intervalu(omezeného i neomezeného) Vztah mezi podmnožinami M a jejich pravděpodobnostmi= zákon rozdělení

Distribuční funkce Jedna z forem popisu zákona rozdělení náhodné veličiny Vlastnosti: 1) 2) neklesající funkce 3) spojitá zprava, nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti platí

Diskrétní náhodná veličina Příklad –počet padlých šestek při hodu dvěma kostkami M={0,1,2} P(X=0)=P(0)=(5/6)(5/6)=25/36 P(X=2)=P(2)=(1/6)(1/6)=1/36 P(X=1)=P(1)= (5/6)(1/6)+(1/6)(5/6)= 10/36 Nebo pomocí opačného jevu P(1)=1-[P(0)+ P(2)]=10/36

Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Konkrétně náh. veličiny počet padlých šestek na dvou kostkách

Zákon rozdělení diskrétní veličiny

Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Obecné momenty-k-tý obecný moment První obecný moment- střední hodnota (očekávaná hodnota náh. veličiny) Druhý obecný moment

Vlastnosti střední hodnoty 1) c…. konstanta 2) c…. konstanta 3) c…. konstanta 4) y(X)…funkce náhodné veličiny

Centrované momenty k-tý centrovaný moment První centrovaný moment Druhý centrovaný moment (rozptyl) Směrodatná odchylka

Vlastnosti rozptylu 1) 2)c….konstanta 3) c….konstanta

Příklad(pokračování) Pro náhodnou veličinu počet padlých šestek na dvou kostkách spočtěte střední hodnotu, druhý obecný moment, rozptyl a směrodatnou odchylku 1)střední hodnota 2)druhý obecný moment Rozptyl a směrodatná odchylka

Kvantily p% kvantil medián

Rozdělení diskrétních náhodných veličin Alternativní rozdělení - Náhodný jev A nastane či nikoli náhodná veličina X nabývá hodnot 0,1

Binomické rozdělení Bi(n,π) Náhodný pokus opakujeme n-krát, pokusy jsou nezávislé,tzn. nastoupení jevu A nezávisí na výsledcích předcházejících pokusů Pravděpodobnost nastoupení jevu A je v každém pokusu stejná Náhodná veličina kde X i......nastoupení jevu A v i-tém pokusu(alternativní veličina) Příklady: počet padlých šestek ve třech hodech Počet vyklíčených semínek z n zasazených Počet zásahů na koš z n pokusů hráče Počet vyléčených pacientů z n pacientů léčených stejným lékem

Binomické rozdělení Pravděpodobnostní funkce Nejpravděpodobnější hodnota

Příklad Vypočtěte pravděpodobnost, že na dvou kostkách padne alespoň jedna šestka. P(X>0)=P(1)+P(2)= Nebo P(X>0)=1-P(0)=

Poissonovo rozdělení Po(λ) Řídí se jím náhodná veličina, kterou je počet výskytů sledovaného jevu v určitém časovém intervalu, nebo na určité ploše, nebo v určitém prostoru Předpoklady 1) jev může nastat v kterémkoli časovém okamžiku 2) počet výskytů jevu závisí jen na délce intevalu(velikosti plochy, prostoru) (není ovlivněn počátkem intervalu,plochy,prostoru ani tím, co bylo předtím) λ…střední hodnota výskytů jevu za časovou jednotku

Příklady náhodných veličin s Poissonovým rozdělením Počet obsloužených zákazníků v prodejně během určitého časového intervalu Počet telefonních hovorů uskutečněných během určitého časového intervalu Počet poruch stroje za směnu Počet kazů na 1 m 2 látky Počet vyklíčených semen na 1 m 2 Počet hvězd v daném prostoru

Pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení

příklad Informační kancelář navštíví v průměru 20 osob za hodinu a) jaká je pravděpodobnost, že během 15 min nepřijde do kanceláře nikdo? ř:15 min je ¾ hodiny λ=20/4=5 b) jaká je pravděpodobnost, že během 15 min přijde do kanceláře alespoň jedna osoba? P(X>0)=P(1)+P(2)+……. c ) jaký je nejpravděpodobnější počet návštěvníků během 15 min.?

Aproximace binomického rozdělení rozdělením Poissonovým V případě, že n>30 a π<0,1 aproximujeme (nahradíme) binomické rozdělení rozdělením Poissonovým Bi(n,π) Po(λ) λ=nπ

Hypergeometrické rozdělení Závislé jevy N…rozsah souboru M.. Počet jednotek v soubotu s jistým sledovaným znakem n…počet opakování pokusu x…počet jednotek s jistým znakem ve výběru

Pravděpodobnostní funkce hypergeometrického rozdělení

příklad V poličce je 15 knih, z toho 7 jsou překlady z cizích jazyků. Z knihovny vybereme 5 knih. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň 3 z nich jsou překlady z cizích jazyků? Řešení: Výběry bez vracení (závislé jevy)- hypergeometrické rozdělení

řešení Parametry N=15, M=7,n=5, x=3,4,5

Aproximace hypergeometrického rozdělení rozdělením binomickým a Poissonovým Pokud