Operační výzkum Lineární programování Dualita v úlohách lineárního programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

DUALITA V ÚLOHÁCH LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Ke každé úloze lineárního programování lze určitým způsobem přiřadit jinou úlohu lineárního programování, která je sestavena z týchž konstant (koeficientů a pravých stran omezení). Takovou úlohu nazýváme úlohou duálně sdruženou k původní úloze (= primární úloha). Dvojice sdružených úloh spolu úzce souvisí a má řadu zajímavých společných vlastností ( jak z hlediska výpočetního, tak z hlediska ekonomické interpretace ). Dualitou nazýváme vzájemný vztah mezi dvojicí duálně sdružených úloh.

DUALITA V ÚLOHÁCH LP VLASTNÍ OMEZENÍ PODMÍNKY NEZÁPORNOSTI ÚČELOVÁ FUNKCE Tři druhy koeficientů: … strukturální koeficienty, … celkové úrovně činitelů (pravé strany), … cenové koeficienty, pro i = 1,.. m, j=1,.. n.

Tyto koeficienty jsou v matematickém modelu propojeny pomocí proměnných x j. Koeficienty a ij, b i ve vlastních omezeních, koeficienty c j v účelové funkci. Takto zformulovaný model budeme nazývat PRIMÁRNÍ MATEATICKÝ MODEL Ke každé primární úloze LP lze zformulovat úlohu DUÁLNÍ. DUALITA je matematický vztah mezi dvěma modely  tzv. DUÁLNĚ SDRUŽENÉ MODELY. PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA PRIMÁRNÍ ÚLOHA transformace

PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA PRIMÁRNÍ ÚLOHA transformace VĚTA (o reflexivnosti duality): Duální úloha k duální úloze je původní primární úloha. DŮSLEDEK: Reflexivnost duality umožňuje z vlastností a řešení primární úlohy určit vlastnosti a řešení duální úlohy (a naopak). Než začneme tvořit duální úlohu, je třeba původní úlohu převést na tzv. STANDARDNÍ TVAR. U MAXIMALIZAČNÍ ÚLOHY je soustava ve standardním tvaru, když všechny vlastní omezující podmínky jsou typu „  “ nebo „=“. U MINIMALIZAČNÍ ÚLOHY je soustava ve standardním tvaru, když všechny vlastní omezující podmínky jsou typu „  “ nebo „=“.

Pozn.:Pokud typy nerovností nejsou v souladu s extrémem účelové funkce, je třeba příslušná vlastní omezení násobit (-1) (i za cenu záporné pravé strany). Každé úloze LP ve standardním tvaru lze přiřadit duální úlohu (bude rovněž ve standardním tvaru) takto: Maximalizační primární úloze ve standardním tvaru přísluší minimalizační duální úloha ve standardním tvaru a naopak. Každému vlastnímu omezení primární úlohy odpovídá jedna strukturní proměnná úlohy duální a naopak. Matice strukturních koeficientů primární a duální úlohy jsou navzájem transponované. Vektor pravých stran primární úlohy je vektorem cen úlohy duální a naopak.

PRIMÁRNÍ MAT. MODEL Účelová funkce  max (min) DUÁLNÍ MAT. MODEL Účelová funkce  min (max) Počet vlastních omezení … m Počet duálních proměnných … m Počet primárních proměnných … n Počet vlastních omezení … n DUALITA v LP je jednoznačné přiřazení matematických modelů vycházejících ze stejných koeficientů ( a ij, c j, b i ), které jsou v modelech jinak umístěny.

Jestliže se v primární úloze objevují pouze vlastní omezující podmínky ve tvaru nerovnic a je požadována nezápornost všech proměnných, tvoří primární úloha a duální úloha dvojici SYMETRICKÝCH DUÁLNÍCH ÚLOH. Když se mezi vlastními omezujícími podmínkami primární úlohy vyskytuje nějaká rovnice nebo u některé proměnné „chybí“ podmínka nezápornosti, nazýváme primární úlohu spolu s duální úlohou dvojicí NESYMETRICKÝCH DUÁLNÍCH ÚLOH.

Př.: ÚLOHA VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ Podnik vyrábí 2 druhy výrobků V 1 a V 2. Tab. udává spotřebu surovin S 1 a S 2 v kg na výrobu 1 ks výrobku V 1, resp. V 2 i disp. množství. Zisk z každého ks V 1 je 3 Kč a z 1 ks V 2 je 2 Kč. Stanovte opt. výrobní plán, aby podnik dosáhl max. zisku. VýrobkyDisponibilní množství V1V1 V2V2 S 1 [kg/ks] S 2 [kg/ks] Zisk [Kč]32max. x 1 … počet výrobků V 1 x 2 … počet výrobků V 2 V ektor výroby

Primární úloha maximalizační je ve standardním tvaru, tzn. všechny nerovnosti jsou typu „  “ a všechny proměnné jsou nezáporné. Primární úloha má 2 vlastní omezení, proto duální úloha bude mít 2 proměnné u 1 a u 2 : Duální úloha je minimalizační, opět ve standardním tvaru, tzn. všechny nerovnosti jsou typu „  “ a všechny proměnné jsou nezáporné.

Existují 2 možnosti, jak zjistit řešení duální úlohy: 1) Samotné řešení duální úlohy (např. výpočet SM, resp. metodou umělé báze). 2) Řešení duální úlohy lze vyčíst ze simplexové tabulky vyřešené primární úlohy.

PRIMÁRNÍ ÚLOHA z=f u1u1 u2u2 u’1u’1 u’2u’2

DUÁLNÍ ÚLOHA x1x1 f=z -x 1 -x 2 -x’ 1 -x’ 2 x2x2

ZÁKLADNÍ VĚTA O DUALITĚ:Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh LP konečné optimální řešení, pak má i druhá úloha konečné optimální řešení a hodnoty účelových funkcí jsou stejné. Řešení duální úlohy lze vyvodit z posledního kroku simplexové tabulky primární úlohy. Na základě reflexivity duality lze určit řešení primární úlohy ze simplexové tabulky duální úlohy.

MOŽNÁ ZAKONČENÍ ÚLOH LP Z HLEDISKA DUALITY 2)Má-li primární úloha alternativní řešení, má duální úloha degenerované řešení (a naopak). 3)Má-li primární úloha neomezenou účelovou funkci (tj. nemá optimální řešení), duální úloha nemá vůbec přípustné řešení (a naopak). 1)Má-li primární úloha jediné nedegenerované optimální řešení, má i duální úloha jediné nedegenerované optimální řešení. (viz. Základní věta o dualitě)

EKONOMICKÁ INTERPRETACE DUÁLNÍCH PROMĚNNÝCH Př.: Podnik vyrábí 2 druhy výrobků V 1 a V 2. Tabulka udává spotřebu surovin S 1 a S 2 v kg na výrobu 1 ks výrobku V 1, resp. V 2 i disponibilní množství. Zisk z každého ks V 1 je 3 Kč a z 1 ks V 2 je 2 Kč. Stanovte opt. výrobní plán, aby podnik dosáhl max. zisku. VýrobkyDisponibilní množství V1V1 V2V2 S 1 [kg/ks] S 2 [kg/ks] Zisk [Kč]32max. x 1 … počet výrobků V 1 x 2 … počet výrobků V 2 V ektor výroby

PRIMÁRNÍ MAT. MODEL: Suroviny se zde transformují na výrobky a ty se prodávají. Uvažme přímý prodej surovin. Jaké by musely být ceny surovin, aby se jejich přímý prodej vyplatil? Označme neznámou cenu jednotkového množství - suroviny S 1 symbolem u 1, - suroviny S 2 symbolem u 2.

Celkové množství surovin se prodá za Odběratelé budou působit na to, aby celková suma byla co nejmenší, nelze stanovit cenu libovolně vysokou Pro podnik bude přijatelné, pokud za suroviny S 1 a S 2 získá alespoň tolik, kolik by za ně získal prodejem po transformaci na výrobky V 1 a V 2. TedyV1:V1: V2:V2: Ceny surovin jsou samozřejmě nezáporné: Získáváme duální matematický model:

ZPŮSOBY ŘEŠENÍ ÚLOH LP SIMPLEXOVÁ METODA (SM) Vycházíme z řešení, které je primárně přípustné a duálně nepřípustné. Pracujeme SM, která zachovává primární přípustnost. Pokračujeme tak dlouho, až najdeme řešení, které je také duálně přípustné, tzn. optimální. DUÁLNĚ SIMPLEXOVÁ METODA (DSM) Vycházíme z řešení, které je duálně přípustné a primárně nepřípustné. Pracujeme DSM, která zachovává duální přípustnost. Pokračujeme tak dlouho, až najdeme řešení, které je také primárně přípustné, tzn. optimální.

DUÁLNĚ SIMPLEXOVÁ METODA Definice: Řešení se nazývá PRIMÁRNĚ PŘÍPUSTNÉ, jestliže splňuje všechny vlastní omezující podmínky a podmínky nezápornosti (dosud jsme v tomto smyslu užívali pojem přípustné řešení). Řešení se nazývá DUÁLNĚ PŘÍPUSTNÉ, jestliže koeficienty v anulované účelové funkci jsou: nezáporné ……… u maximalizační úlohy VĚTA: Řešení je současně primárně i duálně přípustné  řešení je optimální. Pozn.: Řešení je duálně přípustné, je-li přípustným řešením DÚ. Řešení je primárně přípustné, je-li přípustným řešením PÚ. nekladné ……… u minimalizační úlohy

POSTUP DSM:vycházíme z duálně přípustného řešení 1) Stanovíme klíčový řádek - určíme.  Je-li řešení je i prim. příp., tzn. je optimální.  Je-li máme optimální řešení. Dané řešení je DEGENEROVANÉ.  Je-li je nutno pokračovat ve výpočtu, r-tý řádek je klíčový. 2)Určíme klíčový sloupec. Uvažujeme záporné koeficienty klíčového řádku, tj.. 3)Určíme podíly pro. 4)Určíme - tím je určen klíčový sloupec. 5)V průsečíku klíčového řádku a klíčového sloupce je pivot. Tabulka se přepočte úplnou eliminací (stejně jako u SM).

Př.: MOŽNOSTI ŘEŠENÍ TÉTO ÚLOHY: SM …bylo by zapotřebí používat pomocné proměnné i pomocnou účelovou funkci (metoda umělé báze). Určit duální úlohu a tu vyřešit SM. Použít DSM.