Geometrická posloupnost – základní pojmy

Prezentace na téma: "Geometrická posloupnost – základní pojmy"— Transkript prezentace:

1 Geometrická posloupnost – základní pojmy
Střední odborná škola Otrokovice Geometrická posloupnost – základní pojmy Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Iva Kočtúchová Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 Charakteristika DUM Název školy a adresa
Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ /2 Autor Mgr. Iva Kočtúchová Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-ME-M/4-MA-2/10 Název DUM Geometrická posloupnost – základní pojmy Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 26-41-L/01 Obor vzdělávání Mechanik elektronik Vyučovací předmět Matematika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 18 – 19 let Anotace Výukový materiál je určený k základních pojmů geometrické posloupnosti náplň: prezentace k výkladu o geometrické posloupnosti Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Geometrická posloupnost, kvocient, základní vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti Datum

3 Geometrická posloupnost – základní pojmy
Náplň výuky Geometrická posloupnost Kvocient Základní vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti Ukázkové úlohy na geometrickou posloupnost

4 Geometrická posloupnost
Posloupnost, ve které je podíl každých dvou po sobě jdoucích členů konstantní, se nazývá geometrická. Podíl 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a značíme ho q

5 Vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti
výpočet n-tého členu: ∀n∈N; a n = a 1 . q n−1 vzorec pro dva libovolné členy: ∀r,s∈N; a r = a s . q r−s součet prvních n členů: ∀n∈N; s n = a 1 . q n −1 q−1 , pokud q≠1 ( s n =n. a 1 , pokud q=1)

6 Odvození vzorce pro n-tý člen
V geometrické posloupnosti je dáno: 𝑎 1 , 𝑞 Dále platí: 𝑎 2 = 𝑎 1 .𝑞 𝑎 3 = 𝑎 2 .𝑞= 𝑎 1 .𝑞.𝑞= 𝑎 1 . 𝑞 2 𝑎 4 = 𝑎 3 .𝑞=…= 𝑎 1 . 𝑞 3 𝑎 5 = 𝑎 4 .𝑞=…= 𝑎 1 . 𝑞 4 atd. …. a n = a 1 . q n−1

7 Řešené příklady: Určete pátý člen geometrické posloupnosti, pro kterou platí: 𝑎 1 =−6, 𝑞=3 Použijeme vzorec pro výpočet n-tého členu 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛−1 𝑎 5 = 𝑎 1 . 𝑞 5−1 Dosadíme 𝑎 5 =−6. 3 4 𝑎 5 =−6 . 81 𝑎 5 =−486 Pátý člen geometrické posloupnosti je roven -486

8 2. Určete součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti, pro
kterou platí: 𝑎 1 =3;𝑞= 1 2 Použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti s n = a 1 . q n −1 q−1 𝑠 5 = 𝑎 1 . 𝑞 5 −1 𝑞−1 Dosadíme 𝑠 5 = − −1 = −1 1−2 2 =3. 1− − 1 2 =3. − − 1 2 = = = Součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti je

9 kvocient této posloupnosti.
3. V geometrické posloupnosti je dáno: 𝑎 5 =−8; 𝑎 8 =−64. Určete první člen a kvocient této posloupnosti. Oba členy si vyjádříme pomoci prvního členu a kvocientu 𝑎 5 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑎 8 = 𝑎 1 . 𝑞 7 Po dosazení řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých metodou dosazovací −8= 𝑎 1 . 𝑞 4 −64= 𝑎 1 . 𝑞 7 Z první rovnice vyjádříme 𝑎 1 a dosadíme do druhé rovnice 𝑎 1 = −8 𝑞 ⇒ −64= −8 𝑞 4 . 𝑞 7 8= 𝑞 3 𝑞=2 Dopočítáme 𝑎 1 𝑎 1 = − ⇒ 𝑎 1 =− 1 2 Řešení : 𝑎 1 =− 1 2 ;𝑞=2

10 Jiný způsob řešení užijeme vzorec 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑠. 𝑞 𝑟−𝑠 𝑎 8 = 𝑎 5
Jiný způsob řešení užijeme vzorec 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑠 . 𝑞 𝑟−𝑠 𝑎 8 = 𝑎 5 . 𝑞 8−5 −64=−8. 𝑞 3 𝑞 3 =8 𝑞=2 dopočítáme první člen dosazením do vzorce 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛−1 zvolíme např. 𝑎 5 𝑎 5 = 𝑎 1 . 𝑞 5−1 −8= 𝑎 𝑎 1 =− 1 2

11 4. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, jestliže
a 1 − a 2 + a 3 = 15, a 4 − a 5 + a 6 =120 Každý člen posloupnosti vyjádříme pomoci prvního členu a kvocientu: 𝑎 1 − 𝑎 2 + 𝑎 3 = 15 𝑎 4 − 𝑎 5 + 𝑎 6 =120 𝑎 1 − 𝑎 1 .𝑞 + 𝑎 1 . 𝑞 2 = 15 𝑎 1 . 𝑞 3 − 𝑎 1 . 𝑞 4 + 𝑎 1 . 𝑞 5 =120 V první rovnici vytkneme 𝑎 1, ve druhé 𝑎 1 , 𝑞 3 𝑎 1 . 1−𝑞+ 𝑞 2 =15 𝑎 1 . 𝑞 3 . 1−𝑞+ 𝑞 2 =120 Z první rovnice vyjádříme 𝑎 1 a dosadíme do druhé rovnice 𝑎 1 = 15 1−𝑞+ 𝑞 ⇒ −𝑞+ 𝑞 2 . 𝑞 3 . 1−𝑞+ 𝑞 2 =120 Po zkrácení platí 15. 𝑞 3 =120 Řešením rovnice dostaneme 𝑞 3 =8 𝑞= š ⇒ 𝑞=2 Dosazením dopočítáme 𝑎 1 𝑎 1 = 15 1− ⇒ 𝑎 1 =5 Řešení: a 1 =5;q=2

12 Kontrolní otázky: Jaký je rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností? Co je to kvocient geometrické posloupnosti? Jaké znáš vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti?

13 Seznam obrázků:

14 Seznam použité literatury:

15 Děkuji za pozornost 