Materiály jsou určeny pro výuku matematiky:

Prezentace na téma: "Materiály jsou určeny pro výuku matematiky:"— Transkript prezentace:

1 Materiály jsou určeny pro výuku matematiky:
3. ročník, Ekonomické lyceum Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová 1 1

2 Goniometrický tvar komplexního čísla (GT KČ)
2

3 Lze nalézt obraz KČ a jiným způsobem?
Hledáme tvar zápisu, který bude používat nové charakteristiky: |a|, α. Lze nalézt obraz KČ a jiným způsobem? y a = a1 + a2i a2 |a| α x a1

4 Bod M je obrazem komplexní jednotky m:
1 M = [m1; m2] = [cos α; sin α] m2 1 učivo 2. ročníku – goniometrické funkce obecného úhlu (souřadnice bodu na jednotkové kružnici) r = 1 α x –1 m1 1 –1

5 trojúhelníky podobné:
Bod A je obrazem hledaného KČ a: y A = [a1; a2] a2 |a| 1 m2 M = [m1; m2] = [cos α; sin α] 1 trojúhelníky podobné: r = 1 α x –1 m1 a1 1 –1

6 Goniometrický tvar (GT)
se nazývá zápis: , kde |a| je vzdálenost KČ od počátku, |a|  R+ (vždy číslo kladné),  je argument KČ – úhel, který svírá vektor 0A s kladnou částí osy x, Z  0; 2 ) je základní argument KČ

7 POZOR! Komplexnímu číslu 0 nepřiřazujeme goniometrický tvar.

8 a = a1 + a2i = |a|.(cosα + i.sinα)
Charakteristiky zápisu v AT, GT y GT KČ a = |a|.(cos + i.sin) využívá: |a|: vzdálenost daného KČ od počátku, : velikost úhlu, který svírá vektor spojující počátek a obraz daného KČ s kladnou částí osy x. AT KČ a = a1 + a2i využívá: a1, a2: kolmé průměty obrazu daného KČ do souřadných os a2 a = a1 + a2i a = |a|.(cosα + i.sinα) a = a1 + a2i = |a|.(cosα + i.sinα) |a| AT GT α x a1 r = |a|

9 Orientovaný úhel představuje v rovině uspořádanou dvojici polopřímek. Uspořádanou dvojici polopřímek chápeme tak, že jedna z nich je první, nazýváme ji počátečním ramenem orientovaného úhlu, a druhou nazýváme koncovým ramenem orientovaného úhlu. y x koncové rameno orientovaného úhlu α vrchol počáteční rameno orientovaného úhlu !!! vždy kladná část souřadné osy x

10 Velikost orientovaného úhlu
uvádíme v míře stupňové jednotka je 1 stupeň obloukové jednotka 1 radián

11 Velikost každého orientovaného úhlu  lze vyjádřit pomocí základní velikosti úhlu Z
0  Z  360 pro stupňovou míru, 0  Z  2 pro obloukovou míru, a pro každé celé číslo k platí:

12  ~ Z k vyjádření KČ lze vždy použít základní argument
KČ vyjadřujeme vždy pomocí Z y x koncové rameno α αZ počáteční rameno pozice počátečního a koncového ramene obou úhlů je stejná:  ~ Z

13  = Z + k . 360 například: 1 500 ~ 60,
protože 1 500 = 60  „1 500 : 360 = 4, =60° „ 2 040 ~ 240, protože 2 040 = 240  „2 040 : 360 = 5, = 240“

14  = Z + 2k = Z + k .2 například: ~ , ~ ,
~ , 51:4=12,75 odečteme 12 (sudý násobek) a zbytek je základní úhel ~ , 17:3=5,66 odečteme 4 (sudý násobek) a zbytek je základní úhel

15 Příklad: Zapište dané KČ pomocí hodnoty základního argumentu
 > 360 „1 440 : 360 = 4, zbytek 0 “

16  > 360 „900 : 360 = 2, = 180“  > 360 „380 : 360 = 1, = 20“

17 19:2=9,5 odečteme sudý násobek , tedy 8
 > 2 19:2=9,5 odečteme sudý násobek , tedy 8

18  > 2

19  > 2

20

21

22

23

24 Znázornění KČ pomocí charakteristik GT

25 Příklad: Znázorněte graficky KČ
x y 2 z 45 r = 2 –2 2 –2

26 x y 210 z

27 x y z 125,4

28  > 360 x y 1 300 –1 1 z –1

29 y z x y x z

30 y z x y z x

31 y x z y x z

32 y z x y z x

33 y x z y x z

34 Převod AT na GT

35 počáteční rameno = koncové rameno
KČ reálné kladné: obrazy těchto KČ leží v kladné části osy x  Z = 0 = 0 rad například: a = 4 | a | = + 4 y x |a| 4 počáteční rameno = koncové rameno AT GT

36 KČ reálné záporné: | a | = + 2
obrazy těchto KČ leží v záporné části osy x  Z = 180 =  rad například: a = –2 | a | = + 2 y x 180 –2 |a| AT GT

37 KČ ryze imaginární kladné:
obrazy těchto KČ leží v kladné části osy y  Z = 90 = rad například: a = 3i | a | = + 3 y x 3i |a| 90 AT GT

38 KČ ryze imaginární záporné:
obrazy těchto KČ leží v záporné části osy y  Z = 270 = rad například: a = –2i | a | = + 2 y x 270 |a| –2i AT GT

39 Příklad: Zapište daná KČ v GT

40

41

42

43 KČ imaginární (neleží na souřadných osách)
y x a1 + a2i a2 |a| a2  a1 a1

44 Hodnoty goniometrické funkce sinus (2. ročník)
„tabulkové hodnoty“ x´ (stupně) 0°/ 30°/ 45°/ 60°/ 90°/ sin x´ I. kv.: x´ II. kv.: 180° – x´ =  – x´ III. kv.: 180° + x´ =  + x´ IV. kv.: 360° – x´ = 2 – x´ + – 1 –1 ostatní úhly určíte pomocí kalkulačky

45 Hodnoty goniometrické funkce cos (2. ročník)
„tabulkové hodnoty“ x´ (stupně) 0°/ 30°/ 45°/ 60°/ 90°/ cos x´ I. kv.: x´ II. kv.: 180° – x´ =  – x´ III. kv.: 180° + x´ =  + x´ IV. kv.: 360° – x´ = 2 – x´ + – 1 –1 ostatní úhly určíte pomocí kalkulačky

46 Příklad: Zapište daná KČ v GT
... I. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 45º

47 ... IV. kvadrant III. nebo IV. kvadrant ´= 60º

48 ... II. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 45º

49 ... III. kvadrant III. nebo IV. kvadrant ´= 45º

50 ... II. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 63º 26´

51 ... III. kvadrant III. nebo IV. kvadrant ´= 53º 08´

52 ... II. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 60º

53 ... I. kvadrant I. nebo II kvadrant ´= 30º

54

55 Příklad: Zapište daná KČ v GT

56

57

58 Převod GT na AT

59 Postup Argument KČ převeďte z obloukové míry na stupňovou pro lepší srozumitelnost. Určete hodnoty goniometrických funkcí kosinus a sinus pomocí tabulek – pro hodnoty argumentu 0, 30, 45, 60, 90 a jejich násobků, kalkulátoru – pro zbylé hodnoty argumentu. Roznásobte tyto hodnoty vzdáleností KČ od počátku.

60 například: 30 ... tabulková hodnota

61 90 ... tabulková hodnota – MFCHT, str. 32
220 ... není tabulková hodnota – kalkulátor

62

63

64 Z příkladů je zřejmé, že je mnohem snadnější převést zápis KČ z AT na GT než-li naopak.

65 Příklad: Zapište daná KČ v AT

66

67