5. 2. Zpomalování v nekonečném prostředí při

Prezentace na téma: "5. 2. Zpomalování v nekonečném prostředí při"— Transkript prezentace:

1 5. 2. Zpomalování v nekonečném prostředí při
5.2. Zpomalování v nekonečném prostředí při prostorové nezávislosti hustoty toku neutronů - studium energetického rozložení zpomalovaných neutronů v nekonečném homogenním a izotropním prostředí Hustota zpomalení charakterizuje rychlost, s jakou zpomalující se neutrony procházejí určitou hodnotou energie E nezávisí na proměnné, která charakterizuje pohybový stav neutonu

2 5.2.2. Zpomalování v nekonečném homogenním prostředí bez absorpce
platí: n(E) - počet neutronů v objemové jednotce, který připadá na jednotkový interval energie okolo E (E) - rychlost neutronů odpovídající energii E - z rovnosti diferenciálních hustoto toku neutronů vyjádřených pomocí proměnných E a u dostaneme:

3 I. Zpomalování ve vodíku
při jedné srážce může neutron ztratit všechnu svoji energii Obr. 5.6 – Energetický diagram pro zpomalování ve vodíku

4 Hustota srážek – F(E’) – počet rozptylových srážek uskutečněných v jednotkovém objemu za jednotku času v jednotkovém intervalu energie v okolí energie E' Počet rozptylových srážek uskutečněných v 1cm3 za 1s v intervalu energie od E' do E'+dE' je F(E')dE'. Po těchto srážkách budou energie neutronů, které měly energii E' v intervalu mezi E' a nulou. Pak bude: - část neutronů, které se rozptýlí do elementárního intervalu energie dE,   počet neutronů rozptýlených z intervalu dE' do intervalu dE v 1m3 za 1s,   celkový počet neutronů rozptýlených do dE za předpokladu, že předtím prodělaly alespoň jednu srážku

5 Celkový počet neutronů rozptýlených z elementu dE v 1m3 za 1s je v ustáleném stavu roven počtu neutronů rozptýlených do tohoto elementu: Hustota srážek: v diferenciálním tvaru: Obecné řešení diferenciální rovnice: Použitím okrajové podmínky dostaneme: hustota srážek: hustota toku:

6 Z celkového počtu neutronů, které prodělaly srážky v elementu dE', část E/dE' se zpomalí pod energii E. Pak bude: - počet neutronů v 1m3 za 1s, které se následkem rozptylu v intervalu dE' zpomalí pod energii E - celkový počet neutronů, které se zpomalí pod energii E a které předtím prodělají alespoň jednu srážku Přičteme počet neutronu, které se zpomalí pod energii E při prvních srážkách po emisi ze zdroje. hustota zpomalení ve vodíkovém prostředí: V nekonečném vodíkovém prostředí bez absorpce neutronů je hustota zpomalení konstantní, nezávislá na energii a je rovna vydatnosti zdroje.

7 II. Zpomalování v prostředí s A >1
energetický interval rozdělíme na několik částí a každou část budeme zkoumat zvlášť 1. Interval první srážky (E0 < E < E0) Obr.5.7– Energetický diagram pro zpomalování intervalu první srážky

8 - podíl neutronů rozptýlených do elementu dE
- počet neutronů, které se po srážce v elementu dE' rozptýlí do elementu dE - celkový počet neutronů, které se rozptýlí do elementu dE po předchozím rozptylu v intervalu energie od E0 do E - část neutronů ze zdroje, která se rozptýlí do elementu dE - celkový počet neutronů rozptýlených do elementu dE po první srážce

9 Podmínka rovnováhy v ustáleném stavu – počet neutronů, které v 1m3 opouštějí za 1s element dE a celkový počet neutronů, které jsou do elementu dE rozptýleny musí být stejný hustota srážek: resp. Řešení diferenciální rovnice: kde Hustota srážek v závislosti na letargii:

10 2. Oblast energií menších než E0 (E < E0)
zdroje neutronů nemohou bezprostředně přispívat k počtů neutronů rozptýlených do elementu dE po srážce v elementu dE' Hustota srážek připadající na jednotkový interval energie v okolí E: Obr.5.8– Energetický diagram pro zpomalování v intervalu druhé srážky

11 Integraci rozdělíme na dvě části podle přechodu z intervalu druhých srážek do intervalu prvních srážek: resp. Řešení diferenciální rovnice: Využili jsme limitní hodnoty:

12 Srovnáme hustoty srážek F1(E) a F2(E) při E=aE:
můžeme napsat: Hustota srážek F(E) je nespojitou funkcí pro E=a E0. Rozdíl F1(a E0 )-F2(a E0 ) udává hodnotu skoku funkce F(E) v bodě E=a E0 Pokud odvodíme hustoty srážek Fn(E), n=1, 2, … , zjistíme, že nespojitost se projeví vždy při (n-1) derivaci.

13 3. Asymptotická oblast (E << a E0)
Energetický diagram pro odvození hustoty zpomalení v asymptotické oblasti: Obr. 5.9

14 Hustota srážek v n-tém intervalu je vyjádřena vztahem:
Pro vysoké n můžeme psát: Řešení rovnice má tvar: , kde C je konstanta zavedeme distribuční funkci H(E), potom celkový počet neutronů rozptýlených z elementu dE' pod energií E bude F(E’)dE’

15 Integrací dostaneme hustotu zpomalení:
k hustotě zpomalení nemohou bezprostředně přispívat neutrony zdroje dosazením předpokládaného tvaru řešení dostaneme: při zpomalování v nekonečném rozptylujícím prostředí nedochází k absorpci ani k úniku, je hustota zpomalení konstantní a musí se rovnat vydatnosti zdroje q0: 

16 Obr.5.10– Hustota srážek F0(u) v rozptylujícím prostředí pro různé hodnoty A

17 Aproximace průměrného logaritmického dektementu energie
pokud dE odpovídá du, pak počet srážek potřebný pro snížení energie o dE bude roven počtu srážek při změně letargie o du , kde  je průměrná změna letargie na jednu srážku Víme, že q(u)=q(E) a Po dosazení:  Obr – Aproximace veličiny 

18 5.2.3. Zpomalování v nekonečném prostředí s absorpcí
Při každé srážce neutronu s jádrem existuje jistá pravděpodobnost pohlcení neutronu. Pravděpodobnost pohlcení neutronu při srážce je rovna: a pravděpodobnost rozptylu: kde St(E)=Sa(E)+Ss(E) je totální makroskopický účinný průřez při energii E. Neutron může být během zpomalovacího procesu pohlcen.  q(E) nebude konstantní

19 I. Zpomalování s absorpcí ve vodíku
prostředí tvořené homogenní směsí vodíku a těžkého absorbátoru (např. uran) předpoklady pro přesné řešení rovnice pro hustotu zpomalení: nekonečné prostředí je tvořeno pouze vodíkem (A=1); jinými slovy předpokládáme, že jádra uranu jsou nekonečně veliká (x=0); proto při rozptylu na jádrech uranu nedochází ke změně energie neutronu účinný průřez pro absorpci neutronů je různý od nuly (Sa0) vydatnost zdroje neutronů s energií E0 se rovná q0 jádra vodíku jsou v klidu

20 Hustota srážek: V ustáleném stavu je počet neutronů, které vstupují do elementárního intervalu energie dE po rozptylu na jádrech vodíku, bude roven počtu neutronů, které jsou rozptýleny z elementu dE zvětšenému o počet absorbovaných neutronů v tomto elementu, tj. První člen představuje celkový počet neutronů s energií E0 rozptýlených do elementu dE po první srážce s respektováním absorpce. Sa(E0) << Ss(E0), tj. Ps(E0) 1 (absorpce je významnější pro energie menší než E0, tj.:

21 V diferenciálním tvaru:
Po separaci proměnných a integraci dostaneme: Víme, že: a Ps(E’) = 1-Pa(E’) 

22 Pravděpodobnost rezonančního záchytu při zpomalování ve vodíku
Odpovídající integrální rovnice: S využitím vztahu pro hustotu srážek obdržíme pro hustotu zpomalení: Exponenciální funkci v předchozí rovnici označíme symbolem p(E), má význam pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu při zpomalování ve vodíku:

23 Obr. 5. 12 – Rezonance v účinném průřezu pro absorpci:
Obr – Rezonance v účinném průřezu pro absorpci: a) struktura rezonance b) široká rezonance

24 Charakteristika rezonancí:
- maximální hodnotou účinného průřezu pro absorpci v rezonančním i-tém píku, - šířkou rezonance (zpravidla šířka rezonančního píku v polovině maximální hodnoty ) Rezonance je úzká  Na předchozím obrázku můžeme rezonanci při energii Er1 považovat za úzkou a rezonanci při Er2 za rezonanci širokou.

25 II. Zpomalování s absorpcí v prostředí s A>1
v prostředí s A > 1 se při rezonanční absorpci uplatňují neutrony s energií nižší než je energie neutronů ze zdroje využijeme podmínku rovnováhy pro asymptotickou oblast, tj. pro E << aE0 Tuto rovnici již nelze převést derivováním na jednoduchou diferenciální rovnici a řešit ji pomocí okrajové podmínky pro E=E0, protože její pravá strana je funkcí jak E tak E/a.

26 Odvodíme nyní vztahy pro pravděpodobnost úniku rezonančnímu
záchytu pro tyto případy : když rezonance jsou úzké a daleko od sebe - Wignerova aproximace pro velmi slabé rezonance - Fermiho aproximace když absorpční účinný průřez se mění pozvolna - Goertzel-Greulingova aproximace

27 a) Wignerova aproximace
víme že oblast, ve které hustota srážek osciluje, je v rozmezí od energie zdroje E0 až asi do energie a3E0 a pak se ustálí na konstantní hodnotě úzká rezonance působí jako záporný zdroj neutronů a způsobuje poruchu v hustotě srážek v oblasti energie od rezonanční energie Er až do E >> a3Er tento závěr vyjádříme pomocí letargie, obdržíme interval letargie, ve kterém dochází k fluktuacím hustoty srážek v rozmezí u - ur = ln(1/a) pokud jsou další rezonance od sebe vzdáleny asi o hodnotu 4 ln(1/a), je absorpce v oblasti další rezonance nezávislá na jejich vzdálenosti.

28 Pro další odvozování učiníme následující předpoklady :
Rezonance můžeme považovat za úzké, tj. šířky rezonancí ve stupnici letargie jsou malé ve srovnání s průměrnou změnou letargie při jedné srážce x. Rezonance jsou v asymptotické oblasti energie, tj. V intervalech mezi rezonancemi je absorpční průřez nulový. Za těchto předpokladů je hustota srážek F(u) konstantní pro E>Er1 alespoň do Er1, kde Er1 je energie maxima první rezonance. Pokud bude DEr1 šířka první rezonance, f(Er1) zeslabená hustota toku při Er1 a fo(Er1) hustota toku neutronů nezeslabená absorpcí, pak bude: Sa(Er1) f(Er1) DEr1 - počet neutronů zachycených v intervalu DEr1, Ss(Er1) fo(Er1) DEr1 - počet neutronů vstupujících do intervalu DEr1

29 Rovnost mezi celkovým počtem neutronů vstupujících do intervalu DEr1 a počtem neutronů opouštějících tento interval, zvětšenému o počet neutronů v něm absorbovaných: Za hustotu toku neutronů dosadíme:  Pravděpodobnost zachycení neutronu v intervalu energie Er1:

30 Pravděpodobnost, že neutrony nebudou zachyceny v první rezonanci:
Pravděpodobnost, že neutrony nebudou zachyceny v druhé rezonanci: Pravděpodobnost, že neutrony při zpomalování nebudou absorbovány v prvních dvou rezonancích: Pokud má absorpční účinný průřez v dané oblasti n úzkých rezonancí, pravděpodobnost, že neutron nebude v těchto rezonancích absorbován:

31 Zlogaritmováním, použitím Taylorova rozvoje pro logaritmus a omezením na první člen tohoto rozvoje dostaneme: Rozdělením rezonanční oblasti na m úzkých intervalů energie šířky DEj : Pravděpodobnost, že neutron nebude rezonančně pohlcen: Dosazením za Pa(E') 

32 Ke stejnému závěru můžeme dospět i jinak
Ke stejnému závěru můžeme dospět i jinak. Předpokládejme, že nekonečný monoenergetický zdroj neutronů ve zpomalujícím prostředí má při letargii u=0 jednotkovou vydatnost, tj. q0 = 1 neutron/m3s, pak hustota zpomalení q(u) při u se rovná pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu p(u) při u: Počet neutronů absorbovaných v 1 m3 za 1 s během zpomalování na letargii u je 1-p(u). Hustota srážek v asymptotické oblasti při Sa = 0 a při q0 = 1/m3s je rovna 1/x. Při zpomalování na letargii u je však neutronů absorbováno. Celková hustota srážek v asymptotické oblasti: Po transformaci proměnných: kde e=ln(1/a).

33 Hustota zpomalování v asymptotické oblasti:
Hustota zpomalení q(u) klesá s letargií u účinkem absorpce neutronů v intervalu od u do u+du z hodnoty q na hodnotu q-dq. Můžeme psát: a po úpravě: po integraci: Vztah byl odvozen za předpokladu, že neutrony ze zdroje mají vysokou energii a že absorpce se uplatňuje při energiích podstatně nižších a oscilace způsobené zdrojem nehrají žádnou roli.

34 Wignerova aproximace pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu:
Platí přesně pouze pro vodík, to je způsobeno tím, že ve vodíku nevznikají oscilace v hustotě srážek v blízkosti zdroje. Přesnější vyjádření hustoty srážek s respektováním oscilací vyvolaných rezonancemi:

35 b) Fermiho aproximace případ tzv. velmi slabé absorpce Sa(E)<<Ss(E), tj. hustota srážek v asymptotické oblasti se nebude lišit od hodnoty, kterou bychom očekávali, kdyby nebylo absorpce, proto můžeme zanedbat oscilace od rezonancí 

36 c) Goertzel–Greulingova aproximace
účinný průřez pro absorpci se mění se změnou energie pozvolna Hustota zpomalení v nekonečném prostředí, ve kterém vznikají neutrony s energií E0 , (u0=0), pro letargie u >ln(1/a): Pokud se hustota srážek Fs(u) v intervalu letargie mění pomalu, můžeme použít Taylorova rozvoje v okolí bodu u = u’ ( stačí první dva členy) a po dosazení:

37 Po integraci: položíme: dostaneme: Změna hustoty zpomalení je způsobena ztrátou neutronů absorpcí: Pro malou absorpci v prvním přiblížení platí: 

38 Vyloučením derivace ze vztahu pro hustotu zpomalení dostaneme:
Rovnice je vhodným přiblížením asymptotického vztahu mezi hustotou zpomalení a hustotou toku neutronů pro moderující prostředí, ve kterém se hustota srážek nemění příliš rychle se změnou letargie. Vyloučením funkce F(u) dostaneme diferenciální rovnici: a po integraci:

39 Pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu:
Po zavedení proměnné E  Goertzel-Greulingova aproximace

40 5.2.4. Zpomalování v prostředí tvořeném několika druhy jader
Předpoklad: energie neutronů E<< aE0 ,tj. uvažujeme asymptotickou oblast, pro kterou lze snadno odvodit vztahy pro hustotu srážek F(E) i hustotu zpomalení q(E). - počet neutronů rozptýlených v jednotkovém objemu za 1s jádry i-tého druhu v elementu dE' - podíl neutronů rozptýlených do elementu dE - počet neutronů rozptýlených do elementu dE z elementu dE’ jádry i-tého druhu - celkový počet neutronů rozptýlených do intervalu dE jádry i-tého druhu, kde

41 Podmínka rovnováhy neutronů v prostředí s N druhy jader :
Pravděpodobnost rozptylu na jádrech i-tého druhu: platí: a Po dosazení dostaneme: Celková hustota zpomalení:

42 Vezmeme řešení pro hustotu srážek ve tvaru F(E) = C/E, kde C je konstanta. Potom:
V asymptotické oblasti se celková hustota zpomalení rovná vydatnosti zdroje q0, proto 

43 Střední hodnotu veličiny x vzhledem ke všem druhům jader obsažených ve zpomalujícím prostředí určíme jako vážený průměr hodnot i : Dosazením do vztahu pro hustotu srážek dostaneme: