Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Prezentace na téma: "Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze."— Transkript prezentace:

1 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Goniometrické funkce Autor © Mgr. Radomír Macháň Goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku: Funkce sinus

2 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Opakování − Podobnost trojúhelníků Věta o podobnosti trojúhelníků: sss Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

3 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Opakování − Podobnost trojúhelníků Věta o podobnosti trojúhelníků: uu Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné. Víš, proč jen „dva úhly“? Jelikož součet všech tří úhlů je 180°, i třetí dvojice úhlů se musí rovnat.

4 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Opakování − Podobnost trojúhelníků A na závěr ještě věta o podobnosti trojúhelníků třetí: sus Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

5 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Opakování − Podobnost trojúhelníků Zápis podobnosti:  ABC   XYZ

6 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Věta o podobnosti trojúhelníků: sss Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

7 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Ze vztahu mezi stranami různých trojúhelníků… … jsme získali vztah mezi stranami téhož trojúhelníku. Dva trojúhelníky jsou si podobné, když mají stejný poměr kratší odvěsny a přepony (podle našeho obrázku).

8 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a c x z α α

9 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku. a c x z α α Všechny pravoúhlé trojúhelníky se stejným ostrým úhlem α jsou si podobné. Dokážeš zdůvodnit toto tvrzení? Ano. Plyne to z věty o podobnosti trojúhelníků: uu.

10 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a c x z α α Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník s ostrým úhlem o velikosti α tedy získáme stejný poměr některých dvou stran. V našem případě protilehlé odvěsny a přepony.

11 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a c x z α α Poměr protilehlé odvěsny a přepony je tedy dán velikostí úhlu α a je úplně jedno, přes jaký pravoúhlý trojúhelník ho vypočítáme. Poměr protilehlé odvěsny a přepony je vlastně funkcí daného úhlu.

12 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a c x z α α Tuto funkci nazýváme sinus a je velmi důležitá jako spojnice mezi úhly (tvarem) a stranami (velikostí).

13 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a c x z α α sin α = _________________ protilehlá odvěsna přepona Sinus úhlu αje poměr protilehlé odvěsny a přepony.

14 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze... Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku b c y z sin β = _________________ protilehlá odvěsna přepona Sinus úhlu βje poměr protilehlé odvěsny a přepony. β β

15 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Určení funkčních hodnot funkce sinus sin α = _________________ protilehlá odvěsna přepona

16 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Určení funkčních hodnot funkce sinus sin α = _________________ protilehlá odvěsna přepona Nejde přesně změřit, a proto si přesnou velikost vypočítáme. Víte, jak?

17 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Určení funkčních hodnot funkce sinus sin α = _________________ protilehlá odvěsna přepona př 2 = od 2 + od 2 b 2 = a 2 + c 2 Ano. Pomůže nám Pythagorova věta. Co můžeme tvrdit o velikosti odvěsen?

18 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Určení funkčních hodnot funkce sinus sin α = _________________ protilehlá odvěsna přepona př 2 = od 2 + od 2 b 2 = a 2 + c 2 8 2 = a 2 + a 2 Odvěsny jsou stejně dlouhé. Proč? Protože trojúhelník je rovnoramenný, a tak a = c. 64 = 2a 2 64 : 2 = a 2 32 = a 2

19 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Tabulka základních funkčních hodnot funkce sinus α0°30°45°60°90° sin α Další hodnoty lze najít v tabulkách, případně určit pomocí kalkulačky. Jednou z moderních možností však jsou i on-line kalkulátory na internetu (viz následující snímek).

20 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. On-line kalkulátor goniometrických funkcí Uveřejněný odkaz [cit. 2010-23-09]. Dostupný z WWW: http://easycalculation.com/trigonometry/trigonometry.php http://easycalculation.com/trigonometry/trigonometry.php Tady zadej velikost úhlu… … a tady zjistíš hodnotu funkce sinus.

21 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Využití goniometrických funkcí pravoúhlého trojúhelníku 1) K výpočtu velikosti vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníku, známe-li jeho přeponu a odvěsnu k určovanému úhlu protilehlou. Příklad: Urči velikost úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Jedna odvěsna měří 5 cm, přepona 13 cm.

22 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Využití goniometrických funkcí pravoúhlého trojúhelníku 2) K výpočtu velikosti přepony či odvěsny protilehlé ke známému úhlu, pokud jednu z nich známe. Příklad: Urči přeponu a pravoúhlého trojúhelníku, má-li strana b velikost 5 cm a úhel β = 22°37´.