Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie

Prezentace na téma: "Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie"— Transkript prezentace:

1 Mgr. Martin Krajíc 2.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie
Název projektu: Moderní škola Vzdálenost bodů Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

2 Vzdálenost bodů - úvod Vzdálenost dvou bodů můžeme zjistit:
měřením - pomocí pravítka početně – pomocí souřadnic bodů

3 Vzdálenost bodů – v rovině
Určení vzdálenosti dvou bodů v rovině početně: na určení vzdálenosti dvou bodů existuje vzorec, dokážeme si jeho platnost narýsujeme si v rovině kartézskou soustavu souřadnic, vyznačíme si v ní dva různé body X,Y vyznačené body mají souřadnice X[x1, x2], Y[y1, y2] body X,Y doplníme na pravoúhlý trojúhelník XYZ (přeponou je strana XY, odvěsny jsou rovnoběžné s osami x,y)

4 Vzdálenost bodů – v rovině
y y Y x X Z[y1, x2] x y x pro vzdálenosti stran XZ a YZ platí: |XZ| = |y1 – x1|, |YZ| = |y2 – x2| z Pythagorovy věty dostaneme: |XY|² = |XZ|² + |YZ|² |XY| =

5 Vzdálenost bodů – v prostoru
Určení vzdálenosti dvou bodů v prostoru početně: na určení vzdálenosti dvou bodů v prostoru opět existuje vzorec, dokážeme si jeho platnost narýsujeme si v prostoru kartézskou soustavu souřadnic, vyznačíme si v ní dva různé body X,Y vyznačené body mají souřadnice X[x1, x2, x3], Y[y1, y2, y3] k těmto bodům sestrojíme v rovině os x,y body X´ a Y´, které mají souřadnice X´[x1, x2, 0], Y´[y1, y2, 0] body X,Y doplníme na pravoúhlý trojúhelník XYZ (s pravým úhlem u vrcholu Z) bod Z má souřadnice: Z[y1, y2, x3]

6 Vzdálenost bodů – v prostoru
z Y X Z 0 y X´ x Y´

7 Vzdálenost bodů – v prostoru
pro vzdálenosti stran XZ a YZ platí: |XZ| = |X´Y´|, |YZ| = |y3 – x3| z Pythagorovy věty dostaneme: |XY|² = |XZ|² + |YZ|² |XY|² = |X´Y´|² + |y3 – x3|² vzdálenost bodů X´Y´ vypočteme podle vzorce pro vzdálenost dvou bodů v rovině (leží v rovině os x,y): |X´Y´|² = (y1 – x1)² + (y3 – x3)² po dosazení: |XY|² = (y1 – x1)² + (y3 – x3)² + (y3 – x3)² vzorec: |XY| =

8 Vzdálenost bodů – příklady
Př: Vypočti vzdálenost bodů M[3, -2, -4], N[-1, 0, -2]. |MN| =

9 Vzdálenost bodů – příklady
Př: Urči číslo x tak, aby platilo |MN| = 3 . Souřadnice bodů M,N jsou M[3, x, 2], N[-1, 0, x]. |MN| = = 3 = 3 = /² 16 + x² + x² - 4x + 4 = 9 . 2 2x² - 4x + 2 = /:2 x² - 2x + 1 = 0 (x – 1)² = 0 x = 1

10 Vzdálenost bodů – příklady
Př: Určete souřadnice bodu X, který leží na souřadnicové ose z. Bod X má od bodu K[4, -1, -5] třikrát větší vzdálenost než od bodu L[2, 1, 1]. |KX| = 3 |LX| = /² x² + 10x + 25 = 9 ( x² - 2x + 1) 2x² - 7x + 3 = 0 Po dosazení do vzorců na výpočet kvadratické rovnice dostaneme kořeny x1 = 3, x2 = ½. Souřadnice bodu X jsou X[0, 0, 3] nebo X[0, 0, ½]. bod X má souřadnice X[0, 0, x]

11 Vzdálenost bodů – samostatná práce
Př: Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): František Vymazal: „Mnohý žák prospívá špatně jen proto, že má ….. rozumu než učitel. 1) Vypočti vzdálenost bodů E[4, 3, 0], F[1, 5, 3]. a) V = b) M = 2) Vypočti vzdálenost bodů G[1, x, 2x], H[2x, 2, -2], kde x ɛ R. a) O = b) Í = 3 3) Urči číslo x tak, aby platilo |MN| = Souřadnice bodů M,N jsou M[2 + x, 2, 1], N[3, -x, 2]. a) C = {-2, 1} b) K = {-1, 2}

12 Vzdálenost bodů – správné řešení
František Vymazal: „Mnohý žák prospívá špatně jen proto, že má …….. rozumu než učitel. VÍC

13 Vzdálenost bodů – použitá literatura
KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. [online]. [cit ].