8. Kontingenční tabulky a χ2 test

Prezentace na téma: "8. Kontingenční tabulky a χ2 test"— Transkript prezentace:

1 8. Kontingenční tabulky a χ2 test
Znaménkový test a χ2 test Shrnutí statistických testů Kontingenční tabulky Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

2 Shrnutí statistických testů
Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický test Neparametrický test 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu. jednovýběrový t-test Wilcoxonův test; znaménkový test 2 skupiny dat nepárově Obě skupiny hodnot pochází ze stejného rozdělení. nepárový t-test Mann-Whitneyův test 2 skupiny dat párově Zkoumaný efekt mezi páry hodnot je nulový. Párový t-test shoda rozdělení rozdělení dat ve skupině odpovídá teoretickému (vybranému) rozdělení. Shapiro-Wilkův test; Kolmogorovův-Smirnovův test; Lilieforsův test χ2 test, test dobré shody homoskedasticita (shoda rozptylů) rozptyl obou (všech) skupin je shodný. Levenův test více skupin nepárově Zkoumaný efekt mezi skupinami hodnot je nulový. ANOVA Kruskal- Wallisův test korelace Neexistuje (příčinná, důsledková) vazba mezi skupinami hodnot. Pearsonův koeficient Spearmanův koeficient; Kendallův koeficient

3 Shrnutí statistických testů
ANO log arcsin Jsou data normálně rozdělená? NE Lze použít transformaci? NE ANO Kolomogorovův-Smirnovův test Shapiro-Wilkův test Kolik je skupin? Parametrické testy Kolik je skupin? více 2 2 více 1 1 Jsou data párová? Jsou data párová? Jsou data párová? Jsou data párová? ANO NE ANO NE ANO NE ANO NE Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? Co chci spočítat? test shody test shody test shody Levenův test korelaci test shody korelaci test shody korelaci korelaci test shody korelaci test shody korelaci test shody korelaci korelaci Mají sku- piny stejný rozptyl? Mají sku- piny stejný rozptyl? korelaci korelaci F test ANO NE ANO NE Nelze spočítat Jedno-výběro-vý t-test Pearso-nův kor. koef. Párový t-test Nelze spočítat Dvouvý běrový t-test Mann- Whitney U-test Sada Pears. kor. koef. ANOVA Kruskal-Wallisův test Nelze spočítat Wilco-xonův test Spear-manův/ Kendallův k. k. Wilco-xonův test Nelze spočítat Mann-Whitney U-test Nelze spočítat Kuskal-Wallisův test Nelze spočítat

4 Statistické testování – základní pojmy
Nulová hypotéza H0 H0: sledovaný efekt je nulový Alternativní hypotéza HA HA: sledovaný efekt je různý mezi skupinami Testová statistika Pozorovaná hodnota – Očekávaná hodnota Variabilita dat Testová statistika = * Velikost vzorku Kritický obor testové statistiky Statistické testování odpovídá na otázku zda je pozorovaný rozdíl náhodný či nikoliv. K odpovědi na otázku je využit statistický model – testová statistika. T Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 4

5 P-hodnota Významnost hypotézy hodnotíme dle získané tzv. p-hodnoty, která vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace výběru podporují H0, je-li pravdivá. P-hodnotu porovnáme s α (hladina významnosti, stanovujeme ji na 0,05, tzn., že připouštíme 5 % chybu testu, tedy, že zamítneme H0, ačkoliv ve skutečnosti platí). P-hodnotu získáme při testování hypotéz ve statistickém softwaru. Je-li p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme HA Je-li p-hodnota > α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α P-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost za platnosti H0, s níž bychom získali stejnou nebo extrémnější hodnotu testové statistiky. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita M. Cvanová

6 Test dobré shody - základní teorie
Testuje shodu reálné distribuce hodnot do n skupin s teoretickou distribucí. Předpokladem je, že velikost rozdílu mezi očekávaným a skutečným počtem hodnot v každé skupině je náhodně rozdělená → multinomické rozdělení. Součet druhých mocnin relativních rozdílů očekávaného a skutečného počtu hodnot má přibližně χ2 rozdělení. χ2 rozdělení pro kladné hodnoty (suma čtverců) se liší podle počtu stupňů volnosti k (počtu skupin) - se zvyšujícím se k přechází v normální rozdělení. 2 pozorovaná četnost - očekávaná četnost ∑ = očekávaná četnost Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

7 Test dobré shody - základní teorie
2 2 pozorovaná četnost - očekávaná četnost pozorovaná četnost - očekávaná četnost = + + očekávaná četnost očekávaná četnost … 1. jev 2. jev Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

8 Očekávané četnosti V případě platnosti nulové hypotézy je poměr mezi buňkami jednoho sloupce v různých řádcích nezávislý na výběru tohoto sloupce. V případě platnosti nulové hypotézy je poměr mezi buňkami jednoho řádku v různých sloupcích nezávislý na výběru tohoto řádku. Pokud tyto poměry normalizujeme, získáváme tabulku očekávaných četností. Řádkové a sloupcové součty se touto operací nemění. Pozorované četnosti Očekávané četnosti Ano Ne S 20 82 102 10 54 64 30 136 166 Ano Ne S 18,4 83,6 102 11,6 52,4 64 30 136 166 102 × 30 / 166 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita M. Cvanová

9 Test dobré shody - základní teorie
Binomické jevy (1/0) 2 2 pozorovaná četnost - očekávaná četnost pozorovaná četnost - očekávaná četnost = + očekávaná četnost očekávaná četnost I. jev 1 II. jev 2 Příklad ü lidí hází mincí rub: případů (R) líc: případů (L) Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný (nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1 ? ? Tabulková hodnota: Rozdíl je vysoce statisticky významný (p << 0,001] Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

10 Znaménkový test Zjednodušení neparametrického párového Wilcoxonova testu. Namísto velikosti rozdílů se počítá pouze jejich orientace (signum). Případy, kde sgn(d) = 0 se z analýzy vylučují. Sečtou se kladné a záporné rozdíly a menší ze součtů je hledaná statistika m. Statistika m se porovná s tabulkovou hodnotou pro danou hladinu pravděpodobnosti:

11 Kontingenční tabulky H0 :Nezávislost dvou jevů A a B
+ - S a b c d suma sum A B Kontingenční tabulka 2 x 2 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

12 Kontingenční tabulky: příklad
Ano Ne S 20 82 102 10 54 64 30 136 166 gen Kontingenční tabulka v obrázku Gen: ANO Gen: NE Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

13 Příklad – závislost pohlaví na onemocnění
Zdraví Nemocní Celkem Muži 50 100 Ženy 200 Zdraví Nemocní Celkem Muži 45 55 100 Ženy 200 Zdraví Nemocní Celkem Muži 35 65 100 Ženy 200 Zdraví Nemocní Celkem Muži 5 95 100 Ženy 200 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita M. Cvanová

14 Příklad – závislost pohlaví na onemocnění
Pozorované hodnoty Zdraví Nemocní Celkem Muži 50 100 Ženy 200 Očekávané hodnoty pro všechny tabulky vlevo Zdraví Nemocní Celkem Muži 50 100 Ženy 200 Zdraví Nemocní Celkem Muži 45 55 100 Ženy 200 pozorovaná četnost očekávaná očekávaná četnost = 2 - Zdraví Nemocní Celkem Muži 35 65 100 Ženy 200 Zdraví Nemocní Celkem Muži 5 95 100 Ženy 200 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita M. Cvanová

15 Příklad – závislost pohlaví na onemocnění
Zdraví Nemocní Celkem Muži 50 100 Ženy 200 Χ2 = 0,0 p = 1,000 Zdraví Nemocní Celkem Muži 45 55 100 Ženy 200 Χ2 =2,0 p = 0,157 Zdraví Nemocní Celkem Muži 35 65 100 Ženy 200 Χ2 = 18,0 p < 0,0001 Zdraví Nemocní Celkem Muži 5 95 100 Ženy 200 Χ2 = 162,0 p < 0,0001 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita M. Cvanová

16 9. Analýza rozptylu a korelace
Parametrická analýza rozptylu Post hoc testy Kruskal-Wallisův test Korelace Lineární regrese Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

17 Anotace t-test slouží pro porovnání průměrů spojité proměnné ve dvou (diskrétních) skupinách. Analýza rozptylu (ANOVA) umožňuje totéž porovnání provést pro větší počet (diskrétních) skupin. Korelační analýza je využívána pro vyhodnocení míry vztahu dvou spojitých proměnných. Regresní analýza vytváří model vztahu dvou nebo více proměnných, tedy jakým způsobem jedna proměnná (vysvětlovaná) závisí na jiných proměnných (prediktorech). Regresní analýza je obdobně jako ANOVA nástrojem pro vysvětlení variability hodnocené proměnné. Existují rovněž neparametrické varianty t-testu a ANOVy. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

18 Analýza rozptylu - ANOVA
Zobecnění dvouvýběrového t-testu ANOVA je základním nástrojem pro analýzu rozdílů mezi průměry v několika skupinách H0: všechny střední hodnoty jsou stejné HA: alespoň jedna dvojice středních hodnot se liší Předpoklady: normální rozložení ve skupinách, nezávislost skupin, shoda rozptylů (Levenův či Bartlettův test) Pokud H0 zamítáme na hl. význ. α → nás zajímá, která dvojice středních hodnot se od sebe liší metody mnohonásobného testování (tzv. post hoc testy), např. Scheffého, Tukeyova metoda Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

19 Anotace Základní myšlenka, na níž je ANOVA založena, je rozdělení celkové variability v datech (neznámé, dané pouze náhodným rozložením) na část systematickou (spjatou s kategoriemi pacientů, vysvětlená variabilita) a část náhodnou. Pokud systematická, tedy nenáhodná a vysvětlitelná část variability převažuje, považujeme daný kategoriální faktor za významný pro vysvětlení variability dat. Analýza rozptylu vyhodnocuje pouze celkový vliv faktoru na variabilitu, v případě analýzy jednotlivých kategorií je třeba využít tzv. post-hoc testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

20 Analýza rozptylu - ANOVA
Základní technika sloužící k posouzení rozdílů mezi více úrovněmi pokusného zásahu Kontrola Koncentrace X1 Koncentrace X2 Koncentrace X3 Koncentrace Xp Rostoucí koncentrace testované látky / látek Celkově významné změny v reakci biologického systému Vzájemné rozdíly účinku jednotlivých dávek Rozdíly účinku dávek od kontroly Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

21 Analýza rozptylu - ANOVA
Významné kroky analýzy, vedoucí k efektivnímu srovnání variant Kontrola Koncentrace X1 Koncentrace X2 Koncentrace X3 Koncentrace Xp Rostoucí koncentrace testované látky / látek Splnění předpokladů analýzy Transformace dat Relevantnost kontroly (vliv vlastní aplikace látek) Vhodnost modelu ANOVA pro účely testu Vlastní srovnání variant Minimalizace chyb při ověřování hypotéz Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

22 Analýza rozptylu - ANOVA
SPLNĚNÍ PŘEDPOKLADŮ ANOVA JE NEZBYTNOU PODMÍNKOU POUŽITÍ TÉTO TECHNIKY Předpoklad nezávislosti opakování experimentu 1. ANOVA = parametrická analýza dat Homogenita rozptylu v rámci pokusných variant 2. Normalita rozložení v rámci pokusných variant 3. ALTERNATIVOU JSOU NEPARAMETRICKÉ METODY Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

23 Analýza rozptylu - ANOVA
Předpoklady analýzy rozptylu jsou nezbytné pro dosažení síly testu Symetrické rozložení hodnot a normalita odchylek od hodnoceného modelu ANOVA. Velkou část dat lze adekvátně normalizovat použitím logaritmické transformace. Předpoklad lognormální transformace může pochopitelně být teoreticky vyloučen u mnoha datových souborů obsahujících diskrétní parametry, kde je indikována vhodnost jiného typu transformace. U asymetricky rozložených a u diskrétních dat je nutné využít neparametrické alternativy analýzy rozptylu. Homogenita rozptylu je nutným předpokladem pro smysluplnost vzájemných srovnání pokusných variant. U testů toxicity by splnění tohoto předpokladu mělo být ověřováno (Bartlettův test), neboť vážné rozdíly (až řádové) v jednotkách testovaného parametru mohou nastat v důsledku inhibice dávkami látky. Nehomogenita rozptylu je často ve vztahu k nenormalitě (asymetrii) dat a lze ji odstranit vhodnou normalizující transformací. Statistická nezávislost reziduí vyhodnocovaného modelu ANOVA. Pokud odhad a posouzení korelačních vztahů mezi pokusnými variantami není přímo předmětem výzkumu, lze jejich vliv na vyhodnocení odstranit znáhodněním dat v rámci pokusných variant - tedy změnou pořadí v náhodné. Rozsah vlivu těchto autokorelačních vztahů musí být ovšem primárně omezen správností experimentálního uspořádání. Aditivita jako předpoklad týkající se složitějších experimentálních uspořádání. Exaktní otestování aditivity více pokusných faktorů je procedura poměrně náročná na experimentální design vyvážený co do počtu opakování. Je rovněž obtížné testovat interakci na nestandardních datech, neboť případná transformace může změnit charakter odchylek původních dat od hodnoceného modelu ANOVA. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

24 Analýza rozptylu - ANOVA
Omezení aplikace ANOVA lze řešit Chybějící data. Vážným problémem jsou chybějící údaje o celé skupině kombinací testovaných látek, například u faktoriálních pokusů, kdy je znemožněno hodnocení experimentu jako celku. Nehomogenita rozptylu. Velmi častý nedostatek experimentálních dat, často související s nenormalitou rozložení nebo s odlehlými hodnotami. Různé počty opakování Jde o typický jev pro experimentální datové soubory. Při různých počtech opakování v experimentálních variantách jsou testy ANOVA citlivější na nenormalitu dat. Pokud jsou počty opakování zcela odlišné (až řádové rozdíly), je nutno použít neparametrické techniky nebo analýzu rozptylu nevyvážených pokusů. Nenormalita dat. I v tomto případě lz situaci upravit vyloučením odlehlých hodnot nebo normalizující transformací. Neaditivita kombinovaného vlivu více pokusných zásahů. Tuto situaci lze testovat jednak speciálními testy aditivity nebo přímo F testem kontrolujícím významnost vlivu interakce pokusných zásahů. Při významné interakci je nutné prozkoumat především její charakter ve vhodném experimentálním uspořádání. Odlehlé hodnoty. Ojedinělé odlehlé hodnoty musí být před parametrickou analýzou rozptylu vyloučeny. Nedostatek nezávislosti mezi rezidui modelu. Jde o závažný nedostatek, zkreslující výsledek F-testu. Velmi často je tato skutečnost důsledkem špatného provedení nebo naplánování experimentu. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

25 Modely analýzy rozptylu
Model I. Pevný model Model II. Náhodný model X0 X1 X2 X3 X4 A B C D E . . . . . . . . . . Y Y . . . . . A B C D E X0 X1 X2 X3 X4 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

26 ANOVA – základní výpočet
Základním principem ANOVY je porovnání rozptylu připadajícího na: Rozdělení dat do skupin (tzv. effect, variance between groups) Variabilitu objektů uvnitř skupin (tzv. error, variance within groups), předpokládá se, že jde o náhodnou variabilitu (=error) Variabilita mezi skupinami Rozptyl je počítán pro celkový průměr (tzv. grand mean) a průměry v jednotlivých skupinách dat Stupně volnosti jsou odvozeny od počtu skupin (= počet skupin -1) Výsledný poměr (F) porovnáme s tabulkami F rozložení pro v1 a v2 stupňů volnosti Variabilita uvnitř skupin Rozptyl je počítán pro průměry jednotlivých skupin a objekty uvnitř příslušných, celková variabilita je pak sečtena pro všechny skupiny Stupně volnosti jsou odvozeny od počtu hodnot (= počet hodnot - počet skupin) SS=sum of squares Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

27 Jednoduchý ANOVA design
Nejjednodušším případem ANOVA designu je rozdělení na skupiny podle jednoho parametru. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

28 Nested ANOVA Rozdělení skupin na náhodné podskupiny (např. opakování experimentu), podskupiny jsou vždy v jedné skupině (ne kartézský součin). Cílem je zjistit, zda data v jedné skupině nejsou pouhou náhodou Nejprve je testována shoda podskupin v hlavních skupinách, pokud jsou shodné, je vše v pořádku pokud nejsou, stále lze zjišťovat, zda se variabilita uvnitř hlavních skupin liší od celkové variability Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

29 Two way ANOVA Pro rozdělení do kategorií je zde více parametrů (možné jsou všechny varianty kartézského součinu). Na rozdíl od nested ANOVY nejde o náhodná opakování experimentu, ale o řízené zásahy (např.vliv pH a koncentrace O2) Kromě vlivu hlavních faktorů se uplatňuje i jejich interakce Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

30 Modely analýzy rozptylu - základní výstup
Základním výstupem analýzy rozptylu je Tabulka ANOVA - frakcionace komponent rozptylu Zdroj rozptylu St. v. SS MS F Pok. zásah (mezi skupinami) Uvnitř skupin Celkem SSB/SST MSB/MST a SSB SSB/(a -1) MSB/MSE N - a SSE SSE/(N - a) N SST Kvantifikovaný podíl rozdílu mezi pokusnými zásahy na celkovém rozptylu Statistická významnost rozdílu Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

31 Analýza rozptylu - obecný F test
H0: m1 = m2 = m3 = .... = mp Koncentrace X3 Kontrola Koncentrace X1 Koncentrace X2 Koncentrace Xp F test: H0 H0 platí H0 neplatí Další analýzy Látka nepůsobí Látka působí Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

32 Analýza rozptylu - Testy kontrastů
ANOVA:H0 zamítnuta Testy kontrastů Koncentrace X3 Plánované Kontrola Koncentrace X1 Koncentrace X2 Koncentrace Xp Neplánované Pro srovnání variant s kontrolou Testování kontrastů "Multiple range testy" Rozdíly v smysluplných kombinacích ? Parametrické Neparametrické Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

33 Příklad: Anova - One way
Dávka rostlinného stimulátoru (0, 4, 8, 12 mg/l) A = 4 ; n = 8 I ANOVA Bartlett's test: P = 0,9847 K-S test: P = 0, ,6525 pro jednotlivé kategorie Source D. f SS MS F Between Groups , , ,56 Within Groups , ,9 Total (corr.) ,0 II. Multiple Range Test NKS -test Level Average Homogenous Groups , x , x , x , x Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

34 Srovnání variant v testech
Srovnáváni variant po celkovém testu ANOVA Mnoho existujících algoritmů není vhodných pro konkrétní případ Day and Quin Ecological Monographs,1989 Testy pro jednoduché kontrasty Test Využití Poznámka Scheffe Tukey LSD Dunnett Williams Srovnání s kontrolou Ex. i modifikace pro různá n. Bonferroni Dunn-Sidák Kramer ANOVA testy (F) Orthogonální kontrasty Plánovaná srovnání Testy nevhodné Ryan Q test Jednoduché kontrasty Vyhodnocen jako nejlepší test Duncan Student - Newmann-Keuls Waller-Duncan k ratio Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

35 Řada post-hoc testů v různých SW
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

36 ANCOVA Rozšíření ANOVA
Současná analýza kategoriálních a spojitých prediktorů Testování hypotézy paralelismu regresních vztahů kategorie kategorie Hodnocená proměnná Hodnocená proměnná Spojitý prediktor Spojitý prediktor Kategorie pacientů (pokusný zásah) neovlivňuje vztah proměnných Kategorie pacientů (pokusný zásah) ovlivňuje vztah proměnných Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

37 Korelace a regrese Korelační analýza je využívána pro vyhodnocení míry vztahu dvou spojitých proměnných. Obdobně jako jiné statistické metody, i korelace mohou být parametrické nebo neparametrické Regresní analýza vytváří model vztahu dvou nebo více proměnných, tedy jakým způsobem jedna proměnná (vysvětlovaná) závisí na jiných proměnných (prediktorech). Regresní analýza je obdobně jako ANOVA nástrojem pro vysvětlení variability hodnocené proměnné Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

38 Korelace K měření těsnosti lineárního vztahu 2 spojitých proměnných r = 0 → nekorelované r > 0 → kladně korelované r < 0 → záporně korelované H0: proměnné X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (r = 0) HA: proměnné X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (r ≠ 0) Parametrický korelační koeficient: Pearsonův kor. koef. (dvourozměrné normální rozložení) Neparametrické korelační koeficienty: Spearmanův (pořadový) kor. koef., Kendallovo tau. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

39 Jednoduchá lineární regrese
V případě existence vzájemného vztahu (korelace) lze tento vztah podrobněji popsat. Cíl regresní analýzy: popsat závislost hodnot proměnné Y na hodnotách proměnné X. V případě lineární regrese je tento popis dán lineárním modelem tvaru y = ax + b. Existují i techniky nelineární regrese. Nemáme-li dostatek informací k teoretickému souboru, snažíme se odhadnout typ funkce pomocí dvourozměrného diagramu. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

40 Základy korelační analýzy - I.
Korelace – vztah (závislost) dvou znaků (parametrů) Y2 Y 2 X1 X Y2 1 ANO NE a b c d X1 X2 X1 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

41 Základy korelační analýzy - II.
Parametrické míry korelace Kovariance Pearsonův koeficient korelace Y2 r = 1 -- x -- y r = -1 X1 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

42 Základy korelační analýzy - III.
PI (zem) 10 14 15 32 40 20 16 50 PI (rostl.) 19 22 26 41 35 25 I. II. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

43 7,461 >> 1,96 => P << 0,01
Základy korelační analýzy - IV. Srovnání dvou korelačních koeficientů (r) 1. 2. Krevní tlak x koncentrace kysl. radikálů 7,461 >> 1,96 => P << 0,01 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

44 Základy korelační analýzy - V. Neparametrická korelace (rs)
PI v půdě 1 2 3 6 7 5 4 8 PI v rostl. dI -1 i = 1, ….. n; n = 8 => v = 6 Pacient č. 1 2 3 4 5 6 7 Lékař 1 Lékař 2 dI -1 P = 0,358 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

45 Vztahy velmi často implikují funkční vztah mezi Y a X.
Korelace v grafech I. Y Y X X Vztahy velmi často implikují funkční vztah mezi Y a X. Y = a + b . X Y = a + b1 . X1 + b2 . X2 + b3 . X3 Y = a + b1 . X1 + b2 . X2 Y = a + b1 . X1 + b2 . X2 + b3 . X1 . X2 Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

46 Problém rozložení hodnot Problém velikosti vzorku
Korelace v grafech II. Problém rozložení hodnot Problém typu modelu Y Y r = 0,981 (p < 0,001) r = 0,761 (p < 0,032) X X Problém velikosti vzorku r = 0,212 (p < 0,008) Y Y r = 0,891 (p < 0,214) X X Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek