Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky"— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 06 Derivace funkce a její vlastnosti

2 O čem budeme hovořit: Derivace funkce v bodě – opakování
Derivace elementárních funkcí Věty o derivaci funkcí vzniklých aritmetickými operacemi a skládáním Derivace inverzních funkcí Využití derivací k výpočtu limit Souvislost derivace a monotonie funkce

3 Derivace funkce v bodě Opakování

4 Vypočítejme derivaci funkce f(x) = x2
Připomeňme si definici derivace funkce f(x) : Počítejme tedy derivaci naší funkce:

5 Co nám přináší znalost derivace?
Jak vypočítáme „sklon tečny“ v daném bodě? Jak vypočítáme rovnici tečny v daném bodě? Jak vypočítáme rovnici normály v daném bodě? Tečna a normála.xls

6 Derivace elementárních funkcí

7 Derivace funkce f(x) = x n
Budeme používat binomickou větu:

8 Derivace funkce f(x) = e x
Funkce e x je definována jako exponenciální funkce f(x) = a x , která má v bodě 0 derivaci rovnu 1.

9 Derivace funkce f(x) = sin x

10 Derivace dalších funkcí
Podobně bychom mohli podle definice vypočítat: Derivace dalších funkcí můžeme pak počítat podle obecných vět o derivacích.

11 Věty o derivaci

12 Základní věty Nechť funkce f(x) a g(x) mají v bodě x vlastní derivace. Pak platí: Pro g(x) ≠ 0 pak platí:

13 Příklady

14 Derivace inverzní a složené funkce
Nechť je dána funkce Pro funkci k ní inverzní platí, že: Derivace složené funkce se počítá takto:

15 Příklady

16 Využití derivací k výpočtu limit

17 L´Hôpitalovo pravidlo
Nechť platí nebo Pak platí Pozor! Neplést si s derivací podílu!

18 Příklady

19 Souvislost derivace a monotonie funkce

20 Nenulová derivace v bodě
Podívejme se na názorné příklady: Monotonie funkce v bodě.ggb Věta Je-li derivace funkce f(x) v bodě c kladná, tedy f´(c) > 0, pak je funkce f(x) v bodě c rostoucí. Je-li derivace funkce f(x) v bodě c záporná, tedy f´(c) < 0, pak je funkce f(x) v bodě c klesající. Je-li f´(c) = 0, nelze o monotonii říci nic !!

21 Co je třeba znát a umět? Rozumět pojmu derivace funkce v bodě,
znát derivace elementárních funkcí (i jejich odvození), znát věty o derivacích a umět je aplikovat při výpočtech derivací, umět používat L´Hôpitalovo pravidlo pro výpočet limit, znát vztah polarity vlastní derivace a monotonie funkce v bodě a intervalu.

22 Děkuji za pozornost