Stáhnout prezentaci
Prezentace se nahrává, počkejte prosím
1
Fractal geometry
2
Lewis Richardson, Seacoast line length
3
East seacoast 10 km 11 x 1km
4
East seacoast Seacoast line length k.n(k) lim k→0 k.n(k) = D
5
Weat seacoast
6
West seacoast lim k→0 k.n(k) =∞
7
Self-similarity
8
Koch snowflake Niels Fabian Helge von Koch (25.1. 1870 – 11.3. 1924 Stockholm)25.1187011.3.1924
9
Length of Koch snowflake 3 4/3 * 3 = 4 4/3*4/3*3 = 5,33 (4/3) 3 *3=7,11 (4/3) n *3 →∞
10
Sierpinski carpet
11
Area of Sierpinski carpet Hole area 1/9 8/9 * 1/9 (8/9) 2 * 1/9 (8/9) n * 1/9 Suma 1/9 * ∑(8/9) i = 1 Area of the carpet = 1 – hole area = 0
12
Menger sponge
13
Natural fractals
14
Natural self-similarity
15
Mathematical definition Fractal is a shape with Hausdorf dimension different of geometrical dimension
16
Non-fractal shapes Refining the gauge s-times The number of segments increase s D – times D is geometrical dimension
17
Dimension of Koch snowflake Koch curve –3 x refining => 4 x length –s = 3 => N = 4 –D = logN/logs = log4/log3 = 1.261895
18
Other Hausdorf dimensions Sierpinski carpet 1,58 Menger sponge 2,72 Pean curve 2 Sea coastline 1,02 – 1,25
19
Polynomical fractals Polynomical recursive formula –K n+1 = f(k n ) The sequence depending on the origin k 0 –Coverges –Diverges –Oscillates
20
Mandelbrot set
21
Part of complex plane z 0 = 0, z n+1 = z n 2 + c If for given c the sequence –Converges c is in Mandelbrot set –Diverges c is not in Mandelbrot set –Oscillates c is in Mandelbrot set
22
Examples CZ0Z0 Z1Z1 Z2Z2 Z3Z3 Z4Z4 0 + 0i0,0 Conv In M.S. 1+0i0,01,02,05,026,0Div. Not in M.S. -1+0i0,0-1,00,0-1,00,0Osc. In M.S. -2+0i0,0-2,0 Conv. In M.S. -2,0000000001+0i 0,0……Div. Not in M.S.
23
Mandelbrot set
28
Juliovy množiny
29
Juliova množina pro dané komplexní číslo c Pro každý bod komplexní roviny z počítám z 0 = z Z n+1 = z n 2 + c (stejný vzorec jako u Mandelbrotovy množiny) Pokud posloupnost z n nejde do nekonečna, je bod z prvkem Juliovy množiny pro číslo c, Tuto množinu značíme J c
30
Pozorování Juliova množina J c vypadá v okolí bodu 0 podobně jako Mandelbrotova množina v okolí bodu c Pro body c uvnitř Mandelbrotovy množiny je (0,0) prvkem Juliovy množiny J c a Juliova množina J c souvislá Pro body c vně Mandelbrotovy množiny je Juliova množina J c nesouvislá, popřípadě prázdná.
31
Pozorování Pro body c „hodně uvnitř“ Mandelbrotovy množiny je Juliova množina J c nezajímavý souvislý útvar.
32
Pozorování Pro body c „hodně vně“ Mandelbrotovy množiny tvoří Juliovu množinu J c několik izolovaných bodů
33
Pozorování „Nejzajímavější“ Juliovy množiny vzniknou z bodů, které leží poblíž hranice Mandelbrotovy množiny, ať již zevnitř
35
Nebo zvenku
Podobné prezentace
© 2024 SlidePlayer.cz Inc.
All rights reserved.